Plantilla:Radicales (nivel básico)

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:6h) <math>-10\sqrt[3]{15} : 5\sqrt[3]{5} \;</math> :6h) <math>-10\sqrt[3]{15} : 5\sqrt[3]{5} \;</math>
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Revisión de 20:30 7 nov 2017

Tabla de contenidos

Radical

  • Un radical es cualquier expresión del tipo:

k \cdot \sqrt[n]{a}~,~k \in \mathbb{R}
  • Si dos radicales tienen el mismo índice diremos que son homogéneos.
  • Si dos radicales tienen el mismo índice y el mismo radicando diremos que son semejantes.

ejercicio
Ejemplos: 
  • Son radicales homogéneos: 3\sqrt{2} \ , \ -\sqrt{10} \ , \ \cfrac{2}{3}\sqrt{7}
  • Son radicales semejantes: 3\sqrt[3]{2} \ , \ -\sqrt[3]{2} \ , \ \cfrac{2}{3}\sqrt[3]{2}

Radicales (3´14")     Sinopsis:

Radicales: homogéneos y semejantes. Ejemplos.

Radicales equivalentes

Dos o más radicales son equivalentes si los exponentes de las potencias asociadas son equivalentes.

video
Radicales equivalentes
Actividad     Descripción:

Actividades en las que podrás aprender lo que son radicales equivalentes y cómo obtener radicales equivalentes con un índice superior (amplificación) o inferior (simplificación)

Autoevaluación     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre radicales equivalentes.

Reducción de radicales a índice común

La amplificación y simplificación de radicales nos va a permitir reducir radicales a índice común realizando el mínimo común múltiplo de los índice al igual que para reducir fracciones a común denominador se hacía el m.c.m. de los denominadores. No olvidemos que índice y denominador del exponente es lo mismo.

Reducción de radicales a índice común (4'47")     Sinopsis:

Reducción de radicales a índice común. Ejemplos.

Autoevaluación: Reducción de radicales a índice común     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre reducción de radicales a índice común.

Ordenación de radicales

La reducción de radicales a índice común nos va a permitir ordenar cómodamente varios radicales:

Ordenación de radicales (4'53")     Sinopsis:

Ordenación de radicales. Ejemplos.

Operaciones con radicales

Propiedades de las operaciones con radicales

ejercicio

Propiedades de las operaciones con radicales

1. \sqrt[np]{a^p}=\sqrt[n]{a}

2. \left ( \sqrt[n]{a}\right )^p=\sqrt[n]{a^p}

3. \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}

4. \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}

5. \cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}

Demostración:
Para demostrar estas propiedades basta con expresar el radical como potencia de exponente fraccionario y aplicar sus propiedades.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Radicales. Propiedades

Simplificar: a) \sqrt[12]{x^9},    b) \left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6,    c) \sqrt{\sqrt[3]{a}},    d) \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9},    e) \sqrt{12} : \sqrt{3}

Solución:

a) \sqrt[12]{x^9}=\sqrt[4 \cdot 3]{x^{3 \cdot 3}}=\sqrt[4]{x^{3}}, usando la propiedad nº 1.

b) \left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6=\sqrt[3]{a^{12}}=a^{\frac{12}{3}}=a^4, usando la propiedad nº 2 y transformando el radical en potencia de exponente fraccionario.

c) \sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[2 \cdot 3]{a}=\sqrt[6]{a}, usando la propiedad nº 3.

d) \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}= \sqrt[3]{3 \cdot 9} =\sqrt[3]{27}=3, usando la propiedad nº 4.

e) \sqrt{12} : \sqrt{3}=\sqrt{12:3}=\sqrt{4}=\pm 2, usando la propiedad nº 5.

Propiedades de las operaciones con radicales     Descripción:

Actividades en las que podrás aprender las propiedades de las operaciones con radicales del mismo índice.

video
Propiedades de las operaciones con radicales
Tutorial 1 (23'07")     Sinopsis:

Tutorial que explica las propiedades básicas de los radicales, con ejemplos resueltos.

Tutorial 2 (10'19")     Sinopsis:

Propiedades de las operaciones con radicales. Ejemplos.

Tutorial 3a (7'18")     Sinopsis:

Propiedades de las operaciones con radicales. Ejemplos.

Tutorial 3b (4'27")     Sinopsis:

Propiedades de las operaciones con radicales. Ejemplos.

Ejercicio 1 (3'07")     Sinopsis:

Simplifica: (3\sqrt {xy}) \cdot (-2\sqrt {x^2y}) \cdot (-3\sqrt {xy^4})

Ejercicio 2 (2'43")     Sinopsis:

Simplifica: (-8\sqrt[3] {x^{10}y^2}) : (-4\sqrt[3] {xy^{11}})

Ejercicio 3 (2´21")     Sinopsis:

Calcula: \sqrt[4]{\cfrac{81}{16}}

Ejercicio 4 (6´31")     Sinopsis:

Calcula:

1) \sqrt{\cfrac{64}{49}}        2) \sqrt[4]{\cfrac{1}{81}}        3) \sqrt[3]{\cfrac{-27~~}{125}}        4) \sqrt[5]{\cfrac{-32~~}{243}}

Suma y resta de radicales semejantes

Para sumar y restar radicales, éstos deben ser semejantes, es decir, tener el mismo radicando y el mismo índice. En tal caso el radical el radical resultante tiene como coeficiente la suma o resta de los coeficientes de cada uno de los radicales.

ejercicio

Ejemplo: Suma y resta de radicales semejantes

Efectúa las siguientes sumas y restas de radicales:

1. 3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}

2. 3\sqrt{2}-\sqrt{3}

3. 3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}

Solución:

1. 3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}=(3-1+5)\sqrt{5}=7\sqrt{5}

2. 3\sqrt{2}-\sqrt{3}= (No se puede simplificar)

3. 3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}= (No se puede simplificar)

Actividades

En los siguientes videotutoriales vamos a repasar las operaciones con radicales vistas hasta ahora, antes de pasar a ver otros casos de mayor dificultad.

video
Operaciones básicas con radicales
Tutorial (17'15")     Sinopsis:
  • Definición de radical y de radicales semejantes.
  • Suma de radicales semejantes.
  • Radicales opuestos.
  • Resta de radicales semejantes.
  • Producto de radicales del mismo índice.
  • División de radicales del mismo índice.
  • Potencia de un radical.
  • Raíz de un radical.
Ejercicio 1a (31'06")     Sinopsis:

1) Radicales semejantes:

1a) Escribe tres radicales semejantes y tres que no lo sean.
1b) Escribe dos radicales semejantes opuestos.

2) Calcula:

2a) 30 \sqrt{10}+7 \sqrt{10}-3 \sqrt{10}\;
2b) -2 \sqrt{5}-3 \sqrt{5}+ \sqrt{2}\;
2c) \sqrt{20}+3 \sqrt{2}-\sqrt{2}\;
2d) -3 \sqrt[3]{11}+\sqrt[3]{11}-8 \sqrt[3]{11}\;
2e) -8 \sqrt[3]{11}+4 \sqrt[3]{11}-2 \sqrt[3]{11}\;
2f) \sqrt[3]{-5}-5 \sqrt[3]{-5}+2 \sqrt[3]{-5}\;
2g) 6 \sqrt[8]{3}+12 \sqrt[8]{3}-4 \sqrt[8]{3}\;
2h) 5 \sqrt[11]{-8}+9 \sqrt[11]{-8}- \sqrt[11]{-8}\;
2i) -\sqrt[5]{3}- \sqrt[5]{3}-4 \sqrt[5]{3}\;

3) Halla el opuesto de los siguiente radicales y después suma cada radical con su opuesto:

3a) \sqrt{6}\;
3b) 7 \sqrt{4}\;
3c) -5\sqrt[3]{2}\;
3d) -8\sqrt[3]{-3}\;
3e) 14\sqrt[3]{5}\;
3f) -5\sqrt[4]{7}\;

4) Calcula:

4a) \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \;
4b) \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \;
4c) \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} \;
4d) \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} \;
4e) \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \;
4f) \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \;
4g) \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2}\;
4h) \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \;
4i) \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \;
4j) \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2}\;

5) Calcula:

5a) 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} \;
5b) 3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{6} \;
5c) 3\sqrt{6} \cdot 5\sqrt{2} \;
5d) -2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} \;
5e) 8\sqrt{7} \cdot (-2)\sqrt{7} \;
5f) 3\sqrt{3} \cdot (-7\sqrt{6}) \cdot 4\sqrt{6} \;
5g) -5\sqrt{12} \cdot (-\sqrt{12}) \cdot 4\sqrt{12} \;
5h) 3\sqrt{3} \cdot (-3\sqrt{3}) \cdot (-4)\sqrt{3} \;
5h) -3\sqrt{5} \cdot (-7\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} \;
Ejercicio 1b (33'52")     Sinopsis:

5) Calcula:

5i) 2\sqrt[3]{3} \cdot 3\sqrt[3]{3} \;
5j) 3\sqrt[3]{5} \cdot 2\sqrt[3]{5} \;
5k) 3\sqrt[3]{6} \cdot 5\sqrt[3]{6} \;
5l) -2\sqrt[3]{3} \cdot 5\sqrt[3]{3} \;
5m) 8\sqrt[3]{-7} \cdot \sqrt[3]{-2} \cdot \sqrt[3]{-7} \;
5n) 3\sqrt[3]{3} \cdot (-7\sqrt[3]{3}) \cdot 4\sqrt[3]{3} \;
5o) -5\sqrt[3]{12} \cdot (-\sqrt[3]{12}) \cdot 4\sqrt[3]{12} \;
5p) 3\sqrt[3]{3} \cdot (-3\sqrt[3]{3}) \cdot (-4\sqrt[3]{3}) \;
5q) -3\sqrt[3]{5} \cdot (-7\sqrt[3]{5}) \cdot \sqrt[3]{5} \;

6) Calcula:

6a) \sqrt{14} : \sqrt{7} \;
6b) 8\sqrt{30} : (-2\sqrt{3}) \;
6c) -10\sqrt{15} : 5\sqrt{5} \;
6d) 6\sqrt{12} : (-\sqrt{2}) \;
6e) 20\sqrt{7} : 10\sqrt{7} \;
6f) \sqrt[3]{14} : \sqrt[3]{7} \;
6g) 9\sqrt[3]{14} : (-\sqrt[3]{-7}) \;
6h) -10\sqrt[3]{15} : 5\sqrt[3]{5} \;
6i) 12\sqrt[3]{18} : (-6\sqrt[3]{-9}) \;
6j) -30\sqrt[3]{14} : 6\sqrt[3]{7} \;
6k) \sqrt[4]{14} : \sqrt[4]{7} \;
6l) 9\sqrt[4]{14} : (-\sqrt[4]{7}) \;
6m) -10\sqrt[4]{15} : 5\sqrt[4]{5} \;
6n) 12\sqrt[4]{18} : (-6\sqrt[4]{9}) \;
6o) -30\sqrt[4]{14} : 6\sqrt[4]{7}) \;
6p) \sqrt[5]{14} : \sqrt[5]{7} \;
6q) 9\sqrt[5]{14} : (-\sqrt[5]{7}) \;
6r) -10\sqrt[5]{15} : 5\sqrt[5]{5}) \;

7) Calcula:

a) (\sqrt{7})^2\; ;      b) (\sqrt[3]{7})^3\; ;      c) (\sqrt[4]{7})^4\; ;      d) (\sqrt{5})^2\; ;      e) (\sqrt[3]{5})^3\;
f) (\sqrt[4]{21})^4\; ;      g) (\sqrt{25})^2\; ;      h) (\sqrt[3]{-25})^3\; ;      i) (\sqrt[4]{100})^4\; ;      j) (\sqrt{18})^2\;
k) (\sqrt[3]{-100})^3\; ;      l) (\sqrt[5]{16})^5\; ;      m) (\sqrt{100})^2\; ;      n) (\sqrt[3]{18})^3\; ;      o) (\sqrt[6]{12})^6\;

8) Calcula:

a) \sqrt{\sqrt{2}}\; ;      b) \sqrt{\sqrt{3}}\; ;      c) \sqrt{\sqrt{7}}\; ;      d) \sqrt[3]{\sqrt{2}}\;
e) \sqrt[3]{\sqrt[3]{25}}\; ;      f) \sqrt{\sqrt[3]{64}}\; ;      g) \sqrt[4]{\sqrt[3]{2}}\; ;      h) \sqrt[3]{\sqrt{128}}\;

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