Plantilla:Perímetros y áreas

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-==Cuadrado==+==Introducción==
-{{Caja_Amarilla|texto=+Un toque divertido para empezar el tema:
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:cuadrado.png|130px]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=4 \cdot a </math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=a^2 \;\!</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>a\;</math>: lado.+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del cuadrado; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del cuadrado.+
-|enlace=[https://ggbm.at/JujCAg6D Área y perímetro del cuadrado ]+
-}}+
-{{p}}+
-{{wolfram desplegable|titulo=El cuadrado|contenido=+{{Video_enlace_angelitoons
-{{wolfram+|titulo1=Las aventuras de Troncho y Poncho: Áreas de polígonos
-|titulo=Actividad: ''El cuadrado''+|duracion=9'58"
-|cuerpo=+|sinopsis=La aventura más poligonera de Troncho y Poncho con un final en tres dimensiones.
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
-:a) Halla el área de un cuadrado de 5 cm de lado.+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=DxE3bt-bUMg
-:b) Halla el perímetro de un cuadrado de 3 m de lado.+
-:c) Halla la diagonal de un cuadrado de 20 mm de lado.+
-:d) Halla el ángulo central de un cuadrado.+
-:e) Halla el ángulo interior de un cuadrado.+
-:f) Halla la suma de los ángulos interiores de un cuadrado.+
- +
-{{p}}+
-|sol=+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=square edge length 5 cm area}}+
-:b) {{consulta|texto=square edge length 3 m perimeter}}+
-:c) {{consulta|texto=square edge length 20 mm diagonal length}}+
-:d) {{consulta|texto=square central angle}}+
-:e) {{consulta|texto=square interior angle}}+
-:f) {{consulta|texto=square interior angle sum}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
}} }}
{{p}} {{p}}
- +==Áreas y perímetros==
-==Rectángulo==+{{Introducción áreas y perímetros de polígonos}}
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:rectangulo.png|200px]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot a+2 \cdot b </math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=a \cdot b</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>b\;</math>: base.+
-:<math>a\;</math>: altura.+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rectángulo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rectángulo.+
-|enlace=[https://ggbm.at/v3v8CeDM Área y perímetro del rectángulo]+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{wolfram desplegable|titulo=El rectángulo|contenido= 
-{{wolfram 
-|titulo=Actividad: ''El rectángulo'' 
-|cuerpo= 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
-:a) Halla el área de un rectángulo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en <math>m^2</math>.+==Figuras poligonales==
-:b) Halla el perímetro de un rectángulo de 30 m y 5 dam de lados, expresada en <math>dam^2</math>+
-:c) Halla la diagonal de un rectángulo de 30 mm y 5 dm de lados, expresada en cm.+
-{{p}} 
-|sol= 
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: 
-:a) {{consulta|texto=rectangle edge length 5 cm, 20 dm area in meters}}+===Cuadrado===
-:b) {{consulta|texto=rectangle edge lengths 30 m, 5 dam perimeter in dekameters}}+{{Area cuadrado}}
-:c) {{consulta|texto=rectangle edge lengths 30 mm, 5 dm diagonal length in centimeters}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
-==Paralelogramo== 
-{{Caja_Amarilla|texto= 
-{{Tabla3 
-|celda1= 
-[[Imagen:paralelogramo.png|220px]] 
-|celda2={{p}} 
-* '''Perímetro:'''{{p}} 
-{{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot c+2 \cdot b </math>}} 
-* '''Área:'''{{p}} 
-{{Caja|contenido=<math>A=a \cdot b</math>}} 
-|celda3={{p}} 
-* '''Elementos:''' 
-:<math>b\;</math>: base. 
-:<math>a\;</math>: altura. 
-:<math>c\;</math>: lado 
-* '''Nota:''' 
-:El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo. 
-}} 
-}} 
-{{p}} 
-{{Geogebra_enlace 
-|descripcion=En esta escena podrás deducir la fórmula del área del paralelogramo y practicar con ella. 
-|enlace=[https://ggbm.at/TgrmaQgT Área del paralelogramo ] 
-}} 
-{{p}} 
-{{wolfram desplegable|titulo=El paralelogramo|contenido= 
-{{wolfram 
-|titulo=Actividad: ''El paralelogramo'' 
-|cuerpo= 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
- 
-:a) Halla el perímetro de un paralelogramo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en dm. 
-:b) Halla el área de un paralelogramo de 50 cm de base y 2 dm de altura. 
 +===Rectángulo===
 +{{Area rectángulo}}
{{p}} {{p}}
-|sol= 
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: 
-:a) {{consulta|texto=parallelogram edge length 5 cm, 20 dm perimeter in decimeters}}+===Romboide===
-:a) {{consulta|texto=parallelogram width 5 cm heigth 2 dm area}}+{{Area paralelogramo}}{{p}}
-{{widget generico}}+===Rombo===
-}}+{{Area rombo}}
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
-==Rombo==+===Triángulo===
-{{Caja_Amarilla|texto=+{{Area triangulo}}{{p}}
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:rombo.png|150px]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=4 \cdot a</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {D \cdot d}{2}</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>a\;</math>: lado.+
-:<math>D\;</math>: diagonal mayor.+
-:<math>d\;</math>: diagonal menor.+
-* '''Nota:'''+
-:Un rombo es un paralelogramo con los cuatro lados iguales.{{p}}+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rombo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rombo.+
-|enlace=[https://ggbm.at/XXSVrP87 Área y perímetro del rombo ]+
-}}+
-{{p}}+
-{{p}}+===Trapecio===
- +{{Area trapecio}}{{p}}
-{{wolfram desplegable|titulo=El rombo|contenido=+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''El rombo''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en <math>dm^2</math>.+
-:b) Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en cm.+
 +===Polígonos regulares===
 +{{Área poligonos regulares}}
{{p}} {{p}}
-|sol= 
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: 
-:a) {{consulta|texto=rhombus diagonal length 12 m, 20 m area in decimeters}}+==Figuras curvas==
-:b) {{consulta|texto=rhombus diagonal length 12 m, 20 m perimeter in centimeters}}+===Círculo===
- +{{Area circulo}}
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
- +
-==Triángulo==+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-{{Tabla3+
-|celda1={{p}}+
-[[Imagen:triangulo.png|240px]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=b+c+d\;\!</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {b \cdot a}{2}</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>b\;</math>: base.+
-:<math>a\;</math>: altura.+
-:<math>c \ , d\;</math>: lados.+
-* '''Nota:'''+
-:Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás deducir la fórmula del área del triángulo.+
-|enlace=[https://ggbm.at/mwSJZbYS Área del triángulo]+
-}}+
-{{p}}+
-{{teorema+
-|titulo=Fórmula de Herón+
-|enunciado=La superficie de un triángulo de lados ''a'', ''b'', ''c'' viene dada por:+
- +
-<center><math>A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\,</math></center>+
- +
-donde <math>s\;</math> es el semiperímetro: <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>.+
-|demo='''Nota:''' El nivel de esta demostración corresponde a 1º de Bachillerato.+
- +
-Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio [[Herón]] en su libro), podría ser la siguiente. +
- +
-Supongamos un triángulo de lados ''a'', ''b'', ''c'' cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son ''A'', ''B'', ''C''.+
- +
-Por el teorema del coseno, tenemos que:+
- +
-:<math>\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>+
- +
-Por la relación fundamental de la trigonometría, tenemos que:+
- +
-:<math>\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}</math>.+
- +
-La altura de un triángulo de base ''a'' tiene una longitud ''b''sin(C), por tanto siguiendo con la demostración+
-:<math>S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})</math>+
-:<math>\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(C)</math>+
-:<math>\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}</math>+
-:<math>\qquad = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.</math>+
-}}+
-{{p}}+
-{{wolfram desplegable|titulo=El triángulo|contenido=+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''El triángulo''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un triángulo de 3 cm de base y 5 cm de altura. Expresa el resultado en <math>dm^2</math>.+
-:b) Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 4 m, 6 m y 7 m usando la fórmula de Herón.+
-:c) Halla los lados de un triángulo rectángulo isósceles de área 1 <math>m^2</math>.+
-:d) Halla el área de un triángulo equilátero de lado 5 cm.+
- +
-{{p}}+
-|sol=+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=triangle width 3 cm height 5 cm area in decimeters}}+
-:b) {{consulta|texto=triangle edge lengths 4 m, 6 m, 7 m area}}+
-:c) {{consulta|texto=isosceles right triangle area 1 m^2 edge lengths}}+
-:c) {{consulta|texto=equilateral triangle edge length 5cm area}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
- +
-==Trapecio==+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:trapecio.png|180px]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=b+B+c+d\;\!</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>B\;</math>: base mayor.+
-:<math>b\;</math>: base menor.+
-:<math>a\;</math>: altura.+
-:<math>c \ , d\;</math>: lados.+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Trapecio''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Deducción de la fórmula del área de un trapecio.+
-|actividad=+
-Para ello, mueve el punto rojo hacia la izquierda. Obtendrás un duplicado del trapecio en color azul, que junto con el trapecio amarillo inicial, forman un paralelogramo de base <math>B+b\;\!</math> y altura <math>a\;\!</math>.+
- +
-El área del paralelogramo es:+
-<center><math>(B+b) \cdot a</math></center>+
-de donde, dividiendo por 2, obtenemos el área del trapecio:+
-<center><math>\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}</math></center>+
-{{p}}+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area4_1.html+
-width=420+
-height=310+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Deducción de la fórmula del área del trapecio'''</center>+
-{{p}}+
-<center>(Mueve el punto rojo)</center>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=2. Halla el área y el perímetro de un trapecio de base mayor 5 cm., base menor 1,5 cm. y altura 2 cm.+
-|actividad=+
-Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area4_2.html+
-width=430+
-height=310+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Cálculo del área y del perímetro de un trapecio'''</center>{{p}}+
-<center>(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)</center>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=3. Halla el área y el perímetro de un trapecio rectángulo de base mayor 4,5 cm., base menor 3 cm. y altura 1,2 cm.+
-|actividad={{p}}+
-Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area4_3.html+
-width=395+
-height=280+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Cálculo del área y del perímetro de un trapecio rectángulo'''</center>{{p}}+
-<center>(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)+
-</center>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=4. Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles de base mayor 4 cm., base menor 2,4 cm. y lado L=2 cm.+
-|actividad={{p}}+
-Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/area4_4.html+
-width=410+
-height=280+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Cálculo del área y el perímetro de un trapecio isósceles'''</center>{{p}}+
-<center>(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)</center>+
-}}+
- +
-}}+
-{{p}}+
-{{wolfram desplegable|titulo=El trapecio|contenido=+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''El trapecio''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un trapecio de bases 5cm y 7 cm y altura 4 cm.+
-:b) Halla la altura de un trapecio de bases 5cm y 7cm y área 24 <math>cm^2</math>.+
- +
-{{p}}+
-|sol=+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=trapezoid base lengths 5cm, 7cm height 4cm area}}+
-:b) {{consulta|texto=trapezoid base lengths 5cm, 7cm area 24cm^2 height}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
- +
-==Polígonos regulares==+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:poligono.png]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=n \cdot b</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {P \cdot a}{2}</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>b\;</math>: lado.+
-:a<math>\;</math>: apotema.+
-* '''Nota:'''+
-:<math>n\;</math>: número de lados.+
-}}+
-}} {{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Polígono regulares''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1:''' Deducción del área de un polígono regular.+
-{{p}}+
-|actividad=Desliza el punto verde y observa+
- +
-*¿A qué otro área es igual la del pentágono regular?+
-*¿Qué fórmula permitirá calcular el área de un pentágono regular en función de sus dimensiones? ¿Por qué?+
-*¿Y la de un polígono regular de n lados?+
- +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_pentagono.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_pentagono.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
- +
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 2:''' +
-# Halla la apotema de un octógono regular de 1,61 cm. de lado y 2,11 cm. de radio. Halla también su perímetro y su área.+
-# Halla el área de un hexágono regular de 2 cm de lado. (Observa como son el radio y el lado en un hexágono regular)+
-{{p}}+
-|actividad=+
-Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area6_1.html+
-width=730+
-height=490+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Calculo del área y del perímetro de un polígono regular.'''</center>+
-<center>(Mueve los puntos azules para variar el número de lados y la medida de los mismos)</center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area6_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-Pero, para determinar el área, necesitamos conocer, además del lado, la apotema. Si conocemos uno de ellos y el radio, podemos hallar el otro por el Teorema de Pitágoras, como se observa en la siguiente escena:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area6_2.html+
-width=490+
-height=340+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Calculo de la apotema, lado o radio de un polígono regular.'''</center>+
-<center>(Mueve los puntos azules para variar el número de lados y la medida de los mismos)</center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area6_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 3:''' Cálculo del área y del perímetro de un polígono regular.+
-{{p}}+
-|actividad=En esta escena puedes comprobar el área, perímetro, apotema y lado de un polígono regular haciendo variar al radio.+
- +
-Desliza el punto verde para modificar el número de lados.+
- +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_poligono.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_poligono.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
- +
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{wolfram desplegable|titulo=Polígonos regulares|contenido=+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''Polígonos regulares''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un hexágono regular de 5 cm de lado.+
-:b) Halla el perímetro de un hexágono regular de 3 m de radio.+
-:c) Halla el ángulo central de un pentágono regular.+
-:d) Halla el ángulo interior de un octógono regular.+
-:e) Halla la suma de los ángulos interiores de un eneágono regular en grados sexagesimales.+
-:f) Halla el área (en <math>dm^2</math>) de un hexágono regular de 4 cm de apotema.+
-:g) Halla el área del círculo inscrito en un hexágono regular de 3 m de radio.+
- +
-{{p}}+
-|sol=+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=regular hexagon edge length 5cm area}}+
-:b) {{consulta|texto=regular hexagon radius 3m perimeter}}+
-:c) {{consulta|texto=regular pentagon central angle}}+
-:d) {{consulta|texto=regular octagon interior angle}}+
-:e) {{consulta|texto=regular 9-gon interior angle sum in deg}}+
-:f) {{consulta|texto=regular 6-gon apothem 4cm area in dm^2}}+
-:g) {{consulta|texto=regular 6-gon radius 3 m incircle}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
- +
-==Círculo==+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:circulo.png]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot \pi \cdot r</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\pi \cdot r^2</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>r\;</math>: radio.+
-* '''Nota:'''+
-:<math>\pi\;\!</math>: número Pi = 3,14159...{{p}}+
-:El perímetro es la longitud de la circunferencia.+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Círculo''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1:''' Comprobación de la fórmula de la longitud de la circunferencia.+
-{{p}}+
-|actividad=Desliza el punto verde y observa+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/longitud_circunferencia.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/longitud_circunferencia.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 2:''' Aproximación a la fórmula del área del círculo.+
-{{p}}+
-|actividad=Desliza el punto verde y observa+
- +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_circulo.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_circulo.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 3:''' En un círculo de radio 1,71 cm, halla su área y la longitud de su circunferencia. +
-|actividad=Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_2.html+
-width=430+
-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Calculo del área y del perímetro de un círculo.'''</center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
-}}+
-{{wolfram desplegable|titulo=El círculo|contenido=+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''El círculo''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un círculo de 3 m de radio.+
-:b) Halla la longitud de la circunferencia de 3 m de radio.+
-:c) Halla el área de un círculo cuyo perímetro mide 18 <math>\pi</math> m.+
- +
-{{p}}+
-|sol=+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=circle radius 3m area}}+
-:b) {{consulta|texto=circle radius 3m perimeter}}+
-:c) {{consulta|texto=circle perimeter 18*pi m area}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
===Corona circular=== ===Corona circular===
-{{Caja_Amarilla|texto=+{{Area corona circular}}
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:corona.png]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
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-* '''Elementos:'''+
-:<math>r \ , R\;</math>: radios respectivos.+
-* '''Nota:'''+
-:<math>\pi\;\!</math>: número Pi = 3,14159...{{p}}+
-:El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Corona circular''|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=1. Halla el área de una corona circular cuyos círculos tienen de radio 2 cm y 1,37 cm, respectivamente. 
-|actividad=Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena: 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_4.html 
-width=650 
-height=285 
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-</iframe></center> 
-<center>'''Calculo del área de una corona circular'''</center> 
-<center>(Mueve el punto azul para modificar el radio pequeño)</center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_4.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-}} 
-}} 
-{{p}} 
-{{wolfram desplegable|titulo=La corona circular|contenido= 
-{{wolfram 
-|titulo=Actividad: ''La corona circular'' 
-|cuerpo= 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
- 
-:a) Halla el área de una corona circular de radios 3 m y 5 m. 
- 
-{{p}} 
-|sol= 
- 
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: 
- 
-:a) {{consulta|texto=annulus, inner radius 3m, outer radius 5m, area}} 
- 
-{{widget generico}} 
-}} 
-}} 
-}} 
-{{p}} 
===Sector circular=== ===Sector circular===
-{{Caja_Amarilla|texto=+{{Area sector circular}}
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:sector.png|160px]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>l=\cfrac{2 \pi r \cdot \alpha}{360^o}; \ P = l+2 \cdot r</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>r\;</math>: radio.+
-:<math>l\;</math>: arco.+
-:<math>\alpha\;\!</math>: ángulo (en grados sexagesimales).+
-* '''Nota:'''+
-:<math>\pi\;\!</math>: número Pi = 3,14159...{{p}}+
-:El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.+
-}}+
-}} {{p}}+
-{{Desplegable|titulo=Demostración:{{b}}|contenido=+
-La fórmula del área del sector circular se obtiene a partir de la del área del círculo, aplicando una regla de tres. +
- +
- +
-<center><math>\begin{matrix}A_{Sect} & \to & \alpha \\ A_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}</math></center>+
- +
-Despejando el área del sector:+
- +
-<center><math>A_{Sect}=\cfrac{A_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}</math></center>+
- +
- +
-de donde, sustituyendo el área del círculo por su valor, <math>\pi r^2\;\!</math>, se obtiene la fórmula.+
- +
- +
-Lo mismo ocurre con la de la longitud del arco, que se obtiene a partir de la de la longitud de la circunferencia, también mediante una regla de tres.+
- +
- +
-<center><math>\begin{matrix}L_{Sect} & \to & \alpha \\ L_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}</math></center>+
- +
-Despejando la longitud del sector:+
- +
-<center><math>L_{Sect}=\cfrac{L_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}</math></center>+
- +
- +
-de donde, sustituyendo la longitud de la circunferencia por su valor, <math>2 \pi r\;\!</math>, se obtiene la fórmula.+
-----+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Sector circular''|cuerpo=+===Elipse===
-{{ai_cuerpo+{{Area elipse}}
-|enunciado=1. En un círculo de radio 1,80 cm, halla el área de un sector circular de 60º y la longitud de su arco.+
-|actividad=Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_3.html+
-width=430+
-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Calculo del área de un sector circular'''</center>+
-<center>(Mueve el punto B para modificar el ángulo)</center><center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{wolfram desplegable|titulo=El sector circular|contenido=+===Segmento de parábola===
-{{wolfram+{{Area segmento parabola}}
-|titulo=Actividad: ''El sector circular''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.+
-:b) Halla el perímetro de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.+
- +
{{p}} {{p}}
-|sol=+==Ejercicios y videotutoriales==
- +{{Ejercicios y videotutoriales de areas de figuras planas}}
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=circular sector, radius 3m, angle 45º, area}}+
-:b) {{consulta|texto=circular sector, radius 3m, angle 45º, perimeter}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}

Revisión actual

Tabla de contenidos

Introducción

Un toque divertido para empezar el tema:

Áreas y perímetros

Empezaremos introduciendo los conceptos básicos necesarios para el cálculo de áreas y perímetros de figuras planas.

El área de una figura geométrica plana es la medida de su superficie.

El perímetro de una figura geométrica plana es la suma de las longitudes de sus lados.

Figuras poligonales

Cuadrado

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=a^2 \;\!

  • Elementos:
a\;: lado.

Rectángulo

  • Perímetro:

P=2 \cdot a+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.

Romboide

  • Perímetro:

P=2 \cdot c+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.
c\;: lado
  • Nota:
El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo.

Rombo

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=\cfrac {D \cdot d}{2}

  • Elementos:
a\;: lado.
D\;: diagonal mayor.
d\;: diagonal menor.
  • Nota:
El área es la mitad de la de un rectángulo cuyas dimensiones sean las diagonales del rombo.

Triángulo

  • Perímetro:

P=b+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {b \cdot a}{2}

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.
c \ , d\;: lados.
  • Nota:
Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.

ejercicio

Fórmula de Herón


La superficie de un triángulo de lados a\;, b\;, c\; viene dada por:

A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\,

donde s\; es el semiperímetro: s=\frac{a+b+c}{2}.

Trapecio

  • Perímetro:

P=b+B+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}

  • Elementos:
B\;: base mayor.
b\;: base menor.
a\;: altura.
c \ , d\;: lados oblicuos.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Área del trapecio


Halla el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 37 cm y 55 cm, y el lado oblicuo, 14 cm.

Polígonos regulares

Imagen:poligono.png

  • Perímetro:

P=n \cdot b

  • Área:

A=\cfrac {P \cdot a}{2}

  • Elementos:
b\;: lado.
a\;: apotema.
  • Nota:
n\;: número de lados.

Figuras curvas

Círculo

Imagen:circulo.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot r

  • Área:

A=\pi \cdot r^2

  • Elementos:
r\;: radio.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud de la circunferencia.

Corona circular

Imagen:corona.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)

  • Área:

A=\pi \cdot (R^2-r^2)

  • Elementos:
r \ , R\;: radios respectivos.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.

Sector circular

  • Longitud del arco:

l=\cfrac{2  \pi r \cdot \alpha}{360^o}=r \cdot \theta

  • Perímetro:

P = l+2 \cdot r

  • Área:

A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}=\cfrac{l \cdot r}{2}=\cfrac{r^2 \cdot \theta}{2}

  • Elementos:
r\;: radio.
l\;: arco.
\alpha\;\!: ángulo (en grados sexagesimales).
\theta\;\!: ángulo \alpha\; (en radianes).
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.

Elipse

 

  • Perímetro:

P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

  • Área:

A=\pi a b\;

  • Elementos:
a\;: semieje mayor.
b\;: semieje menor.
  • Notas:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

La fórmula del perímetro es una aproximación obtenida por Ramanujan. Una fórmula exacta requiere del uso de series.

Segmento de parábola

  • Área:

A=\cfrac{2}{3} \,a \, b

  • Elementos:
a \, , b\;: Lados del rectángulo circunscrito.

Ejercicios y videotutoriales

Los siguientes videotutoriales condensan las fórmulas vistas en esta página y resuelven varios ejercicios sobre áreas de figuras planas.

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda