Plantilla:Límite de de una función en un punto

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|sinopsis=El concepto de límite explicado de forma gráfica con un ejemplo. |sinopsis=El concepto de límite explicado de forma gráfica con un ejemplo.
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Revisión de 04:40 18 mar 2020

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.

  • Decimos que "x\; tiende a a\; por la izquierda" (x \rightarrow a^-) cuando x\; toma valores menores que a\;, cada vez más próximos a a\;, tan próximos a a\; como se quiera.
  • Decimos que "x\; tiende a a\; por la derecha" (x \rightarrow a^+) cuando x\; toma valores mayores que a\;, cada vez más próximos a a\;, tan próximos a a\; como se quiera.
  • Decimos que "x\; tiende a a\;" (x \rightarrow a) cuando x\; toma valores cada vez más próximos a a\;, tan próximos a a\; como se quiera, tanto a su izquierda como a su derecha.

Dada una función f(x)\;, cuando la variable independiente x\; se aproxima a un cierto punto a\;, ya sea por la derecha o por la izquierda, f(x)\; va tomando valores que pueden aproximarse o no a un cierto punto. Diremos que:

  • Una función f(x)\; tiene límite por la izquierda en un punto a\;, si existe un número L_1 \in \mathbb{R}, de manera que cuando x \rightarrow a^-\;, los correspondientes valores f(x) \rightarrow L_1. Lo representaremos:
\lim_{x \to a^-} f(x)=L_1

  • Una función f(x)\; tiene límite por la derecha en un punto a\;, si existe un número L_2 \in \mathbb{R}, de manera que cuando x \rightarrow a^+\;, los correspondientes valores f(x) \rightarrow L_2. Lo representaremos:
\lim_{x \to a^+} f(x)=L_2

  • Una función f(x)\; tiene límite en un punto a\;, si existe un número L \in \mathbb{R} de manera que

\lim_{x \to a^-} f(x)=\lim_{x \to a^+} f(x)=L

     y lo representaremos:

\lim_{x \to a} f(x)=L

     Nótese que aunque existan los límites laterales, si estos no coinciden, el límite no existe.

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