Plantilla:Función lineal afín

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-==Función afín==+==Función lineal==
-{{Caja_Amarilla|texto=Una '''función afín''' es aquella cuya expresión analítica es o puede ponerse como:+{{función afín}}
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-*<math>x\;\!</math> e <math>y\;\!</math> son variables.+
-*<math>m\;\!</math> es una constante que se denomina '''pendiente'''.+
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-===Representación gráfica===+
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-*En consecuencia, para representarla, necesitamos dos puntos, uno de los cuales puede ser el <math>(0,n)\;</math>. El otro punto se obtendrá a partir de la ecuación.+
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-|titulo=Ejemplo: ''Función afín''+
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{{p}} {{p}}
-#Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto. Haz una tabla que relacione el tiempo transcurrido (en minutos) y el volumen (en litros) de estanque que se llena. Escribe la fórmula que relaciona el volumen y el tiempo. Representa gráficamente los resultados.+==Pendiente de una función lineal==
-#Repite el apartado anterior suponiendo que el estanque tiene un volumen inicial de 20 litros.+===Concepto de pendiente===
-#¿Y si partiésemos de un volumen inicial de 10 litros, cuáles serían los resultados?+{{Concepto de pendiente}}
-#Compara las gráficas obtenidas e indica que tienen en común y en qué se diferencian.+
-#¿Qué fórmula correspondería a esta situación gráfica?+
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-1. Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto. +
-Partimos de que el estanque se encuentra vacío inicialmente.+
-Completa la tabla:+
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-<table border="1" width="100%">+===Cálculo de la pendiente===
- <tr>+{{Cálculo de la pendiente}}
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- <td align="center" width="11%"><strong>{{b}}</strong></td>+
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-La fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo es:+
- +
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-}}+
-{{tabla75+
-|celda1=+
-2. Supongamos ahora que el estanque tiene inicialmente un volumen de 20 litros.+
-Completa la tabla:+
-{{p}}+
-<table border="1" width="100%">+
- <tr>+
- <td width="13%"><p align="center"><strong><font size="-2">Tiempo (min)</font></strong></p>+
- </td>+
- <td align="center" width="9%"><strong>0</strong></td>+
- <td align="center" width="11%"><strong>1</strong></td>+
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- <td align="center" width="11%"><strong>6</strong></td>+
- <td align="center" width="11%"><strong>t</strong></td>+
- </tr>+
- <tr>+
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- </td>+
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- <td align="center" width="11%"><strong>25</strong></td>+
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- <td align="center" width="11%"><strong>{{b}}</strong></td>+
- <td align="center" width="11%"><strong>{{b}}</strong></td>+
- </tr>+
-</table>+
-{{p}}+
-La fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo ahora es:+
- +
-{{Caja|contenido=<math>V=5t+20\;</math>}}+
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-[[Imagen:afin2.jpg|250px]]+
-}}+
-{{tabla75+
-|celda1=+
-3. Ahora supondremos que el estanque tiene inicialmente un volumen de 10 litros.+
-Completa la tabla:+
-{{p}}+
-<table border="1" width="100%">+
- <tr>+
- <td width="13%"><p align="center"><strong><font size="-2">Tiempo (min)</font></strong></p>+
- </td>+
- <td align="center" width="9%"><strong>0</strong></td>+
- <td align="center" width="11%"><strong>1</strong></td>+
- <td align="center" width="11%"><strong>4</strong></td>+
- <td align="center" width="11%"><strong>6</strong></td>+
- <td align="center" width="11%"><strong>t</strong></td>+
- </tr>+
- <tr>+
- <td width="13%"><p align="center"><strong><font size="-2">Volumen (litros)</font></strong></p>+
- </td>+
- <td align="center" width="9%"><strong>10</strong></td>+
- <td align="center" width="11%"><strong>15</strong></td>+
- <td align="center" width="11%"><strong>{{b}}</strong></td>+
- <td align="center" width="11%"><strong>{{b}}</strong></td>+
- <td align="center" width="11%"><strong>{{b}}</strong></td>+
- </tr>+
-</table>+
-{{p}}+
-La fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo ahora es:+
- +
-{{Caja|contenido=<math>V=5t+10\;</math>}}+
-|celda2=+
-[[Imagen:afin3.jpg|250px]]+
-}}+
-4. Las graficas son rectas paralelas que cortan al eje de ordenadas a una altura que coincide con el volumen inicial del estanque. Por tanto, tienen en común que tienen la misma inclinación y se diferencian en el punto de corte con el eje de ordenadas.+
-{{p}}+
-{{tabla75+
-|celda1=+
-5. Para esta gráfica que corta al eje de ordenadas en 5, la fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo es:+
- +
-{{Caja|contenido=<math>V=5t+5\;</math>}}+
-|celda2=+
-[[Imagen:afin4.jpg|250px]]+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
- +
-==Pendiente de una función afín==+
-===Concepto topográfico de pendiente===+
-{{Caja_Amarilla|texto=En topografía, la pendiente es la relación que existe entre el desnivel, o distancia en vertical, que debemos superar y la distancia en horizontal que debemos recorrer:+
- +
-<center><math>Pendiente = \cfrac{Distancia \ vertical} {Distancia \ horizontal}</math></center>+
- +
-Se suele dar en tanto por ciento, para lo cual se multiplica la fracción anterior por 100:+
- +
-<center><math>Pendiente (%) = \cfrac{Distancia \ vertical} {Distancia \ horizontal} \cdot 100</math></center>}}+
-{{p}}+
-Así, por ejemplo, una rampa con un ángulo de inclinación de 45º tiene una pendiente del 100%.+
-{{p}}+
-Este concepto de topográfico tiene mucho que ver con la pendiente de una función afín si consideramos la recta, su gráfica, como una rampa.+
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=Escena en la que podrás calcular la pendiente de una rampa.+
-|enlace=[https://ggbm.at/wmGn9JAW Concepto topográfico de pendiente]+
-}}+
{{p}} {{p}}
===La pendiente y el crecimiento=== ===La pendiente y el crecimiento===
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=La pendiente, <math>m\,</math>, de una función afín <math>y=mx+n\;</math>, describe su crecimiento:+{{La pendiente y el crecimiento en la función afín}}
-*Si <math>m>0\,</math>, la función es creciente. 
-*Si <math>m<0\,</math> la función es decreciente. 
-*Si <math>m=0\,</math> la función es constante (recta horizontal). 
- 
-Además, cuanto mayor es su pendiente (en valor absoluto), más inclinada es su gráfica. 
-}} 
{{p}} {{p}}
-===Cálculo de la pendiente de la función afín===+===Obtención de la función lineal a partir de su gráfica===
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Consideremos una función de proporcionalidad directa <math>y=mx+n\;</math> y dos puntos <math>B(x_2,y_2)\;</math> y <math>A(x_1,y_1)\;</math> de la recta que la representa.+{{Obtención de la función afín a partir de su gráfica}}
- +
-La pendiente se puede calcular de la siguiente manera:+
- +
-<center><math>m=\cfrac {\Delta y}{\Delta x}=\cfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}</math></center>+
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-}}+
-{{p}}+
- +
-===Obtención de la función afín a partir de su gráfica===+
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=Para determinar la ecuación de una función a fín a partir de su gráfica seguiremos los siguientes pasos:+
-#Localizaremos el punto de corte con el eje Y, <math>(0,n)\;</math>, para averiguar el valor del parámetro <math>n\;</math>.+
-#Localizaremos otro punto de la recta cuyas coordenadas sean conocidas.+
-#Con esos dos puntos calcularemos la pendiente: <math>m=\cfrac{\Delta y} {\Delta x}</math>.+
-#Una vez averiguados <math>m\;</math> y <math>n\;</math>, los sustituiremos en la ecuación <math>y=mx+n\;</math>.+
-}}+
-'''Nota:''' Este procedimiento sólo funciona si la gráfica nos permite determinar los puntos de los apartados 1 y 2.+
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás practicar aprender como se obtiene la ecuación de la función afín a partir de su gráfica.+
-|enlace=[https://ggbm.at/kk9rynW7 Obtención de la función afín a partir de su gráfica]+
-}}+
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás practicar con ejercicios en los que se trata de obtener la ecuación de la función afín a partir de su gráfica.+
-|enlace=[https://ggbm.at/PyrUpTu2 Autoevaluación: Obtención de la función afín a partir de su gráfica]+
-}}+
-{{p}}+
-{{ejercicio+
-|titulo=Ejercicio: ''Función afín''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
-'''1. '''La factura de la luz que hemos contratado en casa nos supone un coste de 10,44 €, además de 0,09 € por kilovatio-hora consumido. +
-:a) Halla la ecuación de la función que relaciona el consumo y el coste de la factura.+
-:b) Representa gráficamente la función.+
-:c) halla el importe de la factura para un consumo de 750 kw-h.+
-{{p}}+
-|sol={{p}}+
-:a) <math>y=0,09x+10,44</math> (<math>y</math> en €; <math>x</math> en kw-h)+
-:b) Representación gráfica:+
{{p}} {{p}}
-[[Imagen:facturaluz.png|center|250px]]+==Ejercicios==
-:c) 77,94 €.+{{AI y videos: funciones lineales}}
-}}+{{ejercicio resuelto: función afín}}
-}}+

Revisión actual

Tabla de contenidos

Función lineal

Una función lineal es aquella cuya expresión analítica puede expresarse como:

y=mx+n\;
  • x\;\! es la variable independiente.
  • y\;\! es la variable dependiente.
  • m\;\! es una constante que se denomina pendiente.
  • n\;\! es otra constante denominada ordenada en el origen. (Si n \ne 0 recibe el nombre de función afín)

ejercicio

Representación gráfica


  • La gráfica de una función lineal es una recta que corta al eje de ordenadas en el punto (0,n)\;\!.
  • En consecuencia, para representarla, necesitamos dos puntos, uno de los cuales puede ser el (0,n)\;. El otro punto se obtendrá a partir de la ecuación.

ejercicio

Ejemplo: Función lineal


  1. Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto. Haz una tabla que relacione el tiempo transcurrido (en minutos) y el volumen (en litros) de estanque que se llena. Escribe la fórmula que relaciona el volumen y el tiempo. Representa gráficamente los resultados.
  2. Repite el apartado anterior suponiendo que el estanque tiene un volumen inicial de 20 litros.
  3. ¿Y si partiésemos de un volumen inicial de 10 litros, cuáles serían los resultados?
  4. Compara las gráficas obtenidas e indica que tienen en común y en qué se diferencian.
  5. ¿Qué fórmula correspondería a esta situación gráfica?

Función constante

Si m=0\,, las funciones que se obtienen son de la forma y=n\, y reciben el nombre de funciones constantes. Sus gráficas son rectas horizontales (paralelas al eje X).

Pendiente de una función lineal

Concepto de pendiente

En topografía, la pendiente es la relación que existe entre el desnivel, o distancia en vertical, que debemos superar y la distancia en horizontal que debemos recorrer:

Pendiente = \cfrac{Distancia \ vertical} {Distancia \ horizontal}


Se suele dar en tanto por ciento, para lo cual se multiplica la fracción anterior por 100:

% \, Pendiente = \cfrac{Distancia \ vertical} {Distancia \ horizontal} \cdot 100

Este concepto topográfico de pendiente tiene mucho que ver con el concepto de pendiente de una función lineal si consideramos la recta, su gráfica, como si fuese una rampa. No obstante, la pendiente de una función lineal puede tomar valores negativos, mientras que la pendiente topográfica siempre es positiva, como podrás comprobar en la siguiente actividad interactiva.

Cálculo de la pendiente

ejercicio

Proposición


Consideremos una función lineal y=mx+n\; y dos puntos A(x_1,y_1)\; y B(x_2,y_2)\; de la recta que la representa.

La pendiente se puede calcular de la siguiente manera:

m=\cfrac {\Delta y}{\Delta x}=\cfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}

La pendiente y el crecimiento

ejercicio

Propiedades


La pendiente, m\,, describe el crecimiento de la función y=mx+n\,:

  • Si m>0\,, la función es creciente.
  • Si m<0\, la función es decreciente.
  • Si m=0\, la función es constante (recta horizontal).

Además, cuanto mayor es su pendiente (en valor absoluto), más inclinada es su gráfica.

Obtención de la función lineal a partir de su gráfica

ejercicio

Procedimiento


Para determinar la ecuación de una función lineal a partir de su gráfica seguiremos uno de los dos procedimientos siguientes:

Procedimiento 1:

  1. Localizaremos en la gráfica el punto de corte con el eje Y, (0,n)\;, para averiguar el valor del parámetro n\;.
  2. Localizaremos otro punto de la recta cuyas coordenadas sean conocidas.
  3. Con esos dos puntos calcularemos la pendiente: m=\cfrac{\Delta y} {\Delta x}.
  4. Una vez averiguados m\; y n\;, los sustituiremos en la ecuación y=mx+n\;.

Procedimiento 2:

  1. Si no fuera posible determinar el punto de corte con el eje Y, (0,n)\;, localizaremos en la gráfica dos puntos de la recta cuyas coordenadas sean conocidas.
  2. Con esos dos puntos calcularemos la pendiente: m=\cfrac{\Delta y} {\Delta x}.
  3. Una vez averiguada m\;, sustituiremos las coordenadas de uno de los dos puntos en la ecuación y=mx+n\; y despejaremos n\;.



Ejercicios

Interpretación de funciones lineales

Comparación de funciones lineales

Modelado de funciones lineales

ejercicio

Ejercicio resuelto: Modelado de una función lineal


La factura de la luz que hemos contratado en casa nos supone un coste fijo mensual de 10,44 €, además de 0,09 € por kilovatio-hora consumido.

a) Halla la ecuación de la función que relaciona el consumo y el coste de la factura mensual.
b) Representa gráficamente la función.
c) Halla el importe de la factura para un consumo de 750 kw-h.

Análisis de funciones lineales

ejercicio

Ejercicio resuelto: Modelado de una función lineal


La factura de la luz que hemos contratado en casa nos supone un coste fijo mensual de 10,44 €, además de 0,09 € por kilovatio-hora consumido.

a) Halla la ecuación de la función que relaciona el consumo y el coste de la factura mensual.
b) Representa gráficamente la función.
c) Halla el importe de la factura para un consumo de 750 kw-h.

Herramientas personales
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