Plantilla:Raiz de 2 no es racional

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Línea 4: Línea 4:
:No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} no es racional. :No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} no es racional.
|demo= |demo=
-Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Supondremos que <math>\sqrt{2}</math> es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida.+Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Supondremos que{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida.
-Por tanto, supongamos que <math>\sqrt{2}</math> es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros <math>\cfrac {a}{b}</math> que es igual a <math>\sqrt{2}</math>. Dicha fracción la podemos suponer irreducible, ya que siempre es posible simplificarla.+Por tanto, supongamos que{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros <math>\cfrac {a}{b}</math> que es igual a{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}}. Dicha fracción la podemos suponer irreducible, ya que siempre es posible simplificarla.
<center><math>\cfrac {a}{b}=\sqrt{2}</math></center> <center><math>\cfrac {a}{b}=\sqrt{2}</math></center>
Línea 14: Línea 14:
<center><math>\cfrac {a^2}{b^2}=2</math></center> <center><math>\cfrac {a^2}{b^2}=2</math></center>
-Multiplicamos por <math>b^2\;\!</math> los dos miembros de la igualdad:+Multiplicamos por {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}} los dos miembros de la igualdad:
<center><math>a^2=2 \cdot b^2</math></center> <center><math>a^2=2 \cdot b^2</math></center>
-Esta expresión nos dice que <math>a^2\;\!</math> es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número.+Esta expresión nos dice que {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>a^2\;\!</math>}} es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número.
-Pero <math>a^2\;\!</math> es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.+Pero {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>a^2\;\!</math>}} es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.
-Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de <math>b^2\;\!</math>, el otro 2 tiene que estar en el <math>b^2\;\!</math>+Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}}, el otro 2 tiene que estar en el {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}}
-Eso quiere decir que <math>b^2\;\!</math> también tiene que ser par, y por tanto <math>b\;\!</math> también es par.+Eso quiere decir que {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}} también tiene que ser par, y por tanto {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b\;\!</math>}} también es par.
-Pero si <math>a\;\!</math> es par y <math>b\;\!</math> también, la fracción no es irreducible, como habíamos supuesto.+Pero si {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>a\;\!</math>}} es par y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b\;\!</math>}} también, la fracción no es irreducible, como habíamos supuesto.
Ya hemos llegado al absurdo. Ya hemos llegado al absurdo.
}} }}

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ejercicio

Proposición


No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número\sqrt{2} \, no es racional.
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