Plantilla:Factorización de polinomios (1ºBach)

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==Factorización de polinomios== ==Factorización de polinomios==
-{{Caja_Amarilla|texto='''Factorizar''' un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.}}+{{Factorización de polinomios: definición y ejemplos}}
{{p}} {{p}}
-Por el teorema del factor, encontrar las raíces del polinomio nos ayudará a factorizarlo.+===Factorización sacando factor común===
 +Si quieres recordar cómo se saca factor común, a continuación tienes el enlace:
{{p}} {{p}}
 +{{Info|texto=[[Sacar factor común|Recuerda cómo se saca factor común]]}}
 +{{p}}
 +
 +===Factorización usando productos notables===
 +Si quieres recordar las identidades notables y cómo se factoriza usando dichas identidades, aquí tienes el enlace:
 +{{p}}
 +{{Info|texto=[[Identidades (3ºESO Académicas)|Recuerda los productos notables y su uso en factorización]]}}
 +{{p}}
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===Factorización de polinomios de grado 2=== ===Factorización de polinomios de grado 2===
{{Factorización de polinomios de grado 2}} {{Factorización de polinomios de grado 2}}
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}} }}
{{p}} {{p}}
- 
===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2=== ===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2===
(pág. 75) (pág. 75)
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|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
|duracion=9'08" |duracion=9'08"
-|sinopsis=Ejercicios del 4a-c: Sacar factor común en un polinomio. +|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
 + 
 +:4a) <math>x^3-4x^2+4x\;</math>
 +:4b) <math>x^3-2x^2+x\;</math>
 +:4c) <math>x^5-20x^3+100x\;</math>
 + 
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=36eTQBtyKNI&index=11&list=PLw7Z_p6_h3oxSJsFvVwzC47s98v2d3ja9 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=36eTQBtyKNI&index=11&list=PLw7Z_p6_h3oxSJsFvVwzC47s98v2d3ja9
}} }}
Línea 55: Línea 69:
|titulo1=Ejercicio 2 |titulo1=Ejercicio 2
|duracion=10'44" |duracion=10'44"
-|sinopsis=Ejercicios 4d-f: Sacar factor común en un polinomio. +|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
 + 
 +:4d) <math>3x^5-18x^3+27x\;</math>
 +:4e) <math>2x^3+20x^2+50x\;</math>
 +:4f) <math>x^3-x\;</math>
 + 
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}} }}
Línea 61: Línea 80:
|titulo1=Ejercicio 3 |titulo1=Ejercicio 3
|duracion=8'31" |duracion=8'31"
-|sinopsis=Ejercicio 4g-j: Sacar factor común en un polinomio.+|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
 + 
 +:4g) <math>x^5-x\;</math>
 +:4h) <math>x^3-16x\;</math>
 +:4i) <math>x^3-25x\;</math>
 +:4j) <math>x^5-x^3\;</math>
 + 
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}} }}
Línea 67: Línea 92:
|titulo1=Ejercicio 4 |titulo1=Ejercicio 4
|duracion=7'51" |duracion=7'51"
-|sinopsis=Ejercicios 6a-c: Descomponer un binomio en producto de factores +|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
 + 
 +:6a) <math>36x^2-\cfrac{9}{4}\;</math>
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 + 
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}} }}
Línea 73: Línea 103:
|titulo1=Ejercicio 5 |titulo1=Ejercicio 5
|duracion=8'38" |duracion=8'38"
-|sinopsis=Ejercicios 6d-f: Descomponer un binomio en el producto de sus factores. +|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
 + 
 +:6d) <math>\cfrac{81}{4}x^6-25x^4\;</math>
 +:6e) <math>36a^2b^2-81b^2\;</math>
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}} }}
Línea 79: Línea 114:
|titulo1=Ejercicio 6 |titulo1=Ejercicio 6
|duracion=8'58" |duracion=8'58"
-|sinopsis=Ejercicios 6g-j: Descomponer un binomio en el producto de sus factores. +|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
 + 
 +:6g) <math>x^4-81\;</math>
 +:6h) <math>4x^6-1\;</math>
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 +:6j) <math>x^4-x^6\;</math>
 + 
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}} }}
Línea 85: Línea 126:
|titulo1=Ejercicio 7 |titulo1=Ejercicio 7
|duracion=10'03" |duracion=10'03"
-|sinopsis=Ejercicios 7a-b: Descomponer un polinomio en producto de factores +|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
 + 
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 + 
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Línea 91: Línea 136:
|titulo1=Ejercicio 8 |titulo1=Ejercicio 8
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-|sinopsis=Ejercicios 7c-d: Descomponer un binomio en su producto de factores. +|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
 + 
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 + 
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Línea 97: Línea 146:
|titulo1=Ejercicio 9 |titulo1=Ejercicio 9
|duracion=9'27" |duracion=9'27"
-|sinopsis=Ejercicios 7e-f: Descomponer un binomio en su producto de factores. +|sinopsis=Factoriza los siguientes polinomios:
 + 
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 + 
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Línea 126: Línea 179:
==Ejercicios y videotutoriales== ==Ejercicios y videotutoriales==
 +
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|titulo1=Ejercicios: ''Factorización de polinomios'' |titulo1=Ejercicios: ''Factorización de polinomios''
Línea 141: Línea 195:
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-|sinopsis=*'''Factorizar''' un polinomio P(x) es expresarlo como producto de otros de menor grado que él, y para ello hay que calcular los "ceros" de P(x), cosa no siempre fácil.+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=rk67Vy5I3GY&list=PLw7Z_p6_h3oxSJsFvVwzC47s98v2d3ja9&index=29
-*Si "a" es un "cero" de P(x) y C(x) es el cociente de la división P(x)/(x-a), entonces P(x) = (x-a).C(x).+|sinopsis=Ejercicios 9a-c: Factorizar polinomios:
-*'''Teorema de la factorización:''' si los coeficientes de un polinomio P(x) son números enteros, los ceros enteros de P(x) son divisores del término independiente de P(x). Ejemplo.+ 
-*Si la suma de los coeficientes de P(x) es 0, pues apostar tranquilamente la vida a que el número 1 es un "cero" de P(x); o sea, P(x) es divisible por (x-1).+:9a) <math>x^2-6x+9\;</math>
 + 
 +:9b) <math>xy^2+xy-3xy\;</math>
 + 
 +:9c) <math>x^3-x^2+3x^2+x\;</math>
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-|sinopsis=*Factoriza los polinomios:+ 
-:a) <math>P(x)=x^3-2x^2-x+2 \;</math>+:9c) <math>2x^3+8x^2+8x\;</math>
-:b) <math>Q(x)=x^3-3x+2 \;</math>+ 
 +:9d) <math>2a^3b^2+4a^2b-6a^2b^2+6a^2b+4a^3b^2\;</math>
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-|sinopsis=*Factoriza el polinomio <math>P(x)=x^4-5x^3+7x^2-5x+6 \;</math>+ 
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 + 
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 + 
 +:e) <math>x^3+x^2-4x-4\;</math>
 + 
 +:f) <math>3x^3-21x^2+30x\;</math>
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 + 
 + 
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Revisión actual

Tabla de contenidos

Divisibilidad de polinomios

(pág. 74)

Polinomios múltiplos y divisores

  • Un polinomio Q(x)\, es divisor de otro, P(x)\, y lo representaremos por Q(x)|P(x)\;, si la división P(x):\,Q(x)\, es exacta, es decir, cuando existe otro polinomio C(x)\; tal que P(x)=\,Q(x)\cdot C(x)\,.
  • En tal caso, diremos que P(x)\, es divisible por Q(x)\, y que P(x)\, es un múltiplo de Q(x)\,.
  • También diremos que Q(x)\, y C(x)\, son factores del polnomio P(x)\,.

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

Polinomios irreducibles

Un polinomio P(x)\, es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior (distinto de grado cero) es divisor suyo.

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Se dice que el polinomio D(x)\; es el máximo común divisor de los polinomios P(x)\; y Q(x)\;, y lo expresaremos:

m.c.d \,[P(x), Q(x)]=D(x)\;

si D(x)\; es divisor de ambos y no existe otro polinomio que divida a ambos que tenga mayor grado que él.

Se dice que el polinomio M(x)\; es el mínimo común múltiplo de los polinomios P(x)\; y Q(x)\;, y lo expresaremos:

m.c.m \,[P(x), Q(x)]=M(x)\;

si D(x)\; es múltiplo de ambos y no existe otro polinomio que sea múltiplo de ambos que tenga menor grado que él.

Raíces de un polinomio

Un número a\, es una raíz o un cero de un polinomio P(x)\,, si P(a)\, = 0\,.

Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación P(x)\,= 0\,.

ejercicio

Teorema del factor


x=a\; es una raíz de un polinomio P(x)\; si y solo si (x-a)\; es un factor de dicho polinomio.

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo como producto de otros polinomios con menor grado que el de partida.

Normalmente buscaremos la factorización máxima, que es la que se obtiene cuando los polinomios de la descomposición son irreducibles.

Por el teorema del factor, encontrar las raíces del polinomio nos ayudará a factorizarlo.

Factorización sacando factor común

Si quieres recordar cómo se saca factor común, a continuación tienes el enlace:



Factorización usando productos notables

Si quieres recordar las identidades notables y cómo se factoriza usando dichas identidades, aquí tienes el enlace:



Factorización de polinomios de grado 2

ejercicio

Factorización de polinomios de segundo grado


Un polinomio de segundo grado, kx^2+mx+n\;, con raíces rales, a\; y b\;, se puede factorizar de la forma

k(x-a)(x-b)\;

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles


Factoriza los siguientes polinomios

a) 5x^2+5x-60\;
b) 5x^3+5x^2-60x\;

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

(pág. 75)

ejercicio

Procedimiento para factorizar polinomios


  • Siempre que se pueda, sacaremos x\; factor común.
  • Mediante la regla de Ruffini podremos buscar las raíces enteras o fraccionarias del polinomio y obtener la factorización.

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

En algunos casos, como en el de los polinomios bicuadrados, si podremos hallarle las raices, resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios bicuadrados


Factoriza el siguiente polinomio: P(x)=x^4 - 7x^2 + 6 \;\!

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

ejercicio

Factorización de un polinomio por Ruffini


Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces enteras, los divisores del término independiente y como candidatos a raices fraccionarias, las que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del término de mayor grado.



ejercicio

Ejemplo: Regla de Ruffini


Factoriza el siguiente polinomio:

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Factorización de polinomios


(Pág. 75)

1, 2

3

Ejercicios y videotutoriales

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda