Plantilla:Límite de funciones a trozos

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-|sinopsis=Halla el valor de "a" y "b" para que las siguientes funciones sean continuas en el conjunto de los números reales:+|sinopsis=Estudia la continuidad de la función:
-:a) <math>f(x) = \begin{cases} ax-b & \mbox{si }x \le -1 \\ ax^2-bx+3 & \mbox{si }-1<x \le 2 \\ a-bx^3 & \mbox{si }x > 2 \end{cases}</math>+:<math>f(x) = \begin{cases} x^2+2 & \mbox{si }x \le 1 \\ -x^2+2x+2 & \mbox{si }x>1 \end{cases}</math>
-:b) <math>f(x) = \begin{cases} ax^2+b & \mbox{si }x < 0 \\ x-a & \mbox{si }0 \le x<1 \\ b+\cfrac{a}{c} & \mbox{si }x \ge 1 \end{cases}</math>+
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-|sinopsis=Halla el valor de "a" y "b" para que la siguiente función sea continua en el conjunto de los números reales:+
-: <math>f(x) = \begin{cases} 1+cos \, x & \mbox{si }x \le 0 \\ 2(a+x) & \mbox{si }0<x<1 \\ \cfrac{b}{x^2} & \mbox{si }x \ge 1 \end{cases}</math>+Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema.
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Línea 124: Línea 117:
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-|titulo1=Ejercicio 4+|titulo1=Ejercicio 3
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:<math>f(x) = \begin{cases} 3x^2-1 & \mbox{si }x \le -1 \\ 2ax+3b & \mbox{si }-1<x<2 \\ 4x+7 & \mbox{si }x \ge 2 \end{cases}</math> :<math>f(x) = \begin{cases} 3x^2-1 & \mbox{si }x \le -1 \\ 2ax+3b & \mbox{si }-1<x<2 \\ 4x+7 & \mbox{si }x \ge 2 \end{cases}</math>
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 +:a) <math>f(x) = \begin{cases} ax-b & \mbox{si }x \le -1 \\ ax^2-bx+3 & \mbox{si }-1<x \le 2 \\ a-bx^3 & \mbox{si }x > 2 \end{cases}</math>
 +:b) <math>f(x) = \begin{cases} ax^2+b & \mbox{si }x < 0 \\ x-a & \mbox{si }0 \le x<1 \\ b+\cfrac{a}{c} & \mbox{si }x \ge 1 \end{cases}</math>
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 +: <math>f(x) = \begin{cases} 1+cos \, x & \mbox{si }x \le 0 \\ 2(a+x) & \mbox{si }0<x<1 \\ \cfrac{b}{x^2} & \mbox{si }x \ge 1 \end{cases}</math>
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Revisión de 18:00 18 mar 2020

A continuación vamos a ver cómo se estudian los límites de una función definida a trozos. Por simplicidad supondremos que la función consta de sólo dos trozos, pero el procedimiento es extensible a funciones definidas en más de dos trozos.

ejercicio

Procedimiento


Consideremos la siguiente función definida a trozos:

f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \mbox{si }x < a \\  f_2(x) & \mbox{si }x>a \end{cases}

Para el estudio del \lim_{x \to c} f(x) consideraremos los siguientes casos:

  1. c<a\;: \lim_{x \to c} f(x)=\lim_{x \to c} f_1(x)
  2. c>a\;: \lim_{x \to c} f(x)=\lim_{x \to c} f_2(x)
  3. c=a\;: Es necesario calcular los límites laterales y si éstos coinciden existirá el límite.
     \lim_{x \to a^-} f(x)=\lim_{x \to a^-} f_1(x)
     \lim_{x \to a^+} f(x)=\lim_{x \to a^+} f_2(x)

ejercicio

Ejemplo: Límite de una función definida a trozos


Estudia la continuidad de la siguiente función:

y = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x \le 1 \\  2x+1 & \mbox{si }x>1 \end{cases}

ejercicio

Ejemplo: Límite de una función definida a trozos


Halla el valor del parámetro "n" para que la función sea continua en toda la recta real:

y = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x \le 1 \\  2x+n & \mbox{si }x>1 \end{cases}

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