Plantilla:Radicales (nivel básico)

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Revisión de 10:40 18 sep 2016

Tabla de contenidos

1 Radical
2 Operaciones con radicales
- 2.1 Propiedades de las operaciones con radicales
- 2.2 Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando

Radical

Un radical es cualquier expresión del tipo:

$k \cdot \sqrt[n]{a}~,~k \in \mathbb{R}$

Operaciones con radicales

Propiedades de las operaciones con radicales

Propiedades de las operaciones con radicales

1. $\sqrt[np]{a^p}=\sqrt[n]{a}$

2. $\left ( \sqrt[n]{a}\right )^p=\sqrt[n]{a^p}$

3. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

4. $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}$

5. $\cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}$

Demostración:

Para demostrar estas propiedades basta con expresar el radical como potencia de exponente fraccionario y aplicar sus propiedades.

Propiedad 2: Potencia de un radical

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

Propiedad 3: Radical de otro radical:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Propiedad 4: Multiplicación de radicales con el mismo índice

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Propiedad 5: División de radicales con el mismo índice

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Ejercicios resueltos: Radicales. Propiedades

Simplificar: a) $\sqrt[12]{x^9}$ , b) $\left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6$ , c) $\sqrt{\sqrt[3]{a}}$ , d) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}$ , e) $\sqrt{12} : \sqrt{3}$

Solución:

a) $\sqrt[12]{x^9}=\sqrt[4 \cdot 3]{x^{3 \cdot 3}}=\sqrt[4]{x^{3}}$ , usando la propiedad nº 1 de las operaciones con radicales.

b) $\left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6=\sqrt[3]{a^{12}}=a^{\frac{12}{3}}=a^4$ , usando la propiedad nº 2 de las operaciones con radicales y transformando el radical en potencia de exponente fraccionario.

c) $\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[2 \cdot 3]{a}=\sqrt[6]{a}$ , usando la propiedad nº 3 de las operaciones con radicales.

d) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}= \sqrt[3]{3 \cdot 9} =\sqrt[3]{27}=3$ , usando la propiedad nº 4 de las operaciones con radicales.

e) $\sqrt{12} : \sqrt{3}=\sqrt{12:3}=\sqrt{4}=\pm 2$ , usando la propiedad nº 5 de las operaciones con radicales.

Practica las propiedades de los radicales Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando

Para sumar y restar radicales, éstos deben tener el mismo radicando y el mismo índice. En tal caso el radical el radical resultante tiene como coeficiente la suma o resta de los coeficientes de cada uno de los radicales.

Ejemplo: Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando

Efectúa las siguientes sumas y restas de radicales:

$3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}$

$3\sqrt{2}-\sqrt{3}$

$3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}$

Solución:

$3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}=(3-1+5)\sqrt{5}=7\sqrt{5}$
$3\sqrt{2}-\sqrt{3}=$ (No se puede simplificar)
$3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}=$ (No se puede simplificar)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Radicales_%28nivel_b%C3%A1sico%29"

 ===Propiedades de las operaciones con radicales===
 {{Teorema|titulo=Propiedades de las operaciones con radicales|enunciado=
-:'''1.''' <math>\sqrt[np]{a^p}=\sqrt[n]{a}</math>
+'''1.''' <math>\sqrt[np]{a^p}=\sqrt[n]{a}</math>
-:'''2.''' <math>\left ( \sqrt[n]{a}\right )^p=\sqrt[n]{a^p}</math>
+'''2.''' <math>\left ( \sqrt[n]{a}\right )^p=\sqrt[n]{a^p}</math>
-:'''3.''' <math> \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}</math>
+'''3.''' <math> \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}</math>
-:'''4.''' <math>\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}</math>
+'''4.''' <math>\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}</math>
-:'''5.''' <math>\cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}</math>
+'''5.''' <math>\cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}</math>
 |demo=Para demostrar estas propiedades basta con expresar el radical como potencia de exponente fraccionario y aplicar sus propiedades.

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