Plantilla:Perímetros y áreas

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:Un triángulo es la mitad de un paralelogramo. :Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.
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-*¿A qué otra área es igual la del triángulo? 
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-Vuelve a la posición inicial y modifica el triángulo arrastrando cualquiera de sus vértices. Vuelve a deslizar los puntos verdes. 
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-*¿Qué fórmula permitirá calcular el área de un triángulo en función de sus dimensiones? ¿Por qué? 
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-En esta otra escena, mueve el deslizador (punto verde) y razona: 
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-*¿A la mitad de qué otro área es igual la del triángulo? 
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-Vuelve a la posición inicial y modifica el triángulo arrastrando cualquiera de sus vértices. Vuelve a deslizar el punto verde. 
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-|enunciado='''Actividad 2:''' La base de un triángulo isósceles mide 5 cm. y los lados iguales miden 3,7 cm. Halla su área y su perímetro. 
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-<center>'''El cuadrado es un rombo con los 4 lados iguales'''</center> 
-<center>(Mueve los vértices del triángulo para variar la medida de los lados)</center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area5_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
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donde <math>p\;</math> es el semiperímetro: <math>p=\frac{a+b+c}{2}</math>. donde <math>p\;</math> es el semiperímetro: <math>p=\frac{a+b+c}{2}</math>.
-|demo='''Nota:''' Esta demostración excede el nivel de este curso.+|demo='''Nota:''' El nivel de esta demostración corresponde a 1º de Bachillerato.
Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio [[Herón]] en su libro), podría ser la siguiente. Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio [[Herón]] en su libro), podría ser la siguiente.
-Supongamos un triángulo de lados ''a'', ''b'', ''c'' cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son ''A'', ''B'', ''C''. Entonces tenemos que:+Supongamos un triángulo de lados ''a'', ''b'', ''c'' cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son ''A'', ''B'', ''C''.
 + 
 +Por el teorema del coseno, tenemos que:
:<math>\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math> :<math>\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>
-por el Teorema del coseno:+Por la relación fundamental de la trigonometría, tenemos que:
:<math>\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}</math>. :<math>\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}</math>.
 +
La altura de un triángulo de base ''a'' tiene una longitud ''b''sin(C), por tanto siguiendo con la demostración La altura de un triángulo de base ''a'' tiene una longitud ''b''sin(C), por tanto siguiendo con la demostración
:<math>S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})</math> :<math>S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})</math>

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Tabla de contenidos

Cuadrado

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=a^2 \;\!

  • Elementos:
a\;: lado.

Rectángulo

  • Perímetro:

P=2 \cdot a+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.

Paralelogramo

  • Perímetro:

P=2 \cdot c+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.
c\;: lado
  • Nota:
El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo.

Rombo

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=\cfrac {D \cdot d}{2}

  • Elementos:
a\;: lado.
D\;: diagonal mayor.
d\;: diagonal menor.
  • Nota:
Un rombo es un paralelogramo con los cuatro lados iguales.

Triángulo

  • Perímetro:

P=b+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {b \cdot a}{2}

  • Elementos:
b: base.
a: altura.
c, d: lados.
  • Nota:
Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.

ejercicio

Fórmula de Herón


La superficie de un triángulo de lados a, b, c viene dada por:

S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\,

donde p\; es el semiperímetro: p=\frac{a+b+c}{2}.

wolfram

Actividad: Triángulo


a) Halla el área de un triángulo de 3 cm de base y 5 cm de altura. Expresa el resultado en dm2.
b) Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 4 m, 6 m y 7 m usando la fórmula de Herón.
c) Halla los lados de un triángulo rectángulo isósceles de área 1 m2.
d) Halla el área de un triángulo equilátero de lado 5 cm.

Trapecio

  • Perímetro:

P=b+B+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}

  • Elementos:
B: base mayor.
b: base menor.
a: altura.
c, d: lados.

ejercicio

Actividad interactiva: Trapecio


1. Deducción de la fórmula del área de un trapecio.
2. Halla el área y el perímetro de un trapecio de base mayor 5 cm., base menor 1,5 cm. y altura 2 cm.
3. Halla el área y el perímetro de un trapecio rectángulo de base mayor 4,5 cm., base menor 3 cm. y altura 1,2 cm.
4. Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles de base mayor 4 cm., base menor 2,4 cm. y lado L=2 cm.

wolfram

Actividad: Trapecio


a) Halla el área de un trapecio de bases 5cm y 7 cm y altura 4 cm.
b) Halla la altura de un trapecio de bases 5cm y 7cm y área 24 cm2.

Polígonos regulares

Imagen:poligono.png

  • Perímetro:

P=n \cdot b

  • Área:

A=\cfrac {P \cdot a}{2}

  • Elementos:
b: lado.
a: apotema.
  • Nota:
n: número de lados.

ejercicio

Actividad interactiva: Polígono regulares


Actividad 1: Deducción del área de un polígono regular.

Actividad 2:

  1. Halla la apotema de un octógono regular de 1,61 cm. de lado y 2,11 cm. de radio. Halla también su perímetro y su área.
  2. Halla el área de un hexágono regular de 2 cm de lado. (Observa como son el radio y el lado en un hexágono regular)

Actividad 3: Cálculo del área y del perímetro de un polígono regular.

wolfram

Actividad: Polígonos regulares


a) Halla el área de un hexágono regular de 5 cm de lado.
b) Halla el perímetro de un hexágono regular de 3 m de radio.
c) Halla el ángulo central de un pentágono regular.
d) Halla el ángulo interior de un octógono regular.
e) Halla la suma de los ángulos interiores de un eneágono regular en grados sexagesimales.
f) Halla el área (en dm2) de un hexágono regular de 4 cm de apotema.
g) Halla el área del círculo inscrito en un hexágono regular de 3 m de radio.

Círculo

Imagen:circulo.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot r

  • Área:

A=\pi \cdot r^2

  • Elementos:
r: radio.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud de la circunferencia.

ejercicio

Actividad interactiva: Círculo


Actividad 1: Comprobación de la fórmula de la longitud de la circunferencia.

Actividad 2: Aproximación a la fórmula del área del círculo.

Actividad 3: En un círculo de radio 1,71 cm, halla su área y la longitud de su circunferencia.
wolfram

Actividad: Círculo


a) Halla el área de un círculo de 3 m de radio.
b) Halla la longitud de la circunferencia de 3 m de radio.
c) Halla el área de un círculo cuyo perímetro mide 18 π m.

Corona circular

Imagen:corona.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)

  • Área:

A=\pi \cdot (R^2-r^2)

  • Elementos:
r, R: radios respectivos.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.

ejercicio

Actividad interactiva: Corona circular


1. Halla el área de una corona circular cuyos círculos tienen de radio 2 cm y 1,37 cm, respectivamente.

wolfram

Actividad: Corona circular


a) Halla el área de una corona circular de radios 3 m y 5 m.

Sector circular

  • Perímetro:

l=\cfrac{2  \pi r \cdot \alpha}{360^o}; \ P = l+2 \cdot r

  • Área:

A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}

  • Elementos:
r: radio.
l: arco.
\alpha\;\!: ángulo (en grados sexagesimales).
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.

ejercicio

Actividad interactiva: Sector circular


1. En un círculo de radio 1,80 cm, halla el área de un sector circular de 60º y la longitud de su arco.

wolfram

Actividad: Sector circular


a) Halla el área de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.
b) Halla el perímetro de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.

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