Plantilla:Fracciones algebraicas

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 15:51 10 oct 2018

Tabla de contenidos

1 Fracción algebraica
- 1.1 Fracciones algebraicas equivalentes
2 Simplificación de fracciones algebraicas
3 Suma y resta de fracciones algebraicas
4 Producto de fracciones algebraicas
5 Cociente de fracciones algebraicas
6 Actividades

Fracción algebraica

Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios, siendo el denominador no nulo.

$\cfrac{P(x)}{Q(x)} ~, \quad Q(x) \ne 0$

Ejemplos

Son fracciones algebraicas:

$\cfrac{x-3}{x^2}\ ;\quad \cfrac{1}{x+2}\ ; \quad \cfrac{x^3-2x^2+x-1}{3x^2+2}$

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas a la hora de trabajar con ellas.

Fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas $\cfrac{P(x)}{Q(x)}$ y $\cfrac{R(x)}{S(x)}$ son equivalentes si

$P(x) \cdot S(x)= Q(x) \cdot R(x)$

Ejemplo

Las fracciones algebraicas $\cfrac{3}{x}$ y $\cfrac{3x-3}{x^2-x}$ , son equivalentes:

En efecto, si hacemos los productos cruzados:

$3 \cdot (x^2-x) = x \cdot (3x-3) \ \rightarrow \ 3x^2-3x = 3x^2-3x$

estos coinciden.

Simplificación de fracciones algebraicas

Procedimiento

Para simplificar fracciones algebraicas, se factorizan numerador y denominador y se simplifican los factores comunes. La fracción algebraica así obtenida es equivalente a la de partida.
Si dividimos numerador y denominador por su máximo común divisor se obtiene una fracción algebraica irreducible.

Ejemplos: Simplificar fracciones algebraicas

Simplifica: $\cfrac {4x^3-16x^2+16x}{8x^3-16x^2}$

Solución:

Primero factorizamos numerador y denominador:

$\cfrac {4x^3-16x^2+16x}{8x^3-16x^2} = \cfrac {4x(x^2-4x+4)}{8x^2(x-2)} = \cfrac {4x(x-2)^2}{8x^2(x-2)}$

A continuación simplificamos los factores comunes al numerador y denominador:

$\cfrac {4x(x-2)^2}{8x^2(x-2)}=\cfrac {\not{4} \cdot \not{x} \cdot (x \!\! \not{-} \, 2) \cdot (x-2)}{\not{4} \cdot 2 \cdot \not{x} \cdot x \cdot (x \!\! \not{-} \, 2)}= \cfrac {(x-2)}{2x}$

Fracciones algebraicas equivalentes. Simplificación

Tutorial 1 (14´51") Sinopsis:

Simplificación de fracciones algebraicas: Concepto y Ejemplos.

Tutorial 2 (6´47") Sinopsis:

Simplificación de fracciones algebraicas. Ejemplos

Tutorial 3 (4´47") Sinopsis:

Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) no es el polinomio nulo, llamamos fracción algebraica a toda expresión de la forma P(x)/Q(x).
Las fracciones algebraicas A(x)/B(x) y C(x)/D(x) se dicen equivalentes si A(x).D(x) = C(x).D(x), y se escribe A(x)/B(x) = C(x)/D(x).
Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica se multiplican por un polinomio no nulo, resulta una fracción algebraica equivalente.
Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica son divisibles por un mismo polinomio, y se dividen, resulta una fracción algebraica equivalente, diciéndose que la primera fracción algebraica se ha "simplificado".

Ejercicio 1 (10´19") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\cfrac{x^2-3x}{x^2+3x}$

b) $\cfrac{x^2-3x}{3-x}$

c) $\cfrac{x^2-5x+6}{x^2-7x+12}$

d) $\cfrac{3x^3+30x^2+75x}{(x+5)^2}$

e) $\cfrac{4x^2+4xy+y^2}{4x^2-y^2}$

Ejercicio 2 (8´23") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\cfrac{x^2-6x+9}{x^2-9}$

b) $\cfrac{4x^3+8x^2}{2x^3+8x^2+8x}$

c) $\cfrac{3x^2+3x-3ax-3a}{6x-6a}$

Ejercicio 3 (4´53") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{x^2+5x+6}{x^2+6x+9}$

Ejercicio 4 (3´05") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{x^2+4x+4}{x^2+7x+10}$

Ejercicio 5 (3´40") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{x^2+8x+15}{x^2+9x+20}$

Ejercicio 6 (3´39") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{x^2-9}{x^2+10x+21}$

Ejercicio 7 (4´16") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{x^2+3x+2}{x^2-1}$

Ejercicio 8 (5´33") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{x^2-5x+4}{x^2-16}$

Ejercicio 9 (4´27") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{x^2-3x-18}{x^2-36}$

Ejercicio 10 (4´41") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{x^2-8x+16}{x^2-16}$

Ejercicio 11 (2´35") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{n^3-n}{n^2-5n-6}$

Ejercicio 12 (3´12") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{x^2-8x+12}{x^2-36}$

Ejercicio 13 (3´28") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{x^3-2x^2-3x}{9x-3x^2}$

Ejercicio 14 (7´33") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{x^3+x^2-7x-10}{x+2}$

Ejercicio 15 (9´48") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{x^3-4x^2+3x-12}{5x^2-22x+8}$

Ejercicio 16 (10´32") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{x^3-x^2-8x+12}{x^2-4x+4}$

Ejercicio 17 (8´05") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{2x^4-6x^2+4x}{6x^4-12x^3+6x^2}$

Ejercicio 18 (8´27") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{a^3+1}{a^4-a^3+a-1}$

Ejercicio 19 (9´48") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{a^2b^4-ab^4-42b^4}{a^2b-36b}$

Ejercicio 20 (4´02") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{3xy}{2ax^2+2x^3}$

Ejercicio 21 (7´04") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{4ay+2ax}{3bx+6by}$

Ejercicio 22 (5´30") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{x^2-9}{4ax+12a}$

Ejercicio 23 (4´17") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{a^2-b^2}{a^2+2ab+b^2}$

Ejercicio 24 (4´57") Sinopsis:

Problema que requiere simplificar fracciones algebraicas

Ejercicio 25 (4´00") Sinopsis:

Determina si son equivalentes:

a) $\cfrac{2x+2}{x^2+x}$ y $\cfrac{2}{x}$

b) $\cfrac{5x}{x^2+x}$ y $\cfrac{3}{x-1}$

c) $\cfrac{6}{9x+3}$ y $\cfrac{2}{3x+1}$

Autoevaluación: Fracciones algebraicas equivalentes. Simplificación Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre fracciones algebraicas equivalentes y simplificación.

Simplificación de fracciones algebraicas

Actividad: Simplificación de fracciones algebraicas

Simplifica:

a) $\cfrac{2x^2-2x}{4x^3-2x^2}$

b) $\cfrac{x^3(x^2-4)}{2x^2-4x}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) simplify (2x^2-2x)/(4x^3-2x^2)

b) simplify (x^3*(x^2-4))/(2x^2-4x)

Suma y resta de fracciones algebraicas

Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador.

Ejemplos: Suma y resta de fracciones algebraicas

Opera: $\cfrac {2}{x-3} + \cfrac {5}{x}$

Solución:

Reducimos a común denominador ambas fracciones, usando el m.c.m. de los denominadores que es $x(x-3) \;\!$

$\cfrac {2}{x-3} + \cfrac {5}{x} = \cfrac {2x}{x(x-3)} + \cfrac {5(x-3)}{x(x-3)}=$

Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:

$=\cfrac {2x+5(x-3)}{x(x-3)}=\cfrac {2x+5x-15}{x(x-3)}=\cfrac {7x-15}{x(x-3)}$

Suma y resta de fracciones algebraicas

Tutorial 1a (4´37") Sinopsis:

Sumas y restas de expresiones racionales con igual denominador. Ejemplos

Tutorial 1b (5´34") Sinopsis:

Sumas y restas de expresiones racionales. Ejemplos

Tutorial 1c (9´34") Sinopsis:

Sumas y restas de expresiones racionales con distinto denominador. Ejemplos

Tutorial 2 (4´22") Sinopsis:

Sumas y restas de expresiones racionales con iguala o distinto denominador. Ejemplos

Tutorial 3 (6´39") Sinopsis:

Suma y resta de fracciones algebraicas. Ejemplos

Ejercicio 1 (13´15") Sinopsis:

Opera y simplifica:

a) $\cfrac{x+3}{5x-8}+\cfrac{10x+1}{5x-8}$

b) $\cfrac{5x+7}{x^2-3x-18}-\cfrac{4x+13}{x^2-3x-18}$

c) $\cfrac{5x}{x^2-4}-\cfrac{3-16x}{x^2-4}-\cfrac{29-x^2}{x^2-4}$

Ejercicio 2 (15´19") Sinopsis:

Opera y simplifica: $\cfrac{2}{x-4}-\cfrac{x}{x^2-2x-8}+\cfrac{x-3}{x^2+x-2}$

Ejercicio 3 (9´42") Sinopsis:

Opera y simplifica:

a) $\cfrac{3}{x+2}+\cfrac{1}{x-5}$

b) $\cfrac{a-b}{a+b}-\cfrac{a+b}{a-b}$

Ejercicio 4 (6´48") Sinopsis:

Opera y simplifica: $\cfrac{3x}{x+1}+\cfrac{2x}{2x-2}-\cfrac{5}{x^2-1}$

En este ejercicio se verá la utilidad de usar el m.c.m. frente a no usarlo.

Ejercicio 5 (3´50") Sinopsis:

Opera y simplifica: $\cfrac{x^2-8}{x^2-10x+21}+\cfrac{5-2x}{x^2-10x+21}$

Ejercicio 6 (8´05") Sinopsis:

Opera y simplifica: $\cfrac{4}{x^2-25}+\cfrac{x+2}{x^2-2x-15}$

Ejercicio 7 (9´46") Sinopsis:

Opera y simplifica: $\cfrac{x-9}{x^2-9}+\cfrac{x+9}{x^2+3x}+\cfrac{x+3}{x^2-3x}$

Ejercicio 8 (6´56") Sinopsis:

Opera y simplifica: $\cfrac{x}{x^2+x-2}-\cfrac{3}{x^2+2x-3}-\cfrac{x}{x^2+5x+6}$

Ejercicio 9 (8´11") Sinopsis:

Opera y simplifica: $\cfrac{x}{x-5}-\cfrac{2x-1}{x+5}+\cfrac{5}{x^2-25}$

Ejercicio 10 (8´11") Sinopsis:

Opera y simplifica: $\cfrac{x}{x-5}-\cfrac{2x-1}{x+5}+\cfrac{5}{x^2-25}$

Ejercicio 11 (6´35") Sinopsis:

Opera y simplifica: $\cfrac{x+1}{x^4-4x^2}-\cfrac{2}{x^3-3x^2+2x}$

Ejercicio 12 (8´25") Sinopsis:

Opera y simplifica: $\cfrac{3}{2x+4}+\cfrac{x-1}{2x-4}+\cfrac{x+8}{x^2-4}$

Ejercicio 13 (6´57") Sinopsis:

Opera y simplifica: $\cfrac{1}{x+x^2}+\cfrac{1}{x-x^2}+\cfrac{x+3}{1-x^2}$

Autoevaluación 1: Reducir fracciones algebraicas a común denominador Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre cálculo del m.c.m. de polinomios y reducción de fracciones algebraicas a común denominador.

Autoevaluación 2: Suma de fracciones algebraicas Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre suma de fracciones algebraicas.

Producto de fracciones algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Ejemplos: Producto de fracciones algebraicas

Opera: $\cfrac {2x}{x-1} \cdot \cfrac {3x+5}{x^2}$

Solución:

Multiplicamos numeradores y denominadores, pero lo dejamos indicado:

$\cfrac {2x \cdot (3x+5)}{(x-1) \cdot x^2 }$

Simplificamos antes de efectuar el producto:

$\cfrac {2 \cdot (3x+5)}{(x-1) \cdot x }$

Finalmente, podemos multiplicar, si es preciso:

$\cfrac {6x+10}{x^2-x}$

Producto de fracciones algebraicas

Tutorial 1 (7´48") Sinopsis:

Multiplicación de fracciones algebraicas. Ejemplos.

Tutorial 2 (5´05") Sinopsis:

Multiplicación de fracciones algebraicas. Ejemplos.

Ejercicio 1 (9´44") Sinopsis:

Opera y simplifica: $\cfrac {x^2-2x-8}{2x^3-5x^2-1} \cdot \cfrac {4x^2-25}{6x^2+11x-2}$

Ejercicio 2 (8´29") Sinopsis:

Multiplica: $\cfrac{x^2-3x-18}{x^2-36} \cdot \cfrac{x^2+4x-12}{x^2-9}$

Ejercicio 3 (5´19") Sinopsis:

Multiplica: $\cfrac{x^2-x}{x-2} \cdot \cfrac{x^2-4}{x^2-1}$

Ejercicio 4 (4´53") Sinopsis:

Multiplica: $\cfrac{2x+1}{x-2} \cdot \cfrac{2-x}{x+1}$

Ejercicio 5 (14´32") Sinopsis:

Multiplica: $\cfrac{a^3-2a^2+4a}{9a^2-25} \cdot \cfrac{3a^2+11a+10}{3a^2-5a}\cdot \cfrac{9a^2-30a+25}{a^3+8}$

Autoevaluación: Producto de fracciones algebraicas Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre producto de fracciones algebraicas.

Cociente de fracciones algebraicas

Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Ejemplos: Cociente de fracciones algebraicas

Opera: $\cfrac{2x}{x+1}:\cfrac{x^2}{x-2}$

Solución:

Hacemos el producto cruzado, dejándolo indicado:

$\cfrac {2x \cdot (x-2)}{(x+1) \cdot x^2}$

Simplificamos:

$\cfrac {2 \cdot (x-2)}{(x+1) \cdot x}$

Finalmente, podemos multiplicar, si es preciso:

$\cfrac {2x-4}{x^2+x}$

Cociente de fracciones algebraicas

Tutorial 1 (11´46") Sinopsis:

Cociente de fracciones algebraicas. Ejemplos

Tutorial 2 (3´21") Sinopsis:

Producto y cociente de fracciones algebraicas. Ejemplos

Ejercicio 1 (4´03") Sinopsis:

Opera y simplifica: $\cfrac {a^2-6a+5}{a^2-15a+56}:\cfrac {a^2+2a-35}{a^2-5a-24}$

Ejercicio 2 (16´43") Sinopsis:

Opera y simplifica: $\cfrac {3x^2-5x-2}{x^2+3x-4} \cdot \cfrac {x^2+x-12}{3x^2+19x-14} : \cfrac {x^2-10x+21}{x^2-49}$

Ejercicio 3 (7´18") Sinopsis:

Opera y simplifica: $\left( \cfrac {1}{x^2-4} + \cfrac {1}{x-2} \right) : \left( 1+\cfrac {2}{x-2} \right)$

Ejercicio 4 (11´15") Sinopsis:

Opera y simplifica: $\left[ \cfrac {(x-3)^2}{9} + \cfrac {4x}{3} \right] : \cfrac {x^2-9}{9x-27}$

Autoevaluación: Cociente de fracciones algebraicas Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre cociente de fracciones algebraicas.

Actividades

Ejercicios resueltos: Operaciones con fracciones algebraicas

Opera:

1. $\cfrac {4}{x}+\cfrac {x-2}{2x^2}-\cfrac {2}{x+1}$

2. $\cfrac {3}{x} \cdot \left ( \cfrac {5x+3}{x-1}:\cfrac {5x+3}{x} \right )$

Solución:

Soluciones:

1. $\cfrac {5x^2+7x-2}{2x^2(x+1)}$

2. $\cfrac {3}{x-1}$

Operaciones con fracciones algebraicas

Actividad: Operaciones con fracciones algebraicas

Opera:

a) $\cfrac{x-2}{x}+\cfrac{x+3}{x^2}-\cfrac{1-x}{3x}$

b) $\cfrac{x^3}{x-4} \cdot \cfrac{2x-8}{x}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) simplify (x-2)/x+(x+3)/x^2-(1-x)/(3x)

b) simplify ((x^3)/(x-4))*((2x-8)/x)

Operaciones con fracciones algebraicas complejas

Tutorial 1 (19´04") Sinopsis:

Simplificación de una fracción compleja: teoría y ejemplos.

Tutorial 2 (10´37") Sinopsis:

Simplificación de una fracción compleja: teoría y ejemplos.

Ejercicio 1 (3´41") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac {1+\cfrac{1}{c-1}}{1-\cfrac{1}{c-1}}$

Ejercicio 2 (3´07") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac {x^{-1}+y^{-1}}{(x+y)^{-1}}$

Ejercicio 3 (6´54") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac {2x^{-1}y+2xy^{-1}}{2(x^{-2}+y^{-2})}$

Ejercicio 4 (4´48") Sinopsis:

Simplifica:

$1-\cfrac {1}{1-\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{x}}}$

Ejercicio 5 (7´28") Sinopsis:

Simplifica: $\left(\cfrac {y^{b+1}}{y^{b^2-1}} \right)^{\frac{1}{b+1}} \cdot \left(\cfrac {y}{2} \right)^b : \cfrac {y^2}{16^{\frac{b}{2}}}$

Ejercicio 6 (6´50") Sinopsis:

Simplifica: $\left[ \left(\cfrac {x}{x^a} \right)^a \cdot \left(\cfrac {x^{2a}}{x^{a+1}} \right) \cdot \left(\cfrac {xâ}{x^{-1}} \right)^{a+1} \right]^{\frac{1}{a}}$

Ejercicio 7 (9'37") Sinopsis:

a) Simplifica: $\cfrac{\cfrac {x+1}{x-1}+1}{\cfrac {x+1}{x-1}-1}$

b) Descompón en fracciones parciales: $\cfrac{5x+7}{x^2+3x+2}$

Ejercicio 8 (9'57") Sinopsis:

a) Simplifica: $\cfrac{x+\cfrac {xy}{x-y}}{x-\cfrac {xy}{x+y}} \cdot \cfrac{x-y}{x+y}$

b) Simplifica: $\cfrac{x^2}{1-\cfrac{1}{x^2+\cfrac{\cfrac{1}{x}}{x+\cfrac{1}{x}}}}$

Ejercicio 9 (9´52") Sinopsis:

Simplifica: $1-\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{x-1}}}$

Ejercicio 10 (9´20") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{a^{-3}+b^{-3}}{a^{-2}-b^{-2}}$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Fracciones_algebraicas"

 |titulo1=Tutorial 1a
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-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JD4QNo0OSww
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 |sinopsis=Sumas y restas de expresiones racionales con igual denominador. Ejemplos
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 |titulo1=Tutorial 1b
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 |sinopsis=Suma y resta de fracciones algebraicas. Ejemplos
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 |titulo1=Ejercicio 1
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 |sinopsis=Opera y simplifica:
 :a) <math>\cfrac{x+3}{5x-8}+\cfrac{10x+1}{5x-8}</math>
 |titulo1=Ejercicio 2
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 |titulo1=Ejercicio 3
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 :a) <math>\cfrac{3}{x+2}+\cfrac{1}{x-5}</math>
 |titulo1=Ejercicio 4
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 |sinopsis=Opera y simplifica: <math>\cfrac{3x}{x+1}+\cfrac{2x}{2x-2}-\cfrac{5}{x^2-1}</math>
 |titulo1=Ejercicio 5
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 |sinopsis=Opera y simplifica: <math>\cfrac{x^2-8}{x^2-10x+21}+\cfrac{5-2x}{x^2-10x+21}</math>
 |titulo1=Ejercicio 6
 |duracion=8´05"
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 |sinopsis=Opera y simplifica: <math>\cfrac{4}{x^2-25}+\cfrac{x+2}{x^2-2x-15}</math>
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 |titulo1=Ejercicio 7
 |duracion=9´46"
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 |sinopsis=Opera y simplifica: <math>\cfrac{x-9}{x^2-9}+\cfrac{x+9}{x^2+3x}+\cfrac{x+3}{x^2-3x}</math>
 }}
 |titulo1=Ejercicio 8
 |duracion=6´56"
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=gZuqoagr1IY&index=67&list=PL9B9AC3136D2D4C45
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 |sinopsis=Opera y simplifica: <math>\cfrac{x}{x^2+x-2}-\cfrac{3}{x^2+2x-3}-\cfrac{x}{x^2+5x+6}</math>
 }}
 |titulo1=Ejercicio 9
 |duracion=8´11"
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=UPSBF0-RhJE
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 |sinopsis=Opera y simplifica: <math>\cfrac{x}{x-5}-\cfrac{2x-1}{x+5}+\cfrac{5}{x^2-25}</math>
 }}
 |titulo1=Ejercicio 10
 |duracion=8´11"
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 |sinopsis=Opera y simplifica: <math>\cfrac{x}{x-5}-\cfrac{2x-1}{x+5}+\cfrac{5}{x^2-25}</math>
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 |titulo1=Ejercicio 11
 |duracion=6´35"
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JxhnPRcOQkE
+|url1=http://www.youtube.com/watch?v=JxhnPRcOQkE
 |sinopsis=Opera y simplifica: <math>\cfrac{x+1}{x^4-4x^2}-\cfrac{2}{x^3-3x^2+2x}</math>
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 |titulo1=Ejercicio 12
 |duracion=8´25"
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=GBpCrFd7_A0
+|url1=http://www.youtube.com/watch?v=GBpCrFd7_A0
 |sinopsis=Opera y simplifica: <math>\cfrac{3}{2x+4}+\cfrac{x-1}{2x-4}+\cfrac{x+8}{x^2-4}</math>
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 |titulo1=Ejercicio 13
 |duracion=6´57"
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 |sinopsis=Opera y simplifica: <math>\cfrac{1}{x+x^2}+\cfrac{1}{x-x^2}+\cfrac{x+3}{1-x^2}</math>
 }}

Plantilla:Fracciones algebraicas

De Wikipedia

Revisión de 15:51 10 oct 2018

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