Plantilla:Limite en el infinito

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Decimos que " $x\;$ tiende a + infinito" ( $x \rightarrow + \infty$ ) cuando $x\;$ toma valores positivos tan grandes como queramos.

Decimos que " $x\;$ tiende a - infinito" ( $x \rightarrow - \infty$ ) cuando $x\;$ toma valores negativos tan pequeños como queramos.

A veces te podrás encontrar también la expresión " $x\;$ tiende a infinito" ( $x \rightarrow \infty$ ) cuando $x\;$ tiende, indistintamente, a $+ \infty$ o a $- \infty$ , aunque también hay quien la usa en lugar de $x \rightarrow + \infty$ .

Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a $+ \infty$ (o a $- \infty$ ) son los siguientes:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$ si cuando $x \to + \infty$ , los valores de $f(x)\;$ se hacen tan grandes que no se pueden acotar.
$\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$ si cuando $x \to + \infty$ , los valores de $f(x)\;$ se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.
$\lim_{x \to +\infty} f(x)=L \in \mathbb{R}$ si cuando $x \to + \infty$ , los valores de $f(x)\;$ se hacen tan proximos a $L\;$ como se quiera.

En este caso se dice que la recta $y=L\;$ es una asíntota horizontal (A.H.) de la función.

En estas tres definiciones se puede cambiar $x \to +\infty$ por $x \to -\infty$ para obtener otras tres definiciones análogas.

Límite de una función en el infinito

Tutorial 1 (6'29") Sinopsis:

Idea gráfica del límite de una función cuando x tiende a infinito

Tutorial 2 (12'33") Sinopsis:

4 ejemplos muy sencillos.

Tutorial 3 (17'30") Sinopsis:

En este vídeo hablamos del límite de la función "f" cuando x → +∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞. También hablamos del límite de "f" cuando x → -∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞.

Tutorial 4 (nivel superior) (33'58") Sinopsis:

Definición rigurosa de límite de una función cuando x tiende a (+/-) infinito.

Ejemplo: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en $+ \infty$ y $- \infty$ , cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.

a) $f(x)= \cfrac{1}{x}$ b) $f(x)= x^3\;$ c) $f(x)= 2^x\;$ d) $f(x)= log \, x$ e) $f(x)= sen \, x$

Solución:

a) $\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{x}=0$ (La recta y=0 es una A.H. por $+ \infty$ )

$\lim_{x \to -\infty} \cfrac{1}{x}=0$ (La recta y=0 es una A.H. por $- \infty$ )

b) $\lim_{x \to + \infty} x^3= + \infty$

$\lim_{x \to - \infty} x^3= - \infty$

c) $\lim_{x \to + \infty} 2^x= + \infty$

$\lim_{x \to - \infty} 2^x= 0$ (La recta y=0 es una A.H. por $- \infty$ )

d) $\lim_{x \to + \infty} log \, x=+ \infty$

$\lim_{x \to - \infty} log \, x= \mbox{no tiene sentido plantearlo}$

e) $\lim_{x \to + \infty} sen \, x = \mbox{ no existe por ser oscilante}$

$\lim_{x \to - \infty} sen \, x = \mbox{ no existe por ser oscilante}$

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Limite_en_el_infinito"

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