Plantilla:Límite de cociente de funciones polinómicas

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Revisión de 05:23 18 mar 2020

Procedimiento

Sea $f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}$ , con $P(x)\;$ y $Q(x)\;$ dos polinomios en x.

$\mbox{Si} \ Q(c) \ne 0 \ \Rightarrow \ \lim_{x \to c} \cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{P(c)}{Q(c)}$
$\mbox{Si} \ P(c) \ne 0 \ \ \mbox{y} \ \ Q(c)=0 \ \Rightarrow \ \lim_{x \to c} \cfrac{P(x)}{Q(x)}=\pm \infty$ . En este caso será necesario estudiar los límites laterales para determinar el signo del infinito por cada lado. Podemos hacer uso de la calculadora.
$\mbox{Si} \ P(c)=Q(c)=0 \ \Rightarrow \ \lim_{x \to c} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \mbox{indeterminado (0/0)}$ . Para resolver la indeterminación simplificaremos la fracción, ya que al anularese los dos polinomios deberán tener factores comunes. Una vez simplificada volveremos a calcular el límite, pudiendo darse cualquiera de las tres situaciones que acabamos de ver, repitiendo el proceso hasta que estemos en los caso 1 ó 2 y quede calculado el límite.

Ejemplo: Límite de una función cociente de polinomios

Calcula el valor de los siguientes límites y haz un esbozo gráfico del resultado:

a) $\lim_{x \to 2} \frac{x+1}{x-2}$ b) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-5x+6}{x^2+3x-10}$

Solución:

a) Estamos en el el segundo caso y tendremos que estudiar los límites laterales:

$\lim_{x \to 2^-} \frac{x+1}{x-2}=- \infty$ . Usando la calculadora, dando a x valores próximos a 2 por la izquierda: 1.99, 1.999,...

$\lim_{x \to 2^+} \frac{x+1}{x-2}=+ \infty$ . Usando la calculadora, dando a x valores próximos a 2 por la derecha: 2.01, 2.001,...

b) Estamos en el caso 3 porque numerador y el denominador se anulan en x=2 (indeterminación del tipo 0/0). Debemos simplificar la fracción:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2-5x+6}{x^2+3x-10}=\lim_{x \to 2} \frac{(x-3)(x-2)}{(x+5)(x-2)}=\lim_{x \to 2} \frac{x-3}{x+5}$

Ahora estamos en el caso 1:

$\lim_{x \to 2} \frac{x-3}{x+5}=\frac{2-3}{2+5}=\frac{-1}{7}$

Para ver el comportamiento gráfico usa la siguiente escena de Geogebra:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Ejercicios: Límite de cociente de funciones polinómicas (Tipo a/0)

Ejercicio 1 (12'45") Sinopsis:

3 ejemplos de límites del tipo a/0:

a) $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+2}{x-3}$

b) $\lim_{x \to 7^-} \frac{2x+1}{x-7}$

c) $\lim_{x \to 2} \frac{5-x}{x-2}$

Ejercicio 2 (19'58") Sinopsis:

Límite del tipo a/0:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2-x+5}{x-2}$

Ejercicio 3 (13'16") Sinopsis:

2 ejemplos de límites del tipo a/0:

a) $\lim_{x \to 5} \frac{x-2}{x-5}$

b) $\lim_{x \to 5} \frac{2x}{5-x}$

Ejercicios: Límite de cociente de funciones polinómicas (Tipo 0/0)

Ejercicio 1 (7'01") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to -5} \frac{3x^2+15x}{2x^2-50}$

Ejercicio 2 (16'17") Sinopsis:

2 ejercicios de límites del tipo 0/0:

a) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2-x}{x^2-1}$

b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^4-1}{x^3-x^2+x-1}$

Ejercicio 3 (8'40") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to -1} \frac{4x^2+4x}{x^3+x^2+x+1}$

Ejercicio 4 (8'43") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 3} \frac{x^3-6x^2+9x}{x^2-9}$

Ejercicio 5 (3'37") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 4} \frac{x^2-5x+4}{x^2-2x-8}$

Ejercicio 6 (6'57") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}{x}$

Ejercicio 7 (7'32") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to -2} \frac{\frac{3}{4-x}-\frac{1}{x}}{x+2}$

Ejercicio 8 (7'32") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^4-16}{x^3-8}$

Ejercicio 9 (11'29") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to -3} \frac{4x^2+9x-9}{x^3+27}$

Ejercicio 10 (3'38") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to -1} \frac{x^2+3x+2}{x^2-1}$

Ejercicio 11 (10'56") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 6} \frac{x^2+2x-48}{3x^2-20x+12}$

Ejercicio 12 (8'30") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}$

Ejercicio 13 (7'34") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{y \to 4} \frac{y^2-6y+8}{2y^2-8y}$

Ejercicio 14 (6'25") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-8x+15}{x^2-7x+12}$

Ejercicio 15 (7'41") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 5} \frac{2x^2-13x+15}{x^2-x-20}$

Ejercicio 16 (4'44") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{y \to -1} \frac{y+1}{y^3+1}$

Ejercicio 17 (7'33") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{27x^3}{9x^2-4}$

Ejercicio 18 (8'47") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^3-7x+6}{x^3+x^2-4x-4}$

Ejercicio 19 (4'42") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 4} \frac{x^2-16}{x-4}$

Ejercicio 20 (5'12") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x-2}$

Ejercicio 21 (7'17") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 1} \frac{\cfrac{-2}{x-2}-2}{x-1}$

Ejercicio 22 (10'18") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{t \to 1} \frac{t^3-2t+1}{t^3+t^2-2}$

Ejercicio 23 (6'30") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 4} \frac{x^2-16}{x^2-6x+8}$

Ejercicio 24 (8'27") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}$

Ejercicio 25 (9'32") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to -1} \frac{x^3+1}{\sqrt[3]{x}+1}$

Ejercicio 26 (15'06") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{\sqrt[3]{9x^2+4}-2}{3x-2}$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:L%C3%ADmite_de_cociente_de_funciones_polin%C3%B3micas"

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