Plantilla:Límite de funciones racionales cuando x tiende a infinito

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Revisión de 05:56 2 abr 2020

Proposición

Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:

$\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;$

Se cumple que:

$\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}$ (análogamente si $x \to - \infty$ )

Se pueden dar los siguientes casos:

grado(P) > grado(Q): tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser $+ \infty$ ó $- \infty$ .
grado(P ) = grado(Q): tras simplificar la fracción queda una constante, $\cfrac{a_n}{b_n}$ , que es el valor del límite.
grado(P) < grado(Q): tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.

Ejemplos:

$\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x^2-5x+3}{3x-5} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x^2}{3x} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x}{3} = - \infty$

$\lim_{x \to + \infty} \cfrac{x^2+3}{x^3} =\lim_{x \to + \infty} \cfrac{x^2}{x^3} =\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{x} = 0$

$\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3x^2-5x+1}{2x^2-6} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3x^2}{2x^2} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3}{2} = \cfrac{3}{2}$

Límite de una función racional en el infinito

Tutorial 1 (14'19") Sinopsis:

Límites cuando x tiende a infinito de cocientes de polinomios (método rápido) y diferencias de expresiones infinitas.

Tutorial 2 (26'20") Sinopsis:

Límite de funciones racionales y de raíces de funciones racionales.

Tutorial 3a (3'43") Sinopsis:

Caso 1: denominador con grado mayor que el numerador.

Tutorial 3b (3'55") Sinopsis:

Caso 2: denominador con grado igual que el numerador.

Tutorial 3c (2'57") Sinopsis:

Caso 3: denominador con grado menor que el numerador.

Tutorial 4 (11'23") Sinopsis:

Para calcular el límite de un cociente de polinomios cuando x → +∞ o cuando x → -∞, dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de "x" que aparezca en el denominador.

Si numerador y denominador son de igual grado, el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador y el denominador.
Si el numerador es de menor grado que el denominador, el límite es 0.
Si el numerador es de mayor grado que el denominador, el límite es +∞ ó -∞ según que el numerador y el denominador tengan igual signo o no.

Ejercicio 1a (5'16") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to + \infty} \cfrac{4x}{x^2+9}$

Ejercicio 1b (5'40") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to + \infty} \cfrac{3x^2+x-2}{x^2-5}$

Ejercicio 1c (4'32") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to + \infty} log \, \cfrac{x^6-500}{x^6+500}$