Plantilla:Perímetros y áreas

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{{teorema {{teorema
|titulo=Fórmula de Herón |titulo=Fórmula de Herón
-|enunciado=La superficie de un triángulo de lados ''a'', ''b'', ''c'' viene dada por:+|enunciado=La superficie de un triángulo de lados <math>a\;</math>, <math>b\;</math>, <math>c\;</math> viene dada por:
<center><math>A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\,</math></center> <center><math>A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\,</math></center>
Línea 233: Línea 233:
Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio [[Herón]] en su libro), podría ser la siguiente. Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio [[Herón]] en su libro), podría ser la siguiente.
-Supongamos un triángulo de lados ''a'', ''b'', ''c'' cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son ''A'', ''B'', ''C''.+Supongamos un triángulo de lados <math>a\;</math>, <math>b\;</math>, <math>c\;</math>, cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son <math>\hat{A}\;</math>, <math>\hat{B}\;</math>, <math>\hat{C}\;</math>.
Por el teorema del coseno, tenemos que: Por el teorema del coseno, tenemos que:
-:<math>\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>+:<math>\cos(\hat{C}) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>
Por la relación fundamental de la trigonometría, tenemos que: Por la relación fundamental de la trigonometría, tenemos que:
-:<math>\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}</math>.+:<math>\sin(\hat{C}) = \sqrt{1-\cos^2(\hat{C})} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}</math>.
-La altura de un triángulo de base ''a'' tiene una longitud ''b''sin(C), por tanto siguiendo con la demostración+La altura de un triángulo de base <math>a\;</math> tiene una longitud <math>b sin(\hat{C})</math>, por tanto siguiendo con la demostración
:<math>S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})</math> :<math>S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})</math>
-:<math>\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(C)</math>+:<math>\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(\hat{C})</math>
:<math>\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}</math> :<math>\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}</math>
:<math>\qquad = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.</math> :<math>\qquad = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.</math>

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Tabla de contenidos

Cuadrado

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=a^2 \;\!

  • Elementos:
a\;: lado.

Rectángulo

  • Perímetro:

P=2 \cdot a+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.

Paralelogramo

  • Perímetro:

P=2 \cdot c+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.
c\;: lado
  • Nota:
El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo.

Rombo

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=\cfrac {D \cdot d}{2}

  • Elementos:
a\;: lado.
D\;: diagonal mayor.
d\;: diagonal menor.
  • Nota:
Un rombo es un paralelogramo con los cuatro lados iguales.

Triángulo

  • Perímetro:

P=b+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {b \cdot a}{2}

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.
c \ , d\;: lados.
  • Nota:
Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.

ejercicio

Fórmula de Herón


La superficie de un triángulo de lados a\;, b\;, c\; viene dada por:

A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\,

donde s\; es el semiperímetro: s=\frac{a+b+c}{2}.

Trapecio

  • Perímetro:

P=b+B+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}

  • Elementos:
B\;: base mayor.
b\;: base menor.
a\;: altura.
c \ , d\;: lados.

ejercicio

Actividad interactiva: Trapecio


1. Deducción de la fórmula del área de un trapecio.
2. Halla el área y el perímetro de un trapecio de base mayor 5 cm., base menor 1,5 cm. y altura 2 cm.
3. Halla el área y el perímetro de un trapecio rectángulo de base mayor 4,5 cm., base menor 3 cm. y altura 1,2 cm.
4. Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles de base mayor 4 cm., base menor 2,4 cm. y lado L=2 cm.

Polígonos regulares

Imagen:poligono.png

  • Perímetro:

P=n \cdot b

  • Área:

A=\cfrac {P \cdot a}{2}

  • Elementos:
b\;: lado.
a\;: apotema.
  • Nota:
n\;: número de lados.

ejercicio

Actividad interactiva: Polígono regulares


Actividad 1: Deducción del área de un polígono regular.

Actividad 2:

  1. Halla la apotema de un octógono regular de 1,61 cm. de lado y 2,11 cm. de radio. Halla también su perímetro y su área.
  2. Halla el área de un hexágono regular de 2 cm de lado. (Observa como son el radio y el lado en un hexágono regular)

Actividad 3: Cálculo del área y del perímetro de un polígono regular.

Círculo

Imagen:circulo.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot r

  • Área:

A=\pi \cdot r^2

  • Elementos:
r\;: radio.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud de la circunferencia.

ejercicio

Actividad interactiva: Círculo


Actividad 1: Comprobación de la fórmula de la longitud de la circunferencia.

Actividad 2: Aproximación a la fórmula del área del círculo.

Actividad 3: En un círculo de radio 1,71 cm, halla su área y la longitud de su circunferencia.

Corona circular

Imagen:corona.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)

  • Área:

A=\pi \cdot (R^2-r^2)

  • Elementos:
r \ , R\;: radios respectivos.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.

ejercicio

Actividad interactiva: Corona circular


1. Halla el área de una corona circular cuyos círculos tienen de radio 2 cm y 1,37 cm, respectivamente.

Sector circular

  • Perímetro:

l=\cfrac{2  \pi r \cdot \alpha}{360^o}; \ P = l+2 \cdot r

  • Área:

A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}

  • Elementos:
r\;: radio.
l\;: arco.
\alpha\;\!: ángulo (en grados sexagesimales).
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.

ejercicio

Actividad interactiva: Sector circular


1. En un círculo de radio 1,80 cm, halla el área de un sector circular de 60º y la longitud de su arco.

Herramientas personales
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