Plantilla:Raiz de 2 no es racional
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| - | :No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número <math>\sqrt{2}</math> no es racional. | + | :No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} no es racional. |
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| Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Supondremos que <math>\sqrt{2}</math> es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida. | Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Supondremos que <math>\sqrt{2}</math> es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida. | ||
Revisión de 08:52 29 ago 2016
Proposición
- No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número
no es racional.
Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Supondremos que 
es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida.
Por tanto, supongamos que es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros 
que es igual a . Dicha fracción la podemos suponer irreducible, ya que siempre es posible simplificarla.
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:
Multiplicamos por 
los dos miembros de la igualdad:
Esta expresión nos dice que 
es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número.
Pero es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.
Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de , el otro 2 tiene que estar en el
Eso quiere decir que también tiene que ser par, y por tanto 
también es par.
Pero si 
es par y también, la fracción no es irreducible, como habíamos supuesto.
