Plantilla:Raiz de 2 no es racional
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| - | :El número <math>\sqrt{2}</math> es irracional. | + | :No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número <math>\sqrt{2}</math> no es racional. |
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| - | Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Vamos a suponer que <math>\sqrt{2}</math> es racional y llegaremosa una conclusión sin sentido. Esto demostraría que <math>\sqrt{2}</math> no puede ser racional sino irracional. | + | Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Supondremos que <math>\sqrt{2}</math> es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida. |
| Por tanto, supongamos que <math>\sqrt{2}</math> es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros <math>\cfrac {a}{b}</math> que es igual a <math>\sqrt{2}</math>. Dicha fracción la podemos suponer irreducible, ya que siempre es posible simplificarla. | Por tanto, supongamos que <math>\sqrt{2}</math> es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros <math>\cfrac {a}{b}</math> que es igual a <math>\sqrt{2}</math>. Dicha fracción la podemos suponer irreducible, ya que siempre es posible simplificarla. | ||
Revisión de 14:23 8 ago 2016
Proposición
- No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número
no es racional.
Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Supondremos que es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida.
Por tanto, supongamos que es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros 
que es igual a . Dicha fracción la podemos suponer irreducible, ya que siempre es posible simplificarla.
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:
Multiplicamos por 
los dos miembros de la igualdad:
Esta expresión nos dice que 
es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número.
Pero es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.
Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de , el otro 2 tiene que estar en el
Eso quiere decir que también tiene que ser par, y por tanto 
también es par.
Pero si 
es par y también, la fracción no es irreducible, como habíamos supuesto.
