Plantilla:Factorización de polinomios (1ºBach)

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(Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2)
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Línea 59: Línea 59:
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
|duracion=9'08" |duracion=9'08"
-|sinopsis=Ejercicios del 4a-c: Sacar factor común en un polinomio. +|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
 + 
 +:4a) <math>x^3-4x^2+4x\;</math>
 +:4b) <math>x^3-2x^2+x\;</math>
 +:4c) <math>x^5-20x^3+100x\;</math>
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Línea 65: Línea 70:
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-|sinopsis=Ejercicios 4d-f: Sacar factor común en un polinomio. +|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
 + 
 +:4d) <math>3x^5-18x^3+27x\;</math>
 +:4e) <math>2x^3+20x^2+50x\;</math>
 +:4f) <math>x^3-x\;</math>
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Línea 71: Línea 81:
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 + 
 +:4g) <math>x^5-x\;</math>
 +:4h) <math>x^3-16x\;</math>
 +:4i) <math>x^3-25x\;</math>
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 + 
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Línea 77: Línea 93:
|titulo1=Ejercicio 4 |titulo1=Ejercicio 4
|duracion=7'51" |duracion=7'51"
-|sinopsis=Ejercicios 6a-c: Descomponer un binomio en producto de factores +|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
 + 
 +:6a) <math>36x^2-\cfrac{9}{4}\;</math>
 +:6b) <math>x^4-x^2\;</math>
 +:6c) <math>x^4a^2-x^6a^2\;</math>
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Línea 83: Línea 104:
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-|sinopsis=Ejercicios 6d-f: Descomponer un binomio en el producto de sus factores. +|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
 + 
 +:6d) <math>\cfrac{81}{4}x^6-25x^4\;</math>
 +:6e) <math>36a^2b^2-81b^2\;</math>
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Línea 89: Línea 115:
|titulo1=Ejercicio 6 |titulo1=Ejercicio 6
|duracion=8'58" |duracion=8'58"
-|sinopsis=Ejercicios 6g-j: Descomponer un binomio en el producto de sus factores. +|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
 + 
 +:6g) <math>x^4-81\;</math>
 +:6h) <math>4x^6-1\;</math>
 +:6i) <math>16x^4-9\;</math>
 +:6j) <math>x^4-x^6\;</math>
 + 
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Línea 95: Línea 127:
|titulo1=Ejercicio 7 |titulo1=Ejercicio 7
|duracion=10'03" |duracion=10'03"
-|sinopsis=Ejercicios 7a-b: Descomponer un polinomio en producto de factores +|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
 + 
 +:7a) <math>x^4-10x^3+25x^2\;</math>
 +:7b) <math>2x^7-50x^3\;</math>
 + 
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Línea 101: Línea 137:
|titulo1=Ejercicio 8 |titulo1=Ejercicio 8
|duracion=8'51" |duracion=8'51"
-|sinopsis=Ejercicios 7c-d: Descomponer un binomio en su producto de factores. +|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
 + 
 +:7c) <math>\cfrac{9}{4}x^{11}-36x^3\;</math>
 +:7d) <math>5x^3-20x\;</math>
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Línea 107: Línea 147:
|titulo1=Ejercicio 9 |titulo1=Ejercicio 9
|duracion=9'27" |duracion=9'27"
-|sinopsis=Ejercicios 7e-f: Descomponer un binomio en su producto de factores. +|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
 + 
 +:7e) <math>72x^7-50x^5\;</math>
 +:7f) <math>243x^5-3x\;</math>
 + 
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Revisión de 17:44 2 nov 2017

Tabla de contenidos

Divisibilidad de polinomios

(pág. 74)

Polinomios múltiplos y divisores

  • Un polinomio Q(x)\, es divisor de otro, P(x)\, y lo representaremos por Q(x)|P(x)\;, si la división P(x):\,Q(x)\, es exacta, es decir, cuando existe otro polinomio C(x)\; tal que P(x)=\,Q(x)\cdot C(x)\,.
  • En tal caso, diremos que P(x)\, es divisible por Q(x)\, y que P(x)\, es un múltiplo de Q(x)\,.
  • También diremos que Q(x)\, y C(x)\, son factores del polnomio P(x)\,.

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

Polinomios irreducibles

Un polinomio P(x)\, es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior (distinto de grado cero) es divisor suyo.

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Se dice que el polinomio D(x)\; es el máximo común divisor de los polinomios P(x)\; y Q(x)\;, y lo expresaremos:

m.c.d \,[P(x), Q(x)]=D(x)\;

si D(x)\; es divisor de ambos y no existe otro polinomio que divida a ambos que tenga mayor grado que él.

Se dice que el polinomio M(x)\; es el mínimo común múltiplo de los polinomios P(x)\; y Q(x)\;, y lo expresaremos:

m.c.m \,[P(x), Q(x)]=M(x)\;

si D(x)\; es múltiplo de ambos y no existe otro polinomio que sea múltiplo de ambos que tenga menor grado que él.

Raíces de un polinomio

Un número a\, es una raíz o un cero de un polinomio P(x)\,, si P(a)\, = 0\,.

Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación P(x)\,= 0\,.

ejercicio

Teorema del factor


x=a\; es una raíz de un polinomio P(x)\; si y solo si (x-a)\; es un factor de dicho polinomio.

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.

Por el teorema del factor, encontrar las raíces del polinomio nos ayudará a factorizarlo.

Factorización sacando factor común

Si quieres recordar cómo se saca factor común, a continuación tienes el enlace:

Factorización usando productos notables

Si quieres recordar las identidades notables y cómo se factoriza usando dichas identidades, aquí tienes el enlace:

Factorización de polinomios de grado 2

ejercicio

Factorización de polinomios de segundo grado


Un polinomio de segundo grado, kx^2+mx+n\;, con raíces rales, a\; y b\;, se puede factorizar de la forma

k(x-a)(x-b)\;

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles


Factoriza los siguientes polinomios

a) 5x^2+5x-60\;
b) 5x^3+5x^2-60x\;

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

(pág. 75)

ejercicio

Procedimiento para factorizar polinomios


  • Siempre que se pueda, sacaremos x\; factor común.
  • Mediante la regla de Ruffini podremos buscar las raíces enteras o fraccionarias del polinomio y obtener la factorización.

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

En algunos casos, como en el de los polinomios bicuadrados, si podremos hallarle las raices, resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios bicuadrados


Factoriza el siguiente polinomio: P(x)=x^4 - 7x^2 + 6 \;\!

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

ejercicio

Factorización de un polinomio por Ruffini


Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces enteras, los divisores del término independiente y como candidatos a raices fraccionarias, las que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del término de mayor grado.



ejercicio

Ejemplo: Regla de Ruffini


Factoriza el siguiente polinomio:

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Factorización de polinomios


(Pág. 75)

1, 2

3

Ejercicios y videotutoriales

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda