Plantilla:Límite de funciones a trozos

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A continuación vamos a ver cómo se estudian los límites de una función definida a trozos. Por simplicidad supondremos que la función consta de sólo dos trozos, pero el procedimiento es extensible a funciones definidas en más de dos trozos.

Procedimiento

Consideremos la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \mbox{si }x < a \\ f_2(x) & \mbox{si }x>a \end{cases}$

con $f_1(x)\;$ y $f_2(x)\;$ continuas.

Para el estudio del $\lim_{x \to c} f(x)$ consideraremos los siguientes casos:

Si $c<a\;$ , entonces $\lim_{x \to c} f(x)=f_1(c)$
Si $c>a\;$ , entonces $\lim_{x \to c} f(x)=f_2(c)$
Si $c=a\;$ , entonces es necesario calcular los límites laterales y si éstos coinciden existirá el límite. Para calcular los límites laterales procederemos como se indica a continuación:

$\lim_{x \to a^-} f(x)=f_1(a)$

$\lim_{x \to a^+} f(x)=f_2(a)$

Entonces, si $f_1(a)=f_2(a)=k\;$ , existirá el límite y será: $\lim_{x \to a} f(x)=k$ .

Ejemplo: Límite de una función definida a trozos. Estudio de la continuidad

Estudia la continuidad de la siguiente función:

$y = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x \le 1 \\ 2x+1 & \mbox{si }x>1 \end{cases}$

Solución:

Veamos primero como es la función en cada trozo:

Si $x<1\;$ , $f(x)=x^2\;$ es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en $\mathbb{R}$ , en particular en $(-\infty,1)$ .

Si $x>1\;$ , $f(x)=2x+1\;$ es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en $\mathbb{R}$ , en particular en $(1,+\infty)$ .

Falta estudiar la continuidad en $x=1\;$ .

Recordemos que una función $f\;$ es continua en $x=c\;$ si

$\lim_{x \to c} f(x)=f(c)$

o equivalentemente, si

$\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^-} f(x)=f(c)$

Calculemos los límites laterales y el valor de la función en $x=1\;$ :

$\lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1^-} x^2=1^2=1$

$\lim_{x \to 1^+} f(x)=\lim_{x \to 1^+} 2x+1=2 \cdot 1+1=3$

$f(1)= 1^2=1\;$ .

Como $1 \ne 3$ , los límites laterales no coinciden y, por tanto, no existe el límite en $x=1\;$ . En consecuencia, la función no es continua en $x=1\;$ .

Ejercicios: Límite de una función definida a trozos. Estudio de la continuidad

Ejercicio 1 (23'45") Sinopsis:

Estudia la continuidad de la función:

$f(x) = \begin{cases} x-2 & \mbox{si }x < -1 \\ -3 & \mbox{si } -1 \le x \le 2 \\ 3+x & \mbox{si }2<x<4 \\ 7 & \mbox{si }x>4 \end{cases}$

Ejercicio 2a (5'33") Sinopsis:

Comprueba que la siguiente función tiene una discontinuidad evitable:

$f(x) = \begin{cases} 3x-1 & \mbox{si }x \le 2 \\ -x+6 & \mbox{si }x>2 \end{cases}$

Ejercicio 2b (5'23") Sinopsis:

Comprueba que la siguiente función tiene una discontinuidad evitable:

$f(x) = \begin{cases} x^2+1 & \mbox{si }x \ne 2 \\ 3 & \mbox{si }x=2 \end{cases}$

Ejercicio 2c (13'38") Sinopsis:

Estudia la continuidad de la función:

$f(x) = \begin{cases} x^2+2 & \mbox{si }x \le 1 \\ -x^2+2x+2 & \mbox{si }x>1 \end{cases}$

Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema.

Ejercicio 2d (13'38") Sinopsis:

Estudia la continuidad de la función:

$f(x) = \begin{cases} x^2+4x+2 & \mbox{si }x < -1 \\ x^3 & \mbox{si } -1<x \le 1 \\ 3x & \mbox{si }x>1 \end{cases}$

Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema.

Ejercicio 3 (6'57") Sinopsis:

Estudia la continuidad de la función:

$f(x) = \begin{cases} 1 & \mbox{si }x \le -2 \\ \cfrac{x}{2} & \mbox{si } -2<x<4 \\ \sqrt{x} & \mbox{si }x \ge 4 \end{cases}$

Ejemplo: Límite de una función definida a trozos con parámetros. Estudio de la continuidad

Halla el valor del parámetro "n" para que la función sea continua en toda la recta real:

$y = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x \le 1 \\ 2x+n & \mbox{si }x>1 \end{cases}$

Solución:

Veamos primero como es la función en cada trozo:

Si $x<1\;$ , $f(x)=x^2\;$ es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en $\mathbb{R}$ , en particular en $(-\infty,1)$ .

Si $x>1\;$ , $f(x)=2x+n\;$ es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en $\mathbb{R}$ , en particular en $(1,+\infty)$ .

Falta estudiar la continuidad en $x=1\;$ .

Recordemos que una función $f\;$ es continua en $x=c\;$ si

$\lim_{x \to c} f(x)=f(c)$

o equivalentemente, si

$\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^-} f(x)=f(c)$

Calculemos los límites laterales y el valor de la función en $x=1\;$ :

$\lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1^-} x^2=1^2=1$

$\lim_{x \to 1^+} f(x)=\lim_{x \to 1^+} 2x+n=2 \cdot 1+n=2+n$

$f(1)= 1^2=1\;$ .

Para que los dos límites laterales coincidan con $f(1)\;$ deberá ocurrir que:

$2+n = 1 \ \rightarrow \ n=-1$

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Ejercicios: Límite de una función definida a trozos con parámetros. Estudio de la continuidad

Ejercicio 1 (9'13") Sinopsis:

Averigua los valores de "a" y "b" para que la siguiente función sea continua.

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x < 0 \\ ax+b & \mbox{si } 0 \le x < 1 \\ 2 & \mbox{si } x \ge1 \end{cases}$

Ejercicio 2a (17'24") Sinopsis:

Averigua los valores de "m" para que la siguiente función sea continua en x=1.

$f(x) = \begin{cases} 3-mx^2 & \mbox{si }x \le 1 \\ \cfrac{2}{mx} & \mbox{si }x>1 \end{cases}$

Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema.

Ejercicio 2b (13'04") Sinopsis:

Averigua los valores de "a" y "b" para que la siguiente función sea continua en x=1:

$f(x) = \begin{cases} x^2+\cfrac{a}{x}+be^{x-1} & \mbox{si }x \le 1 \\ \cfrac{2}{x+1} & \mbox{si }x>1 \end{cases}$

Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema.

Ejercicio 3a (3'40") Sinopsis:

Halla el valor de "h" para que la siguiente función se continua en el conjunto de los números reales:

$f(x) = \begin{cases} 3hx+1 & \mbox{si }x \le 3 \\ 2x^2+hx-5 & \mbox{si }x>3 \end{cases}$

Ejercicio 3b (13'12") Sinopsis:

Halla el valor de "a" y "b" para que la siguiente función se continua en el conjunto de los números reales:

$f(x) = \begin{cases} 3x^2-1 & \mbox{si }x \le -1 \\ 2ax+3b & \mbox{si }-1<x<2 \\ 4x+7 & \mbox{si }x \ge 2 \end{cases}$

Ejercicio 4a (9'41") Sinopsis:

Halla el valor de "a" y "b" para que las siguientes funciones sean continuas en el conjunto de los números reales:

a) $f(x) = \begin{cases} ax-b & \mbox{si }x \le -1 \\ ax^2-bx+3 & \mbox{si }-1<x \le 2 \\ a-bx^3 & \mbox{si }x > 2 \end{cases}$

b) $f(x) = \begin{cases} ax^2+b & \mbox{si }x < 0 \\ x-a & \mbox{si }0 \le x<1 \\ b+\cfrac{a}{c} & \mbox{si }x \ge 1 \end{cases}$

Ejercicio 4b (7'49") Sinopsis:

Halla el valor de "a" y "b" para que la siguiente función sea continua en el conjunto de los números reales:

$f(x) = \begin{cases} 1+cos \, x & \mbox{si }x \le 0 \\ 2(a+x) & \mbox{si }0<x<1 \\ \cfrac{b}{x^2} & \mbox{si }x \ge 1 \end{cases}$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:L%C3%ADmite_de_funciones_a_trozos"

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