Plantilla:Método de Gauss (1ºBACH)

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-Fíjate que para resolver este sistema, basta con despejar la incógnita ''z'' de la tercera ecuación, obteniendose ''z = 1''. Posteriormente, sustituyendo dicho valor de z en la segunda ecuación, es posible despejar fácilmente la incógnita ''y'', resultando ''y = 1''. Finalmente, sustituyendo los valores de ''z'' e ''y'' en la primera ecuación , se despeja ''x'' sin mayor problema, y tendríamos que''x = 1''.+Fíjate que para resolver este sistema, basta con despejar la incógnita ''z'' de la tercera ecuación, obteniendose ''z = 1''. Posteriormente, sustituyendo dicho valor de z en la segunda ecuación, es posible despejar fácilmente la incógnita ''y'', resultando ''y = 1''. Finalmente, sustituyendo los valores de ''z'' e ''y'' en la primera ecuación , se despeja ''x'' sin mayor problema, y tendríamos que ''x = 1''.
{{p}} {{p}}
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Línea 83: Línea 83:
|sinopsis=Vídeo de introducción al método de Gauss que ilustra las ventajas de los sistemas escalonados para resolver sistemas de ecuaciones lineales. |sinopsis=Vídeo de introducción al método de Gauss que ilustra las ventajas de los sistemas escalonados para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
}} }}
-{{Video_enlace_rtve+{{Video: Gauss, de lo real a lo imaginario}}
-|titulo1=Gauss, de lo real a lo imaginario+
-|duracion=22´+
-|sinopsis=Principios del siglo XIX. Un joven matemático acaba de resolver un problema de más de 2.000 años de antigüedad: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. Esta va a ser una de las primeras anotaciones que hará en una vieja libreta de 19 páginas. Al final de su vida las anotaciones no llegarán a 50, pero sin duda esta libreta será el sueño de cualquier matemático del siglo XIX. Las aportaciones que en ella se reflejan contienen el suficiente material para mantener ocupados a todos los matemáticos del siglo.+
- +
-Sin embargo la fama de este joven, Gauss le va a venir de los cielos. A finales de 1800 los astrónomos descubren un nuevo objeto celeste. No se trata de un cometa, bien podía ser el planeta buscado tantos años entre Marte y Júpiter. Por desgracia se le pierde la pista. Pero con las pocas observaciones realizadas, Gauss se pone a la tarea de deducir su órbita y señala el lugar del cielo hacia donde apuntar los telescopios un año más tarde. Y en efecto alli aparece Ceres. +
- +
-Las increíbles aportaciones de Gauss no se limitan al mundo de las Matemáticas y de la Astronomía. Junto a Weber va a poner en marcha el primer telégrafo operativo unos años antes que el de Morse. En magnetismo también nos ha dejado su huella: el primer mapa magnético de la Tierra es obra suya. No es inmerecido el título de Príncipe de los Matemáticos, aunque reinó en casi todas las ciencias.+
-|url1=http://www.rtve.es/alacarta/videos/universo-matematico/paterna-universo-matematico-20100923-1907/1201226/+
-|url2=http://maralboran.org/web_ma/videos/gauss/gauss.htm+
-|url3=http://c0/helvia/aula/archivos/repositorio//0/102/html/index.htm+
-}}+
{{p}} {{p}}
{{Teorema_sin_demo|titulo=Criterios de equivalencia de sistemas|enunciado= {{Teorema_sin_demo|titulo=Criterios de equivalencia de sistemas|enunciado=
Línea 230: Línea 219:
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{{Videotutoriales|titulo=Método de Gauss|enunciado= {{Videotutoriales|titulo=Método de Gauss|enunciado=
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial
 +|duracion=9´51"
 +|url1=https://youtu.be/5wK7R7vWUSc?list=PLwCiNw1sXMSBR30XWbj_n2gmvxeMr-Fp5
 +|sinopsis=Método de Gauss para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas o más.
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=10´45"
 +|url1=https://youtu.be/OATgDPpHkTk?list=PLwCiNw1sXMSBR30XWbj_n2gmvxeMr-Fp5
 +|sinopsis=Resuelve por el método de Gauss:
 +
 +<math>
 +\left\{ \begin{matrix}
 + 2x \, + \, ~y \, + \, ~z & = & ~6
 + \\
 + 3x \, - \, ~y \, - \, 3z & = & -2
 + \\
 + ~x \, + \, ~y \, - \, 2z & = & -5
 + \end{matrix}
 +\right.
 +</math>
 +}}
{{Video_enlace_profesor10demates {{Video_enlace_profesor10demates
-|titulo1=Ejercicio 1a+|titulo1=Ejercicio 2a
|duracion=8´53" |duracion=8´53"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=-PWtVxzmhOo&t=1m14s |url1=https://www.youtube.com/watch?v=-PWtVxzmhOo&t=1m14s
Línea 248: Línea 261:
}} }}
{{Video_enlace_profesor10demates {{Video_enlace_profesor10demates
-|titulo1=Ejercicio 1b+|titulo1=Ejercicio 2b
|duracion=4´25" |duracion=4´25"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JZ1ag26w1v0&t=40s |url1=https://www.youtube.com/watch?v=JZ1ag26w1v0&t=40s
Línea 254: Línea 267:
}} }}
{{Video_enlace_profesor10demates {{Video_enlace_profesor10demates
-|titulo1=Ejercicio 2a+|titulo1=Ejercicio 3a
|duracion=7´48" |duracion=7´48"
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Línea 271: Línea 284:
}} }}
{{Video_enlace_profesor10demates {{Video_enlace_profesor10demates
-|titulo1=Ejercicio 2b+|titulo1=Ejercicio 3b
|duracion=4´25" |duracion=4´25"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=iz0sxuOHo6E&t=15s |url1=https://www.youtube.com/watch?v=iz0sxuOHo6E&t=15s
Línea 277: Línea 290:
}} }}
{{Video_enlace_profesor10demates {{Video_enlace_profesor10demates
-|titulo1=Ejercicio 3a+|titulo1=Ejercicio 4a
|duracion=7´58" |duracion=7´58"
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Línea 294: Línea 307:
}} }}
{{Video_enlace_profesor10demates {{Video_enlace_profesor10demates
-|titulo1=Ejercicio 3b+|titulo1=Ejercicio 4b
|duracion=4´44" |duracion=4´44"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=ZBmVTJb-m60&t=15s |url1=https://www.youtube.com/watch?v=ZBmVTJb-m60&t=15s
Línea 315: Línea 328:
{{p}} {{p}}
{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:{{b}}|contenido= {{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:{{b}}|contenido=
-:Consideremos el siguiente sistema:+Consideremos el siguiente sistema:
<center> <center>
<math> <math>
Línea 329: Línea 342:
</center> </center>
-:Operamos de la siguiente manera:+Operamos de la siguiente manera:
-:*<math>f2 \rightarrow f2 - 2 \cdot f1</math>+*<math>f2 \rightarrow f2 - 2 \cdot f1</math>
-:*<math>f3 \rightarrow f3 + 2 \cdot f1</math>+*<math>f3 \rightarrow f3 + 2 \cdot f1</math>
<center> <center>
Línea 339: Línea 352:
~~~x \, + \, 2y \, + \, 5z & = & -3 ~~~x \, + \, 2y \, + \, 5z & = & -3
\\ \\
- \qquad \, - \, ~~6y \, + \, -7z & = & ~~11+ \qquad \, - \, ~~6y \, - \, 7z & = & ~~11
\\ \\
\qquad \, + \, 12y \, + \, 14z & = & -10 \qquad \, + \, 12y \, + \, 14z & = & -10
Línea 347: Línea 360:
</center> </center>
-:Ahora operamos con la última ecuación para terminar de escalonar: +Ahora operamos con la última ecuación para terminar de escalonar:
-:*<math>f3 \rightarrow f3 + 2 \cdot f2</math>+*<math>f3 \rightarrow f3 + 2 \cdot f2</math>
<center> <center>
Línea 366: Línea 379:
<br/> <br/>
-:que es equivalente al inicial.+que es equivalente al inicial.
-:El sistema es incompatible pués la tercera ecuación es absurda.+El sistema es incompatible pués la tercera ecuación es absurda.
}} }}
Línea 377: Línea 390:
{{p}} {{p}}
{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:{{b}}|contenido= {{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:{{b}}|contenido=
-:Consideremos el siguiente sistema:+Consideremos el siguiente sistema:
<center> <center>
Línea 392: Línea 405:
</center> </center>
-:Operamos con las ecuaciones de la siguiente manera:+Reordenamos las ecuaciones y las incógnitas de la siguiente manera:
-:*<math>f1 \rightarrow f1+2 \cdot f3\;</math>+ 
 +*<math>c2 \leftrightarrow c1</math>
 +*<math>f3 \leftrightarrow f1</math>
<center> <center>
<math> <math>
\left\{ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix}
- 7x \, \, \qquad \, - \, 3z & = & 29+ ~~~~y \, + \, 3x \, - \, 2z & = & 13
\\ \\
- 2x \, \, \qquad \, - \, ~z & = & ~9+ ~~\quad \, ~\quad \, 2x \, - \, ~z & = & ~9
\\ \\
- 3x \, + \, ~y \, - \, 2z & = & 13+ -2y \, + \, ~x \, + \, ~z & = & ~3
\end{matrix} \end{matrix}
\right. \right.
Línea 408: Línea 423:
</center> </center>
-:Operamos con las dos primeras ecuaciones para dejar el sistema escalonado+Operamos con la primera y tercera ecuación:
-:*<math>f1 \rightarrow f1 - 3 \cdot f2\;</math>+*<math>f3 \rightarrow f3+2f1</math>
<center> <center>
<math> <math>
\left\{ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix}
- ~x \, \, \qquad \, \, \qquad & = & 2+ ~~~~y \, + \, 3x \, - \, 2z & = & 13
\\ \\
- 2x \, \, \qquad \, - \, ~z & = & ~9+ ~~\quad \, ~\quad \, 2x \, - \, ~z & = & ~9
\\ \\
- 3x \, + \, ~y \, - \, 2z & = & 13+ ~~\quad \, ~\quad \, 7x \, - \, 3z & = & ~29
 +\end{matrix}
 +\right.
 +</math>
 +</center>
 + 
 +Intercambiamos las incógnitas de la segunda y tercer columna:
 +*<math>c2 \leftrightarrow c3\;</math>
 + 
 +<center>
 +<math>
 +\left\{ \begin{matrix}
 + ~~~~y \, - \, 2z \, + \, 3x & = & 13
 + \\
 + ~\quad \, \quad - \, z \, + \, 2x & = & ~9
 + \\
 + ~~\quad \, - \, 3z \, + \, 7x & = & ~29
\end{matrix} \end{matrix}
\right. \right.
Línea 424: Línea 455:
</center> </center>
-:y que es equivalente al inicial.+Operamos con la segunda y tercera ecuación:
 +*<math>f3 \rightarrow f3-3f2</math>
-:De la primera ecuacion tenemos el valor de <math>x=2\;</math>.+<center>
 +<math>
 +\left\{ \begin{matrix}
 + ~~~~y \, - \, 2z \, + \, 3x & = & 13
 + \\
 + \ \quad \, \quad - \, ~z \, + \, 2x & = & ~9
 + \\
 + \ ~~\quad \, \, \ \quad ~ \, ~~ \, ~~~x & = & ~2
 + \end{matrix}
 +\right.
 +</math>
 +</center>
-:En la segunda ecuación, sustituimos <math>x=2\;</math>, para obtener <math>z=-5\;</math>+De la tercera ecuacion tenemos el valor <math>x=2\;</math>.
-:Y, finalmente, en la tercera ecuación sustituimos <math>x=2\;</math> y <math>z=-5\;</math>, para hallar <math>y=-3\;</math>.+En la segunda ecuación, sustituimos <math>x=2\;</math>, para obtener <math>z=-5\;</math>.
-:Así tenemos que la solución del sistema de ecuaciones inicial es:+Y, finalmente, en la primera ecuación sustituimos <math>x=2\;</math> y <math>z=-5\;</math>, para hallar <math>y=-3\;</math>.
 + 
 +Así tenemos que la solución del sistema de ecuaciones inicial es:
<center> <center>
Línea 442: Línea 487:
y=&-3 y=&-3
\\ \\
- z=&5+ z=&-5
\end{matrix} \end{matrix}
\right\} \right\}
Línea 448: Línea 493:
</center> </center>
-:Se trata, por tanto, de un sistema con una única solución, un S.C.D. (sistema compatible determinado).+Se trata, por tanto, de un sistema con una única solución, un S.C.D. (sistema compatible determinado).
}} }}
Línea 454: Línea 499:
---- ----
{{p}} {{p}}
-*'''Sistema compatible indeterminado (S.C.I.)''': Si no hay ecuaciones del tipo ''0 = b'', y además ''k < m'', es decir, el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y, en consecuencia, tiene infinitas soluciones. En este caso, tenemos que separar las incógnitas principales de las no principales. Pero, ¿cuáles son las incógnitas principales? Se puede dar el siguiente criterio: Si el sistema es escalonado y tiene ''k'' ecuaciones, las ''k'' primeras incógnitas serán las principales y las ''m - k'' restantes serán las no principales que pasaremos al segundo miembro como parámetros.+*'''Sistema compatible indeterminado (S.C.I.)''': Si no hay ecuaciones del tipo ''0 = b'', y además ''k < m'', es decir, el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y, en consecuencia, tiene infinitas soluciones. En este caso, tenemos que separar las incógnitas o "'''variables principales'''" de las no principales (también llamadas "'''variables libres'''"). Pero, ¿cuáles son las incógnitas principales? Las podemos elegir como queramos aunque podemos dar el siguiente criterio: Si el sistema es escalonado y tiene ''k'' ecuaciones, las ''k'' últimas incógnitas serán las "principales" y las ''m - k'' primeras serán las "libres", que pasaremos al segundo miembro como parámetros. No obstante, este criterio puede variarse según convenga.
{{p}} {{p}}
{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:{{b}}|contenido= {{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:{{b}}|contenido=
-:Consideremos el siguiente sistema:+Consideremos el siguiente sistema:
<center> <center>
Línea 473: Línea 518:
</center> </center>
-:Operamos de la siguiente manera: +Intercambiamos la fila 1 con la 2; y la columna 1 con la 2;
-:*<math>f1 \rightarrow f1 - 2 \cdot f2</math>+*<math>f1 \leftrightarrow f2\;</math>
-:*<math>f3 \rightarrow f3 -4 \cdot f2</math>+*<math>c1 \leftrightarrow c2\;</math>
<center> <center>
<math> <math>
\left\{ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix}
- -~~5x \qquad \qquad \quad & = & -10+ ~y \, + \, 4x \, - \, ~z & = & ~~7
\\ \\
- ~~~~4x \, + \, ~y \, - \, ~z & = & ~~7+ 2y \, + \, 3x \, - \, 2z & = & ~~4
\\ \\
- -15x \qquad \qquad \quad & = & -30+ 4y \, + \, ~x \, - \, 4z & = & -2
\end{matrix} \end{matrix}
\right. \right.
Línea 490: Línea 535:
</center> </center>
-:Intercambiamos las dos primeras ecuaciones:+ 
-:*<math>f1 \leftrightarrow f2</math>+Operamos de la siguiente manera:
 +*<math>f2 \rightarrow f2 - 2 \cdot f1</math>
 +*<math>f3 \rightarrow f3 -4 \cdot f1</math>
<center> <center>
<math> <math>
\left\{ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix}
- ~~~~4x \, + \, ~y \, - \, ~z & = & ~~7+ ~~y \, + \, ~4x \, - \, ~z & = & ~~7
\\ \\
- -~~5x \qquad \qquad \quad & = & -10+ \quad \, - \, ~5x \, \ \, \quad & = & -10
\\ \\
- -15x \qquad \qquad \quad & = & -30+ \quad \, - \, 15x \, \ \, \quad & = & -30
\end{matrix} \end{matrix}
\right. \right.
Línea 506: Línea 553:
</center> </center>
- +Operamos con las filas 2 y 3:
-:Ahora operamos con las dos últimas ecuaciones: +*<math>f3 \rightarrow f3-3f2</math>
-:*<math>f2 \rightarrow f2 : (-5)\;</math>+
-:*<math>f3 \rightarrow f3 - 3 \cdot f2</math>+
<center> <center>
<math> <math>
-\left\{+\left\{ \begin{matrix}
- \begin{matrix}+ ~~y \, + \, ~4x \, - \, ~z & = & ~~7
- 4x \, + \, y \, - \, z & = & 7+
\\ \\
- ~x\qquad \quad \quad \, & = & 2+ \quad \, - \, ~5x \, \ \, \quad & = & -10
\\ \\
- \qquad \quad \quad \, 0 & = & 0+ \quad \, ~ \, ~~0x \, \ \, \quad & = & ~~0
\end{matrix} \end{matrix}
\right. \right.
Línea 525: Línea 569:
</center> </center>
-:que es equivalente al inicial. 
-:La tercera ecuación se puede suprimir y nos queda el siguiente sistema:+Eliminamos la tercera fila por ser del tipo 0=0:
<center> <center>
<math> <math>
-\left\{+\left\{ \begin{matrix}
- \begin{matrix}+ ~~y \, + \, ~4x \, - \, ~z & = & ~~7
- 4x \, + \, y \, - \, z & = & 7+
\\ \\
- ~x\qquad \quad \quad \, & = & 2+ \quad \, - \, ~5x \, \ \, \quad & = & -10
- \end{matrix}+ \end{matrix}
\right. \right.
</math> </math>
</center> </center>
-:Es un sistema escalonado con ''k = 2'' ecuaciones y ''m = 3'' incógnitas, por lo que tendremos ''3 - 2 = 1'' parámetros. La tercera incógnita, ''z'', la usaremos como parámetro, por lo que tendremos que expresar las otras incógnitas en función de ''z'':+Simplificamos por 5 la segunda ecuación:
 +*<math>f2 \rightarrow -f2/5</math>
 + 
 +<center>
 +<math>
 +\left\{ \begin{matrix}
 + ~~y \, + \, ~4x \, - \, ~z & = & ~~7
 + \\
 + \quad \, \ \, ~~~x \, \ \, \quad & = & ~~2
 + \end{matrix}
 +\right.
 +</math>
 +</center>
 +{{p}}
 + 
 +Es un sistema escalonado sin ecuaciones del tipo ''0=0'' ó ''0=b'' (con ''b'' no nulo), con ''k=2'' ecuaciones y ''m=3'' incógnitas, por lo que tendremos ''3-2=1'' parámetro. Usaremos como parámetro, por ejemplo, la incógnita ''z'', por lo que tendremos que expresar las otras incógnitas en función de ''z''.
-:Sustituyendo el valor ''x = 2'' en la primera ecuación, nos queda: +Sustituyendo el valor ''x = 2'' en la primera ecuación, nos queda:
-<center><math>8+y-z=7\;</math></center>+<center><math>y+8-z=7\;</math></center>
-:y despejando ''y'' :+Despejando ''y'' :
<center><math>y=z-1\;</math></center> <center><math>y=z-1\;</math></center>
-:Así, las soluciones del sistema, expresadas en función del parámetro ''z'', son:+Así, las soluciones del sistema, expresadas en función del parámetro ''z'', son:
<center> <center>
Línea 566: Línea 623:
</center> </center>
{{p}} {{p}}
-:Para cada valor del parámetro ''z'' se obtiene una solución del sistema. Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones y se trata de un sistema compatible indeterminado.+Para cada valor del parámetro ''z'' se obtiene una solución del sistema. Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones y se trata de un sistema compatible indeterminado.
-:Para enfatizar que ''z'' es un parámetro, éste suele sustituirse por otra letra, por ejemplo <math>\lambda</math>, aunque no es obligatorio. Así, la expresión paramétrica de la solución del sistema quedaría:+Para enfatizar que ''z'' es un parámetro, éste suele sustituirse por otra letra, por ejemplo <math>\lambda</math>, aunque no es obligatorio. Así, la expresión paramétrica de la solución del sistema quedaría:
<center> <center>
Línea 585: Línea 642:
</center> </center>
-:También pueden exprearse las soluciones del sistema mediante ternas de números reales:+También pueden expresarse las soluciones del sistema mediante ternas de números reales:
<center><math>\left\{ (2, \, \lambda-1, \, \lambda) \ / \ \lambda \in \mathbb{R} \right\} <center><math>\left\{ (2, \, \lambda-1, \, \lambda) \ / \ \lambda \in \mathbb{R} \right\}
Línea 593: Línea 650:
{{p}} {{p}}
{{Videotutoriales|titulo=Discusión de sistemas|enunciado= {{Videotutoriales|titulo=Discusión de sistemas|enunciado=
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 1a
 +|duracion=11´13"
 +|url1=https://youtu.be/woEbHHCP2Oc?list=PLwCiNw1sXMSBR30XWbj_n2gmvxeMr-Fp5
 +|sinopsis=Sistemas Compatibles Indeterminados: qué son, cómo se identifican con el método de Gauss y cómo se resuelven.
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 1b
 +|duracion=8´13"
 +|url1=https://youtu.be/L1myOrKxYC8?list=PLwCiNw1sXMSBR30XWbj_n2gmvxeMr-Fp5
 +|sinopsis=Sistemas Incompatibles. Cómo se identifican con el método de Gauss y ejemplos.
 +}}
{{Video_enlace_profesor10demates {{Video_enlace_profesor10demates
-|titulo1=Tutorial+|titulo1=Tutorial 2
|duracion=6´38" |duracion=6´38"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=yMIDswd9U98&t=23s |url1=https://www.youtube.com/watch?v=yMIDswd9U98&t=23s
-|sinopsis=+|sinopsis=Tipos de sistemas de ecuaciones lineales atendiendo al número de soluciones.
}} }}
---- ----
-{{Video_enlace_profesor10demates+{{Video_enlace_pildoras
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=9´20"
 +|url1=https://youtu.be/Y-RzqorGr-0?list=PLwCiNw1sXMSBR30XWbj_n2gmvxeMr-Fp5
 +|sinopsis=Discute y resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema:
 +
 +<math>
 +\left\{ \begin{matrix}
 + 6x \, + \, 2y \, + \, z & = & 1
 + \\
 + ~x \, + \, 3y \, + \, z & = & 2
 + \\
 + 5x \, - \, ~y \ \ \ \ \ \ & = & -1
 + \end{matrix}
 +\right.
 +</math>
 +
 +<math>
 +\left\{ \begin{matrix}
 + -x \, \ \ \, \ + \, ~z & = & 3
 + \\
 + ~ \, \ \ \, \ ~2y \, + \, 2z & = & 0
 + \\
 + ~x \, + \, 3y \, + \, 2z & = & -3
 + \end{matrix}
 +\right.
 +</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_profesor10demates
 +|titulo1=Ejercicio 2
|duracion=6´30" |duracion=6´30"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=3ogFIMkLdTQ&t=32s |url1=https://www.youtube.com/watch?v=3ogFIMkLdTQ&t=32s
Línea 618: Línea 715:
}} }}
{{Video_enlace_profesor10demates {{Video_enlace_profesor10demates
-|titulo1=Ejercicio 2a+|titulo1=Ejercicio 3a
|duracion=7´16" |duracion=7´16"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=gwmazkOt3Uo&t=44s |url1=https://www.youtube.com/watch?v=gwmazkOt3Uo&t=44s
Línea 635: Línea 732:
}} }}
{{Video_enlace_profesor10demates {{Video_enlace_profesor10demates
-|titulo1=Ejercicio 2b+|titulo1=Ejercicio 3b
|duracion=4´42" |duracion=4´42"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=u5tsdOOXOVY&t=14s |url1=https://www.youtube.com/watch?v=u5tsdOOXOVY&t=14s
Línea 641: Línea 738:
}} }}
{{Video_enlace_profesor10demates {{Video_enlace_profesor10demates
-|titulo1=Ejercicio 3a+|titulo1=Ejercicio 4a
|duracion=6´21" |duracion=6´21"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=sQHWH20UY7s&t=32s |url1=https://www.youtube.com/watch?v=sQHWH20UY7s&t=32s
Línea 658: Línea 755:
}} }}
{{Video_enlace_profesor10demates {{Video_enlace_profesor10demates
-|titulo1=Ejercicio 3b+|titulo1=Ejercicio 4b
|duracion=7´14" |duracion=7´14"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=dUU3XiVkwQU&t=14s |url1=https://www.youtube.com/watch?v=dUU3XiVkwQU&t=14s
Línea 664: Línea 761:
}} }}
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=Ejercicio 4+|titulo1=Ejercicio 5
|duracion=8´29" |duracion=8´29"
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Línea 748: Línea 845:
El método de Gauss se puede abreviar utilizando matrices. Estas agilizan el proceso de escalonamiento, ya que, en cada transformación de las ecuaciones del sistema, éstas no se escriben completas, sino sólo los coeficientes de las mismas. El método de Gauss se puede abreviar utilizando matrices. Estas agilizan el proceso de escalonamiento, ya que, en cada transformación de las ecuaciones del sistema, éstas no se escriben completas, sino sólo los coeficientes de las mismas.
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Línea 897: Línea 988:
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 +|sinopsis=Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema:
 +
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 +\left\{ \begin{matrix}
 + ~2x \, + \, ~y \, - \, ~z & = & 1
 + \\
 + ~3x \, - \, 2y \, + \, ~z & = & 2
 + \\
 + -4x \, + \, 3y \, - \, 2z & = & -4
 + \end{matrix}
 +\right.
 +</math>
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 +}}
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 +}}
 +{{Video_enlace_grillo
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 +
 +'''Nota:''' En el video no se menciona, pero se sobreentiende que el sistema debe estar escalonado y no poseer ecuaciones del tipo ''0 = b'' (con ''b'' no nulo) para aplicar los razonamientos que en él se hacen.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=r0ze8A2DpSg&list=PL95CA4060AED9F26E&index=6
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}} }}
Línea 948: Línea 1.084:
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Línea 965: Línea 1.101:
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}} }}
-----+{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Ejercicio 2
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 +|sinopsis=Resuelve por el método de Gauss-Jordan el siguiente sistema:
 + 
 +<math>
 +\left\{ \begin{matrix}
 + ~2x \, + \, 3y \, + \, 2z & = & ~8
 + \\
 + -3x \, + \, 2y \, + \, ~z & = & -3
 + \\
 + ~4x \, - \, ~y - \, 4z \ & = & ~4
 + \end{matrix}
 +\right.
 +</math>
 + 
 +|url1=https://youtu.be/1vtv8WeYbo8?list=PLLfTN7MHLxConbepI-_1OEy-pjAxI8IvH
 +}}
{{Video_enlace_julioprofe {{Video_enlace_julioprofe
-|titulo1=Ejercicio 1a+|titulo1=Ejercicio 3a
|duracion=9'47" |duracion=9'47"
|sinopsis=Resuelve por el método de Gauss-Jordan el siguiente sistema: |sinopsis=Resuelve por el método de Gauss-Jordan el siguiente sistema:
Línea 985: Línea 1.138:
}} }}
{{Video_enlace_julioprofe {{Video_enlace_julioprofe
-|titulo1=Ejercicio 1b+|titulo1=Ejercicio 3b
|duracion=6'47" |duracion=6'47"
|sinopsis=Continuación del ejercicio 1a. |sinopsis=Continuación del ejercicio 1a.
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=pUabaQqbrug |url1=https://www.youtube.com/watch?v=pUabaQqbrug
 +}}
 +{{Video_enlace_grillo
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=15'00"
 +|sinopsis=Resuelve por el método de Gauss-Jordan el siguiente sistema:
 +
 +<math>
 +\left\{ \begin{matrix}
 + ~~x \, + \, 3y \, - \, ~z & = & -4
 + \\
 + ~2x \, + \, ~y \, + \, 2z & = & ~6
 + \\
 + -3x \, - \, 2y + \, 2z \ & = & -3
 + \end{matrix}
 +\right.
 +</math>
 +
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Zk-GrdRhXSc&index=2&list=PL95CA4060AED9F26E
}} }}
{{Video_enlace_julioprofe {{Video_enlace_julioprofe
-|titulo1=Ejercicio 2+|titulo1=Ejercicio 5
|duracion=22'55" |duracion=22'55"
|sinopsis=Resuelve por el método de Gauss-Jordan: |sinopsis=Resuelve por el método de Gauss-Jordan:
Línea 1.010: Línea 1.181:
}} }}
{{Video_enlace_miguematicas {{Video_enlace_miguematicas
-|titulo1=Ejercicio 3+|titulo1=Ejercicio 6
|duracion=35'14" |duracion=35'14"
|sinopsis=Resuelve por el método de Gauss-Jordan: |sinopsis=Resuelve por el método de Gauss-Jordan:
Línea 1.155: Línea 1.326:
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=z7Yx1Qct4SY |url1=https://www.youtube.com/watch?v=z7Yx1Qct4SY
 +}}
 +{{Video_enlace_grillo
 +|titulo1=Ejercicio 7
 +|duracion=3'02"
 +|sinopsis=Halla el valor de ''k'' para que el sistema no tenga solución:
 +
 +1. <math>
 +\left( \begin{matrix}
 + 1 & 0 & 0 & | & 3
 + \\
 + 0 & 1 & 0 & | & 3
 + \\
 + 0 & 0 & k-2 & | & 5
 + \end{matrix}
 +\right)
 +</math>{{b4}}2. <math>
 +\left( \begin{matrix}
 + 1 & 0 & 0 & | & 2
 + \\
 + 0 & 1 & 0 & | & 4
 + \\
 + 0 & 0 & k-3 & | & 1
 + \end{matrix}
 +\right)
 +</math>{{b4}}3. <math>
 +\left( \begin{matrix}
 + 1 & 0 & 0 & | & 1
 + \\
 + 0 & 1 & 0 & | & 5
 + \\
 + 0 & 0 & k+2 & | & 3
 + \end{matrix}
 +\right)
 +</math>
 +
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 +}}
 +{{Video_enlace_grillo
 +|titulo1=Ejercicio 8
 +|duracion=3'30"
 +|sinopsis=Halla el valor de ''k'' para que el sistema tenga infinitas soluciones:
 +
 +1. <math>
 +\left( \begin{matrix}
 + 1 & 0 & 0 & | & 3
 + \\
 + 0 & 1 & 0 & | & 3
 + \\
 + 0 & 0 & k-5 & | & 0
 + \end{matrix}
 +\right)
 +</math>{{b4}}2. <math>
 +\left( \begin{matrix}
 + 1 & 0 & 0 & | & 3
 + \\
 + 0 & 1 & 0 & | & 3
 + \\
 + 0 & 0 & k-7 & | & 0
 + \end{matrix}
 +\right)
 +</math>{{b4}}3. <math>
 +\left( \begin{matrix}
 + 1 & 0 & 0 & | & 3
 + \\
 + 0 & 1 & 0 & | & 3
 + \\
 + 0 & 0 & k+9 & | & 0
 + \end{matrix}
 +\right)
 +</math>
 +
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 +{{Video_enlace_grillo
 +|titulo1=Ejercicio 9
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 +|sinopsis=Discute el sistema en función del parámetro ''k'':
 +
 +1. <math>
 +\left( \begin{matrix}
 + 1 & 0 & 0 & | & 3
 + \\
 + 0 & 1 & 0 & | & 3
 + \\
 + 0 & 0 & k^2-5k & | & k
 + \end{matrix}
 +\right)
 +</math>{{b4}}2. <math>
 +\left( \begin{matrix}
 + 1 & 0 & 0 & | & 2
 + \\
 + 0 & 1 & 0 & | & 7
 + \\
 + 0 & 0 & k^2-3k & | & k-3
 + \end{matrix}
 +\right)
 +</math>{{b4}}3. <math>
 +\left( \begin{matrix}
 + 1 & 0 & 0 & | & 1
 + \\
 + 0 & 1 & 0 & | & 5
 + \\
 + 0 & 0 & k^2-k & | & k^2-1
 + \end{matrix}
 +\right)
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 +}}
 +{{Video_enlace_grillo
 +|titulo1=Ejercicio 10
 +|duracion=19'01"
 +|sinopsis=Discute el siguiente sistema en función del parámetro ''k'':
 +
 +<math>
 +\left\{ \begin{matrix}
 + 2x \, + \, ~y \, + \, \quad \ \ ~z & = & ~k
 + \\
 + kx \, - \, ~y \, + \, \quad \ \ 2z & = & ~1
 + \\
 + ~~~~x \, + \, ~y \, - \, (k+4)z & = & -1
 + \end{matrix}
 +\right.
 +</math>
 +
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}} }}
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Revisión actual

(pág. 83-85)

Tabla de contenidos

Sistema escalonado

Consideremos un sistema de ecuaciones lineales n x m (n ecuaciones y m incógnitas) en el que cada ecuación tiene sus términos ordenados por incógnitas y las ecuaciones organizadas por filas. Este sistema se dice que es escalonado si la ecuación de la fila n carece, al menos, de las n - 1 primeras incógnitas. Si además tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas (n = m), el sistema se dice que es escalonado triangular.

El interés de los sistemas escalonados radica en que son mucho más fáciles de resolver.

Método reducción de Gauss

El método de Gauss, que se debe al matemático alemán Johann Carl Friedrich Gauss, es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales n x m que generaliza al método de reducción usado para sistemas 2 x 2. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar el sistema de ecuaciones en un sistema escalonado, por tanto, más fácil de resolver.

ejercicio

Criterios de equivalencia de sistemas


Los criterios de equivalencia de sistemas nos dicen las "operaciones" que podemos realizar sobre las ecuaciones del sistema inicial para transformarlo en otro equivalente. Son los siguientes:

  • Multiplicar o dividir una ecuación por un número real distinto de cero.
  • Sumar o restar a los dos miembros de una ecuación la misma expresión.
  • Sumarle a una ecuación otra ecuación multiplicada por un número. (Como caso particular: Sumarle o restarle a una ecuación otra ecuación)
  • Cambiar el orden de las ecuaciones.
  • Cambiar el orden de las incógnitas del sistema.
  • Eliminar ecuaciones nulas (0=0).
  • Eliminar una ecuación que sea idéntica o proporcional a otra.

ejercicio

Ejemplo: Método de reducción de Gauss


Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:

\left\{ \begin{matrix}     x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3     \\     x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1     \\     x \, - \, y \, - \, z & = & -1   \end{matrix} \right.

Discusión de sistemas

Discutir un sistema es determinar si tiene solución y, caso de tenerla, saber si ésta es única.

  • Si el sistema no tiene solución, diremos que es un sistema incompatible (S.I.)
  • Si el sistema tiene solución, diremos que es un sistema compatible (S.C.)
    • Si la solución es única, diremos que es un sistema compatible determinado (S.C.D.)
    • Si la solución no es única, diremos que es un sistema compatible indeterminado (S.C.I.)

ejercicio

Discusión de sistemas lineales


Consideremos un sistema de ecuaciones lineales n x m, que tras realizar las transformaciones oportunas está escalonado. Suponiendo que hubiésemos eliminado las filas nulas, si las hubiera, que corresponden a ecuaciones del tipo 0 = 0, el sistema equivalente tendría ahora k ecuaciones lineales con m incógnitas, con k \le m. Analizando el sistema resultante, podemos efectuar su discusión del siguiente modo:

  • Sistema incompatible (S.I.): Si alguna de las ecuaciones que quedan son del tipo 0 = b (siendo b distinto de cero), el sistema es incompatible y no tiene solución.


  • Sistema compatible determinado (S.C.D.): Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b (con b distinto de cero), y además k = m, es decir, el número de ecuaciones del sistema equivalente es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y, por lo tanto, tiene una única solución.


  • Sistema compatible indeterminado (S.C.I.): Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b, y además k < m, es decir, el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y, en consecuencia, tiene infinitas soluciones. En este caso, tenemos que separar las incógnitas o "variables principales" de las no principales (también llamadas "variables libres"). Pero, ¿cuáles son las incógnitas principales? Las podemos elegir como queramos aunque podemos dar el siguiente criterio: Si el sistema es escalonado y tiene k ecuaciones, las k últimas incógnitas serán las "principales" y las m - k primeras serán las "libres", que pasaremos al segundo miembro como parámetros. No obstante, este criterio puede variarse según convenga.

Método de Gauss con matrices

El método de Gauss se puede abreviar utilizando matrices. Estas agilizan el proceso de escalonamiento, ya que, en cada transformación de las ecuaciones del sistema, éstas no se escriben completas, sino sólo los coeficientes de las mismas.

Método de Gauss-Jordan

ejercicio

Método de Gauss-Jordan


Consideremos un sistema de ecuaciones lineales n x n. En el método de Gauss realizabamos una triangulación superior del sistema de ecuaciones lineales, haciendo ceros por debajo de la diagonal. Si continuamos el método de Gauss haciendo ceros en la parte superior de la diagonal, conseguiremos un sistema equivalente cuyas ecuaciones tienen una sola incógnita (la de la diagonal). A este método se le conoce como método de Gauss-Jordan, pues debe su nombre a los matemáticos Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm Jordan.

Discusión de sistemas lineales con parámetros

Discutir un sistema de ecuaciones lineales con parámetros consiste en determinar el valor de los parámetros que hacen que el sistema sea S.C.D., S.I. o S.C.I.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Método de Gauss


(Pág. 83-85)

2, 3, 6

1, 4, 5

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda