Plantilla:Límite de funciones a trozos

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Revisión de 09:22 1 abr 2020

A continuación vamos a ver cómo se estudian los límites de una función definida a trozos. Por simplicidad supondremos que la función consta de sólo dos trozos, pero el procedimiento es extensible a funciones definidas en más de dos trozos.

ejercicio

Procedimiento


Consideremos la siguiente función definida a trozos:

f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \mbox{si }x < a \\  f_2(x) & \mbox{si }x>a \end{cases}

con f_1(x)\; y f_2(x)\; continuas.

Para el estudio del \lim_{x \to c} f(x) consideraremos los siguientes casos:

  1. Si c<a\;, entonces \lim_{x \to c} f(x)=f_1(c)
  2. Si c>a\;, entonces \lim_{x \to c} f(x)=f_2(c)
  3. Si c=a\;, entonces es necesario calcular los límites laterales y si éstos coinciden existirá el límite. Para calcular los límites laterales procederemos como se indica a continuación:
     \lim_{x \to a^-} f(x)=f_1(a)
     \lim_{x \to a^+} f(x)=f_2(a)

Entonces, si f_1(a)=f_2(a)=k\;, existirá el límite y será: \lim_{x \to a} f(x)=k.

ejercicio

Ejemplo: Límite de una función definida a trozos. Estudio de la continuidad


Estudia la continuidad de la siguiente función:

y = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x \le 1 \\  2x+1 & \mbox{si }x>1 \end{cases}

ejercicio

Ejemplo: Límite de una función definida a trozos con parámetros. Estudio de la continuidad


Halla el valor del parámetro "n" para que la función sea continua en toda la recta real:

y = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x \le 1 \\  2x+n & \mbox{si }x>1 \end{cases}

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