Plantilla:Logaritmos (1ºBach)

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 07:16 9 jun 2017

Tabla de contenidos

1 Logaritmos
2 Propiedades de los logaritmos
3 Logaritmos decimales
- 3.1 Calculadora
4 Logaritmos neperianos
- 4.1 Calculadora
5 La función logarítmica
- 5.1 Propiedades de las funciones logarítmicas

Logaritmos

(pág. 37)

Sea $a \in \mathbb{R}^+~,~(a \ne 1)$ . Se define el logaritmo en base a de un número real $P\;$ , y se designa por $log_a \ P$ , al exponente $x\;$ al que hay que elevar la base $a\;$ para obtener $P\;$ , es decir:

$log_a \ P=x \iff a^x=P$

Por consiguiente, podemos ver al logaritmo como la operación inversa de la potenciación.

(pág. 38)

Ejercicios resueltos: Logaritmos

Hallar los siguientes logaritmos reconociendo la potencia correspondiente:

$log_3 \ 81,\ log_{10} \ 0.01,\ log_5 \ 0.2, \ log_2 \ 0.125$

Solución:

$log_3 \ 81=log_3 \ 3^4=4$
$log_{10} \ 0.01=log_{10} \ 10^{-2}=-2$
$log_5 \ 0.2=log_5 \ \cfrac{1}{5}=log_5 \ 5^{-1}=-1$
$log_2 \ 0.125=log_2 \ \cfrac{125}{1000}=log_2 \ \cfrac{1}{8}=log_2 \ 2^{-3}=-3$

Logaritmos

Tutorial 1 (21'03") Sinopsis:

Tutorial que explica la definición de logaritmo y realiza el cálculo de algunos logaritmos exactos (resultado racional) para comprender el significado de esta operación matemática.

00:00 a 06:40: Introducción a logaritmo.
06:40 a 09:18: Definición de Logaritmo. Explicación.
09:18 a 15:52: Ejercicios con Logaritmos (I).
- 14:40 : Logaritmo no exacto.
15:52 a 21:03: Ejercicios de Logaritmos (II).

Tutorial 2 (7´38") Sinopsis:

Concepto de logaritmo de un número.

Tutorial 3 (18´39") Sinopsis:

Definición del logaritmo de un número. Ejemplos

Ejemplo 1 (1'58") Sinopsis:

1 ejemplo de logaritmo sencillo.

Ejemplos 2 (14'51") Sinopsis:

4 ejemplos de logaritmos sencillos.

Ejemplos 3 (11'38") Sinopsis:

5 ejemplos de logaritmos sencillos.

12 ejercicios sobre logaritmos (10´15") Sinopsis:

Calcula:

$log_2 \, 8$ , $log_2 \, \cfrac{1}{16}$ , $log_4 \, 64$ , $log_4 \, \cfrac{1}{4}$

$log_4 \, 2$ , $log_8 \, 4$ , $log_8 \, 16$ , $log_{\frac{1}{3}} \, 9$

$log_{\frac{1}{3}} \, \cfrac{1}{81}$ , $log \, 0.01$ , $log \, 10000$ , $log_{\frac{2}{3}} \, \cfrac{81}{16}$

6 ejercicios sobre logaritmos (5´27") Sinopsis:

Resuelve:

$log_x \, 13 = -2$
$log_4 \, 5x = 2$
$log_{\sqrt{3}} \, (x-1) = 2$
$log_{\frac{1}{8}} \, x = -\cfrac{1}{3}$
$log_{x-5} \, 256 = 8$
$log_{\frac{1}{3}} \, 1 = x$

Propiedades de los logaritmos

(pág. 37)

Propiedades de los logaritmos:

1: Igualdad y orden:

a) $P \ne Q \Rightarrow log_a \ P \ne log_a \ Q$ o equivalentemente,

$log_a \ P = log_a \ Q \Rightarrow P=Q$

b) $P < Q \Rightarrow log_a \ P < log_a \ Q, \quad si~ a>1$

c) $P < Q \Rightarrow log_a \ P > log_a \ Q, \quad si~ 0<a<1$

2: Logaritmo de la base:

a) $log_a \ a=1$

b) $log_a \ a^n=n$

c) $log_a \ 1=0$

3: Logaritmo de números negativos o nulos:

Si $P \le 0$ , entonces $log_a \ P$ no existe.

4: Logaritmo de un producto:

$log_a \ (P \cdot Q)=log_a \ P + log_a \ Q$

5: Logaritmo de un cociente:

$log_a \ \cfrac{P}{Q}=log_a \ P - log_a \ Q$

6: Logaritmo de una potencia:

$log_a \ P^n=n \cdot log_a \ P$

7: Logaritmo de una raíz:

$log_a \ \sqrt[n]{P}=\cfrac{1}{n} \cdot log_a \ P$

8: Cambio de base:

$log_a \ P=\cfrac{log_b \ P}{log_b \ a}$

(pág. 39)

Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos

Sabiendo que $log_2 \ A=3.5 \ y \ log_2 \ B=-1.4$ , calcula:

a) $log_2 \ \cfrac{A \cdot B}{4}$

b) $log_2 \ \cfrac{2 \sqrt{A}} {B^3}$

Solución:

a) $log_2 \ \cfrac{A \cdot B}{4} \begin{matrix}~_{[5]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} log_2 \ (A \cdot B) - log_2 \ 4=$

$\begin{matrix}~_{[4]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} log_2 \ A + log_2 \ B - log_2 \ 4=3.5-1.4-2=0.1$

b) $log_2 \ \cfrac{2 \sqrt{A}} {B^3} \begin{matrix}~_{[5]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} log_2 \ 2 \sqrt{A} - log_2 \ B^3 =$

$\begin{matrix}~_{[4]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} log_2 \ 2+ log_2 \sqrt{A} - log_2 \ B^3=1+ log_2 \ A^{\frac{1}{2}} - log_2 B^3=$

$\begin{matrix}~_{[6]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} 1+ \cfrac{1}{2} ~log_2 \ A - 3 \, log_2 \ B=1+ \cfrac{1}{2} \cdot 3.5 - 3 \cdot (-1.4) = 6.95$

Propiedades de los logaritmos

Tutorial 1 (25'59") Sinopsis:

Tutorial que explica la definición de logaritmo y realiza el cálculo de algunos logaritmos exactos (resultado racional) para comprender el significado de esta operación matemática.

00:00 a 03:10: Introducción a logaritmo. Ejercicios de repaso.
03:10 a 06:25: Propiedades Básicas.
06:25 a 08:30: Propiedad: Logaritmo de un Producto. Demostración.
08:30 a 09:20: Propiedad: Logaritmo de una Potencia. Demostración.
09:20 a 10:30: Propiedad: Logaritmo de un Cociente. Demostración.
10:30 a 13:45: Propiedad: Cambio de Base. Demostración.
13:45 a 25:59: Ejercicios de Logaritmos.

Tutorial 2 (13´22") Sinopsis:

Demostración de las propiedades de los logaritmos.

Identidad fundamental del logaritmo (7´58") Sinopsis:

Identidad fundamental del logaritmo. Ejemplos de aplicación.

Logaritmo de un producto (15'28") Sinopsis:

Demostración de la propiedad del logaritmo de un producto. Ejemplos de aplicación.

Logaritmo de un cociente (12'34") Sinopsis:

Demostración de la propiedad del logaritmo de un cociente. Ejemplos de aplicación.

Logaritmo de una potencia (10'57") Sinopsis:

Demostración de la propiedad del logaritmo de una potencia. Ejemplos de aplicación.

Logaritmo de una raíz (15'24") Sinopsis:

Demostración de la propiedad del logaritmo de una raíz. Ejemplos de aplicación.

Ejercicio 1 (3´19") Sinopsis:

Si $a=ln \, 2$ y $b=ln \, 3$ , expresa $ln \, \cfrac{8}{9}$ en términos de a y b.

Ejercicio 2 (5´13") Sinopsis:

Si $ln \, A=5$ , $ln \, B=-2$ y $ln \, C=-7$ , encuentra el valor numérico de la expresión $ln \, \cfrac{A^3 B^4}{C^6}$ .

Ejercicio 3 (3´23") Sinopsis:

Escribe como un solo logaritmo: $\cfrac{1}{3}\,log\,A+\cfrac{1}{2}\,\left( log\,B - log\,C \right)$ .

Ejercicios 4 (9´34") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes logaritmos:

$log \, \cfrac{5z^3u^2}{2x^7}$
$log \, \cfrac{1}{2z^5 \sqrt{u}}$
$log_6 \, \cfrac{2x+3z}{u^5}$
$ln \, \sqrt[3]{\cfrac{x}{z^2u^7}}$
$log_k \, \sqrt{ k \, \sqrt {k\, {\sqrt{k}}}}$

Ejercicios 5 (8´45") Sinopsis:

Reduzca las siguientes expresiones a un solo logaritmo:

$2 \, log \, x - 3 \, log \, z$
$\cfrac{1}{3} \; log \, (x+z) - \cfrac{1}{2} \; log \, (x-z)$
$2 - 3 \, log \, x + \cfrac{1}{5} \; log \, z$
$3 - \cfrac{1}{2} \, log_2 \, (x-2z) - 6 \, log_2 \, x$
$1 + 3 \, ln \ x^2 - \cfrac{2}{5} \; ln \, (1+x)$

Ejercicios 6 (7´13") Sinopsis:

Ejercicios:

Expresa $log \, \cfrac{0.016^5 \cdot 20}{\sqrt{128}}$ en función de log 2.
Expresa $log \, \cfrac{12 \sqrt[3]{36}}{\sqrt{0.09^3 \cdot 160}}$ en función de log 2 y log 3.

Ejercicios 7 (6´18") Sinopsis:

Resuelve:

Si un número se multiplica por 49, su logaritmo (en base desconocida) aumenta en 2 unidades. Halla la base.
Resuelve la ecuación $log_x \, 12 + log_x \, 3 = 2$
Determina el menor entero que satisface la condición $2.43^x > 13 \;$
Determina el mayor real que satisface la condición $2.51^x \le 7 \;$

El antilogaritmo (9´31") Sinopsis:

Definición del antilogaritmo de un número. Ejemplos.

Nota: El antilogaritmo es como la inversa del logaritmo, es decir, la exponencial.

El cologaritmo (10´50") Sinopsis:

Definición de cologaritmo de un número. Ejemplos.

Nota: El cologaritmo es igual al opuesto del logaritmo.

Regla de la cadena (16´55") Sinopsis:

Demostración de la regla de la cadena, una generalización de la fórmula del cambio de base:

$log_b \, a \cdot log_a \, c \cdot log_c \, d = log_b \, d$

Regla del intercambio (11´25") Sinopsis:

Demostración de la regla del intercambio:

$a^{log_b \, c} = c^{log_b \, a}$

Logaritmos decimales

(pág. 38)

Los logaritmos decimales son aquellos de base 10. En vez de representarlos por $log_{10}\;$ , los representaremos, simplemente, por $log\;$ . Esto es:

$log_{10} \ P=log \ P$

Calculadora

Calculadora: Logaritmo decimal

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\log \ 100$

Procedimiento: $100\;\!$

Solución: $2\;\!$

Antes de la existencia de las calculadoras, los logaritmos decimales se obtenían a partir de las llamadas tablas logarítmicas.

Haciendo uso de la propiedad del cambio de base, vista en un apartado anterior, podemos calcular logaritmos en cualquier base utilizando logaritmos decimales. He aquí un ejemplo:

Logaritmos

Actividad: Logaritmos

a) Calcula: $log \ 0.1, \ log_2 \ {16}, \ ln \ {e^2}$ .

b) Averigua la relación entre x e y sabiendo que $ln y = x + ln \ 7 \;$ .

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) log_10 0.1 log_2 16 log e^2

b) log y = x + log 7

(pág. 38)

Ejemplo: Cambio de base

Usa la calculadora para hallar $log_2 \ 11$ .

Solución:

Como la calculadora científica no tiene logaritmos en base 2, mediante la fórmula del cambio de base haremos un cambio de base 2 a base 10:

$log_2 \ 11=\cfrac{log \ 11}{log \ 2}=3,45943...$

ya que $log \ 2$ y $log \ 11$ se pueden obtener directamente con la calculadora.

Cambio de base de logaritmos (7´16") Sinopsis:

Demostración de la fórmula del cambio de base y ejemplos usando la calculadora.

Logaritmos neperianos

(pág. 38)

Los logaritmos neperianos o logaritmos naturales son aquellos cuya base es el número e (2.71828...). En vez de representarlos por $log_{e}\;$ , los representaremos, simplemente, por $ln\;$ . Esto es:

$log_{e} \ P=ln \ P$

Deben su nombre a Neper, matemático escocés, que los inventó en 1614.

Calculadora

Calculadora: Logaritmo neperiano

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\ln \ 50$

Procedimiento: $50\;\!$

Solución: $3.912023005\;\!$

John Napier (Neper)

(pág. 39)

Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos

Averiguar la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: $ln \ y=x+ ln \ 7$

Solución:

Partiendo de la relación dada:

$ln \ y=x+ ln \ 7$

Como por la definición de logaritmo, $x= ln \ e^x$ , entonces:

$ln \ y=ln \ e^x \cdot ln \ 7$

Por la propiedad 4 de los logaritmos:

$ln \ y=ln \ \left ( e^x \cdot 7 \right )$

Por la propiedad 1a de los logaritmos:

$y=e^x \cdot 7$

Por tanto, la relación pedida es:

$y=7 e^x \,$

La función logarítmica

Sea $a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1$ . Se define la función logarítmica de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+ \rightarrow \mathbb{R} \quad \\ \, \qquad \qquad \ x \ \rightarrow y=log_a \, x \end{matrix}$

La función logarítmica de base el número e = 2,7182... es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por $ln \, x$ .

La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por $log \, x$ (sin especificar la base).

Funciones logarítmicas con distintas bases:

- En rojo está representada la de base e.

- En verde la de base 10.

- En púrpura la de base 1.7.

Propiedades de las funciones logarítmicas

Propiedades de la función logarítmica

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio: $D_f=\mathbb{R}_*^+=\mathbb{R}^+ - \{0\}$ .
Pasan por $(1,0)\;$ y $(a,1)\;$ .
Crecimiento:

Si $a>1\;$ son crecientes.
Si $0<a<1\;$ son decrecientes.
Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice $\sqrt[n]{x}$ .

La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta $y=x\;$ .

Funciones logarítmicas

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Logaritmos_%281%C2%BABach%29"

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