Plantilla:Radicales (ampliación)

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Revisión de 10:28 25 may 2017

Tabla de contenidos

Extracción e introducción de factores en un radical

Extracción de factores

ejercicio

Procedimiento

Para extraer factores de un radical se divide el exponente (m) del factor entre el índice (n) del radical. A continuación, se saca el factor elevado al cociente (c) de la división, quedando dentro del radical el factor elevado al resto (r).

\sqrt[n]{a^m}= a^c \cdot \sqrt[n]{a^r}
Demostración:

Para la demostración transformaremos la expresión radical en potencias y aplicaremos las propiedades de las operaciones con potencias:

\sqrt[n]{a^m}= a^{\frac{m}{n}} \begin{matrix} ~_{(1)}~ \\ = \\ \, \end{matrix} a^{c+\frac{r}{n}}= a^c \cdot a^{\frac{r}{n}}= a^c \cdot \sqrt[n]{a^r}

Fíjate que en (1) hemos usado la regla de la divsión:

m=n \cdot c + r \ \rightarrow \ \cfrac{m}{n}= \cfrac{n \cdot c + r}{n} \ \rightarrow \ \cfrac{m}{n}= \cfrac{n \cdot c}{n} + \cfrac{r}{n} \ \rightarrow \ \cfrac{m}{n}= c + \cfrac{r}{n}

Para extraer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.

ejercicio

Ejemplo: Extracción de factores de un radical

Extrae todo lo que se pueda de este radical: \sqrt[3]{6000}

Solución:
\sqrt[3]{6000}=\sqrt[3]{2^4 \cdot 3 \cdot 5^3}=2 \cdot 5 \sqrt[3]{2 \cdot 3}=10\sqrt[3]{6}

ejercicio
Mas ejemplos: 

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video
Extracción de factores de un radical
Ejemplo 1 (26'16")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \sqrt{72}\;        b) \sqrt[4]{3645}\;        c) \sqrt{3240}\;        c) 5\,\sqrt[3]{384}\;

Ejemplo 2 (3'40")     Sinopsis:

Simplifica: -2\sqrt [3]{16x^5yz^9}

Ejemplo 3 (4'12")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt [4]{32x^4y^{21}z^{43}}

Ejemplo 4 (2'54")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt [5]{32x^5y^{-10}z^{-35}}

Ejemplo 5 (2'03")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt [5]{-243a^{20}}

Introducción de factores

ejercicio

Procedimiento

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical.

a \sqrt[n]{b}= \sqrt[n]{a^n \cdot b}
Demostración:

Para la demostración transformaremos la expresión radical en potencias y aplicaremos las propiedades de las operaciones con potencias:

a \sqrt[n]{b}=a \cdot b^{\frac{1}{n}}=(a^n)^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}= (a^n \cdot b)^{\frac{1}{n}}= \sqrt[n]{a^n \cdot b}

ejercicio

Ejemplo: Introducción de factores en un radical

Introduce los factores dentro del radical: 10 \sqrt[3]{6}

Solución:
10 \sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{6 \cdot 10^3}=\sqrt[3]{6000}

ejercicio
Más ejemplos: 

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video
Introducción de factores en un radical
Ejemplo 1 (2'23")     Sinopsis:

Introduce dentro del radical: 3 \sqrt{5}

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical. De esta manera, y teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con potencias, para introducir una potencia dentro de un radical multiplicaremos el exponente de la potencia por el índice del radical. La potencia resultante pasará dentro del radical multiplicando al radicando.

Ejemplo 2 (1'42")     Sinopsis:

Introduce los factores dentro del radical: a^3 b^2 \sqrt[4]{c}

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical. De esta manera, y teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con potencias, para introducir una potencia dentro de un radical multiplicaremos el exponente de la potencia por el índice del radical. La potencia resultante pasará dentro del radical multiplicando al radicando.

Ejemplo 3 (3'06")     Sinopsis:

Introduce los factores dentro del radical: m^2 n^5 \sqrt[5]{m^3 p^2}

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical. De esta manera, y teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con potencias, para introducir una potencia dentro de un radical multiplicaremos el exponente de la potencia por el índice del radical. La potencia resultante pasará dentro del radical multiplicando al radicando. Si dentro del radical tenemos otra potencia con la misma base entonces sumaremos el exponente de la potencia que entra con el de dentro del radical.

Introducción y extracción de factores de un radical     Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Si tienen el mismo índice pero distinto radicando, a veces, podemos extraer factores del radical y dejarlos con el mismo radicando.

ejercicio

Ejemplo: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Resta los siguientes radicales: \sqrt{48}-\sqrt{75}

Solución:
\sqrt{48}-\sqrt{75}=\sqrt{2^4 \cdot 3}-\sqrt{5^2 \cdot 3}= 2^2\sqrt{3}-5\sqrt{3}=-\sqrt{3}

ejercicio
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video
Suma y resta de radicales con el mismo índice
Ejemplo 1 (3'38")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt{18}+\sqrt{50}-\sqrt{2}-\sqrt{8}

Ejemplo 2 (6'11")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt{32}+\sqrt{243}-\sqrt{12}-\sqrt{48}-\sqrt{27}

wolfram
Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando
wolfram

Actividad: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Simplifica \sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{243}

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
simplify 4th root (3) - 4th root (243)

Suma y resta radicales con el mismo índice y distinto radicando     Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

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Ejercicios: Suma, resta y simplificación de radicales     Descripción:

En esta escena podrás practicar la suma y resta de radicales con o sin el mismo índice.

Producto y cocientes de radicales con distinto índice

Para multiplicar o dividir radicales con distinto índice, primero se reducen a índice común y luego se multiplican o dividen los radicandos.

ejercicio

Ejemplo: Producto y cocientes de radicales con distinto índice

Reduce a un solo radical \sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}

Solución:

Para reducir los radicales a índice común calculamos el m.c.m de los índices: m.c.m.(3,4,2)=12 y elevamos cada radicando al resultado de dividir el m.c.m. por el índice de cada radical.

\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}=\sqrt[12]{10^4} \cdot \sqrt[12]{5^3}:\sqrt[12]{8^6}

Luego multiplicamos o dividimos los radicandos, ya que ahora los índices son iguales:

\sqrt[12]{10^4} \cdot \sqrt[12]{5^3}:\sqrt[12]{8^6}=\sqrt[12]{10^4 \cdot 5^3 : 8^6}

Finalmente simplificamos:

\sqrt[12]{10^4 \cdot 5^3 : 8^6}=\sqrt[12]{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^3 : (2^3)^6}=\sqrt[12]{2^{-14} \cdot 5^7}

video
Producto y cociente de radicales con distinto índice
Ejemplo 1 (4'43")     Sinopsis:

Simplifica: (8\sqrt[3]{a^2b}) \cdot (4\sqrt{ab^3})

Ejemplo 2 (3'50")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt[3]{27^{-2}} : \sqrt[4]{16}

Actividades

video
Operaciones con radicales
Ejercicios 1 (10'09")     Sinopsis:

Simplifica:

a)\sqrt{8^{20}}:\sqrt{8^{14}}

b)\sqrt[6]{\sqrt{8}}

c)\sqrt[9]{12} \cdot \sqrt{3}

Ejercicio 2 (6'06")     Sinopsis:

Simplifica: \cfrac{\sqrt{27}+\sqrt{75}}{\sqrt{48}}

Ejercicio 3 (4'34")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt [4]{\sqrt{x^3} \cdot 16 \sqrt{x}}

Ejercicio 4 (2'57")     Sinopsis:

Simplifica: \left(\cfrac{\sqrt [6]{32}}{\sqrt{8}} \right)^3

Ejercicios 5 (7'27")     Sinopsis:

Simplifica (Extracción e introducción de factores en un radical):

a) \sqrt[3]{5^{17} \cdot 4^6}
b) \sqrt[3]{16\, a^4\, b^{21}}
c) 7^3 \cdot 6^9 \sqrt[11]{y^3}
Ejercicios 6 (7'27")     Sinopsis:

Simplifica:

a) (2\sqrt{11})(5\sqrt{3})(-\sqrt{2})
b) (5\sqrt[3]{4})(2\sqrt[3]{2})
c) (7\sqrt{2})(5\sqrt[3]{3})

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