Plantilla:Raiz de 2 no es racional

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|titulo=Proposición |titulo=Proposición
|enunciado= |enunciado=
-:El número <math>\sqrt{2}</math> es irracional.+No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} no es racional.
|demo= |demo=
-Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Vamos a suponer que <math>\sqrt{2}</math> es racional y llegaremosa una conclusión sin sentido. Esto demostraría que <math>\sqrt{2}</math> no puede ser racional sino irracional.+'''Demostración:'''
 +{{p}}
 +Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "[[Método de reducción al absurdo |por reducción al absurdo]]". Supondremos que{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida.
-Por tanto, supongamos que <math>\sqrt{2}</math> es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros <math>\cfrac {a}{b}</math> que es igual a <math>\sqrt{2}</math>. Dicha fracción la podemos suponer irreducible, ya que siempre es posible simplificarla.+Por tanto, supongamos que{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} es racional, o sea, que existe una fracción que es igual a{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}}.
-<center><math>\cfrac {a}{b}=\sqrt{2}</math></center>+<center><math>\cfrac {a}{b}=\sqrt{2} \, , \quad a, b \in \mathbb{Z}</math></center>
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad: Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:
Línea 14: Línea 16:
<center><math>\cfrac {a^2}{b^2}=2</math></center> <center><math>\cfrac {a^2}{b^2}=2</math></center>
-Multiplicamos por <math>b^2\;\!</math> los dos miembros de la igualdad:+Multiplicamos por {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}} los dos miembros de la igualdad:
-<center><math>a^2=2 \cdot b^2</math></center>+<center><math>a^2=2 \cdot b^2</math>{{b4}}[1]</center>
 +{{p}}
 +Sabemos que en la descomposición factorial de un cuadrado perfecto, distinto de 1, todos los factores que aparecen lo hacen un número par de veces.
-Esta expresión nos dice que <math>a^2\;\!</math> es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número.+Como {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}} es un cuadrado perfecto, el factor 2 o no aparece o lo hace un número par de veces. Entonces, por la expresión [1], el factor 2 aparecería un número impar de veces en la descomposición del cuadrado perfecto {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>a^2\;\!</math>}}, lo cual no es posible.
-Pero <math>a^2\;\!</math> es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.+Ya hemos llegado al absurdo.
- +----
-Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de <math>b^2\;\!</math>, el otro 2 tiene que estar en el <math>b^2\;\!</math>+Tambián puedes ver la demostración en el siguiente videotutorial:
- +{{p}}
-Eso quiere decir que <math>b^2\;\!</math> también tiene que ser par, y por tanto <math>b\;\!</math> también es par.+{{Video_enlace_khan
- +|titulo1=Demostración de la irracionalidad de la raíz de 2
-Pero si <math>a\;\!</math> es par y <math>b\;\!</math> también, la fracción no es irreducible, como habíamos supuesto.+|duracion=11´57"
- +|sinopsis=Videotutorial con otra demostración de la irracionalidad de la raíz de 2.
-Ya hemos llegado al absurdo. +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=gGWlqg-13hk}}
 +{{Video_enlace_matesandres
 +|titulo1=Demostración con un poco de historia.
 +|duracion=4´09"
 +|sinopsis=Videotutorial con la misma demostración que el video e Khan, pero más rápida y con un poco de historia.
 +|url1=https://youtu.be/xeBJrWlMdoI}}
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_unpuntocircular
 +|titulo1=Un número secreto
 +|duracion=2´49"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=GJ7KNpAYIOg
 +|sinopsis=Una breve historia de un número cuyo cuadrado es 2.
 +}}
 +{{Video_enlace_derivando
 +|titulo1=El formato DIN A4 y la raíz de 2
 +|duracion=4´40"
 +|url1=https://youtu.be/G1Zkiytd8vE
 +|sinopsis=
 +¡La de matemáticas que hay en un folio! ¿Sabes de dónde proviene el formato de hojas A4?.
 +}}
 +{{Historia|titulo=El formarto DIN A:|texto=
 +{{El formato DIN A}}
}} }}
 +{{p}}

Revisión actual

ejercicio

Proposición


No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número\sqrt{2} \, no es racional.



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