Plantilla:Radicales (ampliación)

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Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical. De esta manera, y teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con potencias, para introducir una potencia dentro de un radical multiplicaremos el exponente de la potencia por el índice del radical. La potencia resultante pasará dentro del radical multiplicando al radicando. Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical. De esta manera, y teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con potencias, para introducir una potencia dentro de un radical multiplicaremos el exponente de la potencia por el índice del radical. La potencia resultante pasará dentro del radical multiplicando al radicando.
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Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical. De esta manera, y teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con potencias, para introducir una potencia dentro de un radical multiplicaremos el exponente de la potencia por el índice del radical. La potencia resultante pasará dentro del radical multiplicando al radicando. Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical. De esta manera, y teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con potencias, para introducir una potencia dentro de un radical multiplicaremos el exponente de la potencia por el índice del radical. La potencia resultante pasará dentro del radical multiplicando al radicando.
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Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical. De esta manera, y teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con potencias, para introducir una potencia dentro de un radical multiplicaremos el exponente de la potencia por el índice del radical. La potencia resultante pasará dentro del radical multiplicando al radicando. Si dentro del radical tenemos otra potencia con la misma base entonces sumaremos el exponente de la potencia que entra con el de dentro del radical. Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical. De esta manera, y teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con potencias, para introducir una potencia dentro de un radical multiplicaremos el exponente de la potencia por el índice del radical. La potencia resultante pasará dentro del radical multiplicando al radicando. Si dentro del radical tenemos otra potencia con la misma base entonces sumaremos el exponente de la potencia que entra con el de dentro del radical.
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Revisión de 16:48 18 sep 2018

Tabla de contenidos

Extracción e introducción de factores en un radical

El siguiente videotutorial resume lo que se va a a ver en este apartado:

Extracción e introducción de factores en un radical (19'38")     Sinopsis:

Tutorial que explica cómo extraer factores de un radical, que se utiliza principalmente para simplificar radicales, y de cómo introducir factores dentro.

Extracción de factores

ejercicio

Procedimiento

Para extraer factores de un radical se divide el exponente (m) del factor entre el índice (n) del radical. A continuación, se saca el factor elevado al cociente (c) de la división, quedando dentro del radical el factor elevado al resto (r).

\sqrt[n]{a^m}= a^c \cdot \sqrt[n]{a^r}
Demostración:

Para la demostración transformaremos la expresión radical en potencias y aplicaremos las propiedades de las operaciones con potencias:

\sqrt[n]{a^m}= a^{\frac{m}{n}} \begin{matrix} ~_{(1)}~ \\ = \\ \, \end{matrix} a^{c+\frac{r}{n}}= a^c \cdot a^{\frac{r}{n}}= a^c \cdot \sqrt[n]{a^r}

Fíjate que en (1) hemos usado la regla de la divsión:

m=n \cdot c + r \ \rightarrow \ \cfrac{m}{n}= \cfrac{n \cdot c + r}{n} \ \rightarrow \ \cfrac{m}{n}= \cfrac{n \cdot c}{n} + \cfrac{r}{n} \ \rightarrow \ \cfrac{m}{n}= c + \cfrac{r}{n}

Para extraer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.

ejercicio

Ejemplo: Extracción de factores de un radical

Extrae todo lo que se pueda de este radical: \sqrt[3]{6000}

Solución:
\sqrt[3]{6000}=\sqrt[3]{2^4 \cdot 3 \cdot 5^3}=2 \cdot 5 \sqrt[3]{2 \cdot 3}=10\sqrt[3]{6}

video
Extracción de factores de un radical
Tutorial 1 (7'06")     Sinopsis:

Extracción de factores de un radical. Ejemplos.

Tutorial 2 (5´50")     Sinopsis:

Extracción de factores de un radical. Ejemplos

Ejercicio 1 (2'59")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \sqrt{8}\;        b) \sqrt{45}\;

Ejercicio 2 (1'58")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \sqrt{20}\;        b) \sqrt{180}\;

Ejercicio 3 (2'31")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \sqrt[3]{16}\;        b) \sqrt[3]{72}\;

Ejercicio 4 (1'52")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \sqrt[5]{96}\;        b) \sqrt[4]{405}\;

Ejercicio 5 (26'16")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \sqrt{72}\;        b) \sqrt[4]{3645}\;        c) \sqrt{3240}\;        c) 5\,\sqrt[3]{384}\;

Ejercicio 6 (7'53")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \sqrt{486}\;        b) 6\sqrt[3]{1250}\;        c) m^3n\sqrt[5]{m^{20}n^{37}}\;

Ejercicio 7 (3'40")     Sinopsis:

Simplifica: -2\sqrt [3]{16x^5yz^9}

Ejercicio 8 (4'12")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt [4]{32x^4y^{21}z^{43}}

Ejercicio 9 (2'54")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt [5]{32x^5y^{-10}z^{-35}}

Ejercicio 10 (2'03")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt [5]{-243a^{20}}

Ejercicio 11a (12´16")     Sinopsis:

Extrae todos los factores posibles del radicando:

a) \sqrt{12}\;;      b) \sqrt{45}\;;      c) \sqrt{400}\;;     
d) \sqrt{18}\;;      e) \sqrt{128}\;
Ejercicio 11b (22´39")     Sinopsis:

Extrae todos los factores posibles del radicando:

f) \sqrt{216}\; ;      g) \sqrt{1080}\; ;      h) \sqrt[3]{625}\;
i) \sqrt[3]{432}\; ;     j) \sqrt[3]{-216}\; ;      k) \sqrt[3]{243}\;
l) \sqrt[4]{1296}\; ;      m) \sqrt[4]{20736}\; ; n) \sqrt[5]{-480}\;
Ejercicio 12 (6´54")     Sinopsis:

Simplifica: 7\,\sqrt{117}\;

Ejercicio 13 (4´20")     Sinopsis:

Simplifica: 3\,\sqrt{500x^3}\;

Ejercicio 14 (7´30")     Sinopsis:

Simplifica:

a) 2\,\sqrt{7x} \cdot 3\,\sqrt{14x^2}\;
b) \sqrt{2a} \cdot \sqrt{14a^3} \cdot \sqrt{5a}\;
Ejercicio 15 (4´27")     Sinopsis:

Simplifica: 5\,\sqrt[3]{2x^2} \cdot 3\,\sqrt[3]{4x^4}\;

Ejercicio 16 (2´17")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt[3]{125x^6y^3}

Ejercicio 17 (2´25")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt[4]{5a^4b^{12}}

video
Extracción de factores de un radical
Actividad 1     Descripción:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

Actividad 2     Descripción:

Extrae factores fuera del radical.

Autoevaluación 1     Descripción:

Extrae factores fuera del radical.

Autoevaluación 1b     Descripción:

Extrae factores fuera del radical (con variables).

Autoevaluación 1c     Descripción:

Extrae factores fuera del radical (con variables).

Introducción de factores

ejercicio

Procedimiento

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical.

a \sqrt[n]{b}= \sqrt[n]{a^n \cdot b}
Demostración:

Para la demostración transformaremos la expresión radical en potencias y aplicaremos las propiedades de las operaciones con potencias:

a \sqrt[n]{b}=a \cdot b^{\frac{1}{n}}=(a^n)^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}= (a^n \cdot b)^{\frac{1}{n}}= \sqrt[n]{a^n \cdot b}

ejercicio

Ejemplo: Introducción de factores en un radical

Introduce los factores dentro del radical: 10 \sqrt[3]{6}

Solución:
10 \sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{6 \cdot 10^3}=\sqrt[3]{6000}

Ejemplos: Introducción de factores de un radical     Descripción:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

video
Introducción de factores en un radical
Ejemplo 1 (2'23")     Sinopsis:

Introduce dentro del radical: 3 \sqrt{5}

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical. De esta manera, y teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con potencias, para introducir una potencia dentro de un radical multiplicaremos el exponente de la potencia por el índice del radical. La potencia resultante pasará dentro del radical multiplicando al radicando.

Ejemplo 2 (1'42")     Sinopsis:

Introduce los factores dentro del radical: a^3 b^2 \sqrt[4]{c}

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical. De esta manera, y teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con potencias, para introducir una potencia dentro de un radical multiplicaremos el exponente de la potencia por el índice del radical. La potencia resultante pasará dentro del radical multiplicando al radicando.

Ejemplo 3 (3'06")     Sinopsis:

Introduce los factores dentro del radical: m^2 n^5 \sqrt[5]{m^3 p^2}

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical. De esta manera, y teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con potencias, para introducir una potencia dentro de un radical multiplicaremos el exponente de la potencia por el índice del radical. La potencia resultante pasará dentro del radical multiplicando al radicando. Si dentro del radical tenemos otra potencia con la misma base entonces sumaremos el exponente de la potencia que entra con el de dentro del radical.

Ejercicios (4'19")     Sinopsis:

Introduce factores dentro del radical:

a) 4 \sqrt[3]{6}
b) 2^4 \cdot 3^2 \sqrt[6]{2^2 \cdot 3^5}
b) a^7 \cdot b^8 \sqrt[5]{b^2}

Introducción y extracción de factores de un radical     Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Autoevaluación: Introducción y extracción de factores de un radical     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre introducción y extracción de factores de un radical.

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Si tienen el mismo índice pero distinto radicando, a veces, podemos extraer factores del radical y dejarlos con el mismo radicando.

ejercicio

Ejemplo: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Resta los siguientes radicales: \sqrt{48}-\sqrt{75}

Solución:
\sqrt{48}-\sqrt{75}=\sqrt{2^4 \cdot 3}-\sqrt{5^2 \cdot 3}= 2^2\sqrt{3}-5\sqrt{3}=-\sqrt{3}

Ejemplos: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando     Descripción:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

video
Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando
Tutorial 1 (10'09")     Sinopsis:

Tutorial que explica cómo sumar y restar radicales. La suma y resta son operaciones que "se llevan muy mal" con el resto de operaciones y hay que tener mucho cuidado a la hora de hacerlo con radicales.

Tutorial 2 (4'58")     Sinopsis:

Suma y resta de radicales con el mismo índice. Ejemplos.

Ejercicio 1 (3'38")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt{18}+\sqrt{50}-\sqrt{2}-\sqrt{8}

Ejercicio 2 (6'11")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt{32}+\sqrt{243}-\sqrt{12}-\sqrt{48}-\sqrt{27}

Ejercicio 3 (30'30")     Sinopsis:

Calcula:

a) \sqrt{50}+2\sqrt{18}-3\sqrt{32}\;
b) -\sqrt{12}+\sqrt{75}-\sqrt{27}\;
c) \sqrt{20}+4\sqrt{8}-5\sqrt{50}\;
d) \sqrt[3]{48}+\sqrt[3]{1080}-\sqrt[3]{96}\;
e) -\sqrt[3]{-27}+2\sqrt[3]{272}-9\sqrt[3]{-81}\;
Ejercicio 4 (12'36")     Sinopsis:

Calcula:

a) \sqrt[4]{32}+8\sqrt[4]{16}-\sqrt[4]{80}\;
b) \sqrt[5]{64}-6\sqrt[5]{32}+5\sqrt[5]{96}\;
c) -9\sqrt[6]{64}+\sqrt[6]{192}-\sqrt[6]{960}\;

wolfram
Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando
wolfram

Actividad: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Simplifica \sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{243}

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
simplify 4th root (3) - 4th root (243)

Autoevaluación: Suma y resta radicales con el mismo índice y distinto radicando     Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Click aquí si no se ve bien la escena

Producto y cocientes de radicales con distinto índice

Para multiplicar o dividir radicales con distinto índice, primero se reducen a índice común y luego se multiplican o dividen los radicandos.

ejercicio

Ejemplo: Producto y cocientes de radicales con distinto índice

Reduce a un solo radical \sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}

Solución:

Para reducir los radicales a índice común calculamos el m.c.m de los índices: m.c.m.(3,4,2)=12 y elevamos cada radicando al resultado de dividir el m.c.m. por el índice de cada radical.

\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}=\sqrt[12]{10^4} \cdot \sqrt[12]{5^3}:\sqrt[12]{8^6}

Luego multiplicamos o dividimos los radicandos, ya que ahora los índices son iguales:

\sqrt[12]{10^4} \cdot \sqrt[12]{5^3}:\sqrt[12]{8^6}=\sqrt[12]{10^4 \cdot 5^3 : 8^6}

Finalmente simplificamos:

\sqrt[12]{10^4 \cdot 5^3 : 8^6}=\sqrt[12]{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^3 : (2^3)^6}=\sqrt[12]{2^{-14} \cdot 5^7}

video
Producto y cociente de radicales con distinto índice
Tutorial (7'21")     Sinopsis:

Producto y cociente de radicales con el mismo o con distinto índice. Ejemplos.

Ejercicio 1 (4'43")     Sinopsis:

Simplifica: (8\sqrt[3]{a^2b}) \cdot (4\sqrt{ab^3})

Ejercicio 2 (3'50")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt[3]{27^{-2}} : \sqrt[4]{16}

video
Producto y cocientes de radicales
Producto y cociente de radicales con distinto índice     Descripción:

Actividades en las que podrás aprender a multiplicar y dividir radicales de distinto índice previa reducción a índice común.

Autoevaluación: Producto de radicales     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre productos de radicales.

Autoevaluación: Cociente de radicales     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre cocientes de radicales.

Potencias de radicales

Potencias de radicales (6'31")     Sinopsis:

Potencias de radicales. Ejemplos.

Autoevaluación: Potencias de radicales     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de radicales.

Radicales dobles (Avanzado)

video
Radicales dobles
Ejercicio 1 (7'08")     Sinopsis:

Convierte los siguientes radicales dobles en sencillos:

a) \sqrt{11+6 \sqrt{2}}

b) \sqrt{7-\sqrt{48}}

Ejercicio 2 (6'43")     Sinopsis:

Convierte los siguientes radicales dobles en sencillos:

a) \sqrt{7+ \sqrt{24}}

b) \sqrt{8-\sqrt{48}}

Convierte los siguientes radicales sencillos en dobles:

a) \sqrt{6}+ \sqrt{2}

b) \sqrt{5}- \sqrt{2}

Actividades

video
Operaciones con radicales
Ejercicio 1 (10'09")     Sinopsis:

Simplifica:

a)\sqrt{8^{20}}:\sqrt{8^{14}}

b)\sqrt[6]{\sqrt{8}}

c)\sqrt[9]{12} \cdot \sqrt{3}

Ejercicio 2 (6'06")     Sinopsis:

Simplifica: \cfrac{\sqrt{27}+\sqrt{75}}{\sqrt{48}}

Ejercicio 3 (4'34")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt [4]{\sqrt{x^3} \cdot 16 \sqrt{x}}

Ejercicio 4 (2'57")     Sinopsis:

Simplifica: \left(\cfrac{\sqrt [6]{32}}{\sqrt{8}} \right)^3

Ejercicio 5 (7'27")     Sinopsis:

Simplifica (Extracción e introducción de factores en un radical):

a) \sqrt[3]{5^{17} \cdot 4^6}

b) \sqrt[3]{16\, a^4\, b^{21}}

c) 7^3 \cdot 6^9 \sqrt[11]{y^3}

Ejercicio 6 (7'27")     Sinopsis:

Simplifica:

a) (2\sqrt{11})(5\sqrt{3})(-\sqrt{2})

b) (5\sqrt[3]{4})(2\sqrt[3]{2})

c) (7\sqrt{2})(5\sqrt[3]{3})

Ejercicio 7 (6'00")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \cfrac{16\sqrt{10}}{4\sqrt{5}}

b) \cfrac{24\sqrt[4]{2}}{4\sqrt[5]{3}}

Ejercicio 8 (8'52")     Sinopsis:

Simplifica:

a) 2\sqrt{12}+11\sqrt{48}-5\sqrt{75}

b) 13\sqrt{45}-11\sqrt{128}-9\sqrt{80}+4\sqrt{162}

Ejercicio 9 (6'11")     Sinopsis:

Simplifica:

a) 3\sqrt[5]{2}+7\sqrt[5]{2}

b) 3\sqrt{7}-2\sqrt{3}+9\sqrt{7}-5\sqrt{3}

c) 3\sqrt[3]{54}-2\sqrt[3]{2}+9\sqrt[3]{16}

d) 4\sqrt[4]{25}-\sqrt{45}

e) \cfrac{1}{2}\sqrt[3]{108}-\cfrac{3}{2}\sqrt[3]{4}

Ejercicio 10 (19'33")     Sinopsis:

Calcula y simplifica:

a) 2\sqrt{25} \cdot 3\sqrt{63}\; ;      b) 3\sqrt{25} \cdot 2\sqrt{18}\; ;      c) 3\sqrt{30} \cdot 5\sqrt{6}\;
d) -2\sqrt{63}-5\sqrt{35}\; ;      e) 8\sqrt{70} \cdot (-2)\sqrt{35}\; ;      f) 3\sqrt{21} \cdot (-7\sqrt{7}) \cdot 4\sqrt{6}\;
g) 3\sqrt{55} \cdot (-3\sqrt{22}) \cdot (-4)\sqrt{5}\; ;      f) -3\sqrt{15} \cdot (-7\sqrt{55}) \cdot \sqrt{3}\;
Ejercicio 11 (29'15")     Sinopsis:

Opera y simplifica:

a) 2\sqrt[3]{18} \cdot 3\sqrt[3]{12}\; ;      b) 3\sqrt[3]{50} \cdot 2\sqrt[3]{20}\; ;      c) 3\sqrt[3]{45} \cdot 5\sqrt[3]{75}\;
d) -2\sqrt[3]{28} \cdot 5\sqrt[3]{98}\; ;      e) 8\sqrt[3]{-12} \cdot (-3\sqrt[3]{3}) \cdot \sqrt[3]{-6}\; ;      f) 3\sqrt[3]{8} \cdot (-7\sqrt[3]{9}) \cdot 4\sqrt[3]{3}\;
g) -5\sqrt[3]{27} \cdot (-\sqrt[3]{4}) \cdot 4\sqrt[3]{2}\; ;      h) 3\sqrt[3]{20} \cdot (-3\sqrt[3]{10}) \cdot (-4\sqrt[3]{5})\; ;      i) 3\sqrt[6]{324} \cdot 5\sqrt[6]{144}\;
j) -2\sqrt[4]{250} \cdot 5\sqrt[4]{40}\; ;      k) 3\sqrt[4]{88} \cdot (-7\sqrt[8]{216}) \cdot 4\sqrt[8]{162}\;

Opera y simplifica:

a) \sqrt{72} : \sqrt{2}\; ;      b) 8\sqrt{200} : (-2\sqrt{2})\;
Ejercicio 12 (30'17")     Sinopsis:

Opera y simplifica:

a) -10\sqrt{980} : 5\sqrt{5}\; ;      b) 6\sqrt{675} : (-\sqrt{3}) \;      c) 20\sqrt{3087} : 10\sqrt{7}\;
d) 9\sqrt[3]{432} : (-\sqrt[3]{-2})\; ;      e) -10\sqrt[3]{1458} : 5\sqrt[3]{2}\; ;      f) 12\sqrt[3]{192} : (-6\sqrt[3]{-3})\;
g) -30\sqrt[3]{3000} : 6\sqrt[3]{3}\; ;      h) \sqrt[4]{512} : \sqrt[4]{2}\; ;      i) 9\sqrt[4]{768} : (-\sqrt[4]{3})\;
j) -10\sqrt[4]{2592} : 5\sqrt[4]{2}\; ;      k) 12\sqrt[4]{3888} : (-6\sqrt[4]{3})\; ;      l) -30\sqrt[4]{13122} : 6\sqrt[4]{2}\;

Calcula:

a) (\sqrt{36})^3\; ;      b) (\sqrt{5})^6\; ;      c) (\sqrt{25})^4\; ;      d) (\sqrt{18})^3\;
Ejercicio 13 (19'53")     Sinopsis:

Calcula:

a) (\sqrt[3]{-100})^4\; ;      b) (\sqrt[3]{18})^4\; ;      c) (\sqrt[4]{7})^5\; ;      d) (\sqrt[4]{21})^7\;
e) (\sqrt[4]{100})^5\; ;      f) (\sqrt[5]{16})^7\; ;      g) (\sqrt[6]{12})^7\;

Calcula y simplifica:

a) \sqrt{\sqrt{1296}}\; ;      b) \sqrt{\sqrt{256}}\; ;      c) \sqrt[3]{\sqrt{46\,656}}\;
d) \sqrt[3]{\sqrt[3]{4096}}\; ;      e) \sqrt{\sqrt[3]{1024}}\; ;      f) \sqrt[4]{\sqrt[3]{4096}}\;

Ejercicios: Suma, resta y simplificación de radicales     Descripción:

En esta escena podrás practicar la suma y resta de radicales con o sin el mismo índice.

Autoevaluación: Suma y resta de radicales     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre sumas y restas de radicales.

Autoevaluación: Raíces de radicales     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre raíces de radicales.

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