Plantilla:Factorización de polinomios (1ºBach)

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(Ejercicios y videotutoriales)
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 +==Raíces de un polinomio==
 +{{Raíces de un polinomio}}
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==Factorización de polinomios== ==Factorización de polinomios==
-{{Caja_Amarilla|texto='''Factorizar''' un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.}}+{{Factorización de polinomios: definición y ejemplos}}
-===Factorización de polinomios de grado 2===+
-{{Factorización de polinomios de grado 2}}+
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-{{wolfram+===Factorización sacando factor común===
-|titulo=Actividad: ''Factorización de polinomios de grado 2''+Si quieres recordar cómo se saca factor común, a continuación tienes el enlace:
-|cuerpo=+{{p}}
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-|enunciado=+
- +
-:Factoriza los siguientes polinomios de grado 2 o reducibles a grado 2:+
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-:<math>a)\ 4x^2+4x+1 \; </math> 
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-:<math>b)\ x^2+x+1 \; </math> 
- 
-:<math>c)\ x^2-16x \; </math> 
-:<math>d)\ 4x^2-25 \; </math> +===Factorización usando productos notables===
 +Si quieres recordar las identidades notables y cómo se factoriza usando dichas identidades, aquí tienes el enlace:
 +{{p}}
 +{{Info|texto=[[Identidades (3ºESO Académicas)|Recuerda los productos notables y su uso en factorización]]}}
 +{{p}}
-:<math>e)\ 5x^2+20 \; </math>+===Factorización de polinomios de grado 2===
- +{{Factorización de polinomios de grado 2}}
-:<math>f)\ 4x^4+x^2 </math>+
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-|sol=+{{wolfram desplegable|titulo=Factorización de polinomios de grado 2|contenido=
- +{{wolfram factorizacion polinomios grado 2}}
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=factor 4x^2+4x+1}}+
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-{{widget generico}}+
-}}+
}} }}
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- 
===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2=== ===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2===
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{{p}} {{p}}
-{{caja_Amarilla|texto=+{{Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2}}
-*Siempre que se pueda, sacaremos <math>x\;</math> '''factor común'''.+{{p}}
-*Mediante la '''[[Cociente de Polinomios. Regla de Ruffini (4ºESO-B)#División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini|regla de Ruffini]]''' buscaremos las '''[[Factorización de Polinomios (4ºESO-B)#Raíces enteras de un polinomio|raíces enteras del polinomio]]''', que se hallan entre los divisores del término independiente.+En algunos casos, como en el de los '''polinomios bicuadrados''', si podremos hallarle las raices, resolviendo la [[Otros Tipos de Ecuaciones (4ºESO-B)#ecuaciones bicuadradas|ecuación bicuadrada]] que resulta de igualarlo a cero.
-*También podemos buscar las '''raíces fraccionarias''', que se encontrarían entre las fracciones formadas dividiendo los divisores del término independiente entre los divisores del término de mayor grado.+
-*Si encontramos una raíz <math>x=a\;</math> de un polinomio <math>P(x)\;</math>, tendremos que <math>P(x)=(x-a) \cdot Q(x)\;</math>, donde <math>Q(x)\;</math> tiene un grado menos que <math>P(x)\;</math>. ([[Factorización de Polinomios (4ºESO-B)#Raíces de un polinomio|Ver raíces de un polinomio]]).+
-}}+
-Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.+
- +
-En algunos casos, como en el de los '''polinomios bicuadrados''', que son polinomios de la forma <math>ax^4+bx^2+c\;</math>, si podremos hallarle las raices, resolviendo la [[Otros Tipos de Ecuaciones (4ºESO-B)#ecuaciones bicuadradas|ecuación bicuadrada]] que resulta de igualarlo a cero.+
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{{ejemplo|titulo=Ejemplos: ''Factorización de polinomios bicuadrados'' {{ejemplo|titulo=Ejemplos: ''Factorización de polinomios bicuadrados''
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-:Factoriza el siguiente polinomio: <math>P(x)=x^4 - 7x^2 + 6 \;\!</math>+Factoriza el siguiente polinomio: <math>P(x)=x^4 - 7x^2 + 6 \;\!</math>
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Resolvemos la ecuación bicuadrada: <math>x^4 - 7x^2 + 6 = 0\;\!</math> Resolvemos la ecuación bicuadrada: <math>x^4 - 7x^2 + 6 = 0\;\!</math>
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}} }}
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-|titulo=Actividad: ''Factorización de polinomios bicuadrados''+{{Video_enlace_escuela
-|cuerpo=+|titulo1=Ejercicio 1
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-|enunciado=+|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
-:a) Factoriza el polinomio <math>P(x)=x^4-5x^2+4\;</math>+:4a) <math>x^3-4x^2+4x\;</math>
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-{{p}}+{{Video_enlace_escuela
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+|titulo1=Ejercicio 2
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 +|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
-:a) {{consulta|texto=factor x^4-5x^2+4}}+:4d) <math>3x^5-18x^3+27x\;</math>
-:b) {{consulta|texto=roots x^4-1}} o bien {{consulta|texto=solve x^4-1=0 over the reals}}. Y para factorizarlo: {{consulta|texto=factor x^4-1=0 as real}}+:4e) <math>2x^3+20x^2+50x\;</math>
 +:4f) <math>x^3-x\;</math>
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 +{{Video_enlace_escuela
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 + 
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 +{{Video_enlace_escuela
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 +|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
 + 
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 +{{Video_enlace_escuela
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 + 
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 + 
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 +{{Video_enlace_escuela
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 + 
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 +
 +{{wolfram desplegable|titulo=Factorización de polinomios bicuadrados|contenido=
 +{{wolfram factorizacion bicuadrados}}
}} }}
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Línea 101: Línea 164:
{{Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini}} {{Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini}}
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-==Ejercicios== 
-(pág. 71) 
 +==Ejercicios propuestos==
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|titulo=Ejercicios propuestos: ''Factorización de polinomios'' |titulo=Ejercicios propuestos: ''Factorización de polinomios''
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-{{ejercicio_cuerpo+(Pág. 75)
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-:[[Imagen:red_star.png|12px]]'''1.'''Factoriza los siguientes polinomios:+
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-::a) Por Ruffini.+{{p}}
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-:[[Imagen:yellow_star.png|12px]]'''3.'''Intenta factorizar el polinomio <math>6x^4+7x^3+6x^2-1\;</math>+{{Ejercicios_vitutor
-::a) Por Ruffini, probando con las raíces enteras.+|titulo1=Ejercicios: ''Factorización de polinomios''
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 +}}
 +{{AI_vitutor
 +|titulo1=Autoevaluación: ''Raíces de polinomios''
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre raíces de polinomios.
 +|url1=http://www.vitutor.com/ab/p/a_11e.html
 +}}
 +{{AI_vitutor
 +|titulo1=Autoevaluación: ''Factorización de polinomios''
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre factorización de polinomios.
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-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
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 + 
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-|titulo1=Factorización de polinomios 
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-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/13-polinomios/08-factorizacion-de-polinomios#.VCL8URZ8HA8 
-|sinopsis=*'''Factorizar''' un polinomio P(x) es expresarlo como producto de otros de menor grado que él, y para ello hay que calcular los "ceros" de P(x), cosa no siempre fácil. 
-*Si "a" es un "cero" de P(x) y C(x) es el cociente de la división P(x)/(x-a), entonces P(x) = (x-a).C(x). 
-*'''Teorema de la factorización:''' si los coeficientes de un polinomio P(x) son números enteros, los ceros enteros de P(x) son divisores del término independiente de P(x). Ejemplo. 
-*Si la suma de los coeficientes de P(x) es 0, pues apostar tranquilamente la vida a que el número 1 es un "cero" de P(x); o sea, P(x) es divisible por (x-1). 
}} }}
-{{p}} 
-{{Video_enlace 
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-|sinopsis=*Factoriza los polinomios: 
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-:b) <math>Q(x)=x^3-3x+2 \;</math> 
-}} 
-{{p}} 
-{{Video_enlace 
-|titulo1=Factorización de un polinomio de grado 4 
-|duracion=9´29" 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/13-polinomios/0803-ejercicio-14-2#.VCL-4BZ8HA8 
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-}} 
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-|titulo1=Factorización de un polinomio de grado 5 
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-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/13-polinomios/0802-ejercicio-17#.VCL-fhZ8HA8 
-|sinopsis=*Factoriza el polinomio <math>P(x)=2x^5-10x^3+8x \;</math> 
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-{{Video_enlace 
-|titulo1=Factorización de un polinomio que sólo tiene raíces fraccionarias 
-|duracion=9´27" 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/13-polinomios/0804-ejercicio-polinomio-que-solo-tiene-raices-fraccionarias#.VCMIGxZ8HA8 
-|sinopsis=*Factoriza el polinomio <math>P(x)=12x^3-4x^2-3x+1 \;</math> 
}} }}
{{p}} {{p}}

Revisión actual

Tabla de contenidos

Divisibilidad de polinomios

(pág. 74)

Polinomios múltiplos y divisores

  • Un polinomio Q(x)\, es divisor de otro, P(x)\, y lo representaremos por Q(x)|P(x)\;, si la división P(x):\,Q(x)\, es exacta, es decir, cuando existe otro polinomio C(x)\; tal que P(x)=\,Q(x)\cdot C(x)\,.
  • En tal caso, diremos que P(x)\, es divisible por Q(x)\, y que P(x)\, es un múltiplo de Q(x)\,.
  • También diremos que Q(x)\, y C(x)\, son factores del polnomio P(x)\,.

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

Polinomios irreducibles

Un polinomio P(x)\, es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior (distinto de grado cero) es divisor suyo.

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Se dice que el polinomio D(x)\; es el máximo común divisor de los polinomios P(x)\; y Q(x)\;, y lo expresaremos:

m.c.d \,[P(x), Q(x)]=D(x)\;

si D(x)\; es divisor de ambos y no existe otro polinomio que divida a ambos que tenga mayor grado que él.

Se dice que el polinomio M(x)\; es el mínimo común múltiplo de los polinomios P(x)\; y Q(x)\;, y lo expresaremos:

m.c.m \,[P(x), Q(x)]=M(x)\;

si D(x)\; es múltiplo de ambos y no existe otro polinomio que sea múltiplo de ambos que tenga menor grado que él.

Raíces de un polinomio

Un número a\, es una raíz o un cero de un polinomio P(x)\,, si P(a)\, = 0\,.

Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación P(x)\,= 0\,.

ejercicio

Teorema del factor


x=a\; es una raíz de un polinomio P(x)\; si y solo si (x-a)\; es un factor de dicho polinomio.

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo como producto de otros polinomios con menor grado que el de partida.

Normalmente buscaremos la factorización máxima, que es la que se obtiene cuando los polinomios de la descomposición son irreducibles.

Por el teorema del factor, encontrar las raíces del polinomio nos ayudará a factorizarlo.

Factorización sacando factor común

Si quieres recordar cómo se saca factor común, a continuación tienes el enlace:



Factorización usando productos notables

Si quieres recordar las identidades notables y cómo se factoriza usando dichas identidades, aquí tienes el enlace:



Factorización de polinomios de grado 2

ejercicio

Factorización de polinomios de segundo grado


Un polinomio de segundo grado, kx^2+mx+n\;, con raíces rales, a\; y b\;, se puede factorizar de la forma

k(x-a)(x-b)\;

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles


Factoriza los siguientes polinomios

a) 5x^2+5x-60\;
b) 5x^3+5x^2-60x\;

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

(pág. 75)

ejercicio

Procedimiento para factorizar polinomios


  • Siempre que se pueda, sacaremos x\; factor común.
  • Mediante la regla de Ruffini podremos buscar las raíces enteras o fraccionarias del polinomio y obtener la factorización.

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

En algunos casos, como en el de los polinomios bicuadrados, si podremos hallarle las raices, resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios bicuadrados


Factoriza el siguiente polinomio: P(x)=x^4 - 7x^2 + 6 \;\!

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

ejercicio

Factorización de un polinomio por Ruffini


Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces enteras, los divisores del término independiente y como candidatos a raices fraccionarias, las que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del término de mayor grado.



ejercicio

Ejemplo: Regla de Ruffini


Factoriza el siguiente polinomio:

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Factorización de polinomios


(Pág. 75)

1, 2

3

Ejercicios y videotutoriales

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda