Plantilla:Ramas infinitas. Asíntotas

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Una función presenta una rama infinita si presenta una asíntota o una rama parabólica.

Pasamos a definir asíntota y rama parabólica.

Tabla de contenidos

1 Asíntota
2 Rama parabólica
3 Estudio de las asíntotas de una función

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Asíntota

Una asíntota es una recta hacia la que se acerca la gráfica de una función, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto, a $+ \infty$ o a $-\infty$ .

Hay tres tipos:

Asíntota vertical (A.V.)
Asíntota horizontal (A.H.)
Asíntota oblicua (A.O.)

Nota: La función nunca puede cortar una A.V., pero si puede cortar a una A.H. o a una A.O.

Asíntotas (5'34") Sinopsis:

Asíntotas. Tipos.

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Asíntota vertical

Una función $f(x)\;$ presenta en $x=a\;$ una asíntota vertical (A.V.) si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)$

$\lim_{x \to a^-} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)$

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Ejemplo:

Veamos cómo la función $f(x)=\cfrac{x^2}{x-2}$ presenta una A.V. en $x=2\;$

En efecto,

$\lim_{x \to 2^-} \cfrac{x^2}{x-2}= -\infty$

$\lim_{x \to 2^+} \cfrac{x^2}{x-2}= +\infty$

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Asíntota vertical: x = 2

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Asíntota horizontal

Una función $f(x)\;$ presenta una asíntota horizontal (A.H.) en $y=a\;$ si:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)= a$

o bien,

$\lim_{x \to -\infty} f(x)= a$

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Ejemplo:

Veamos cómo la función $g(x)=\cfrac{x^2}{x^2+1}$ presenta una A.H. en $y=1\;$

En efecto,

$\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2+1}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2}= 1$

$\lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2}{x^2+1}=\lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2}{x^2}= 1$

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Asíntota horizontal: y = 1

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Asíntota oblicua

Una función $f(x)\;$ presenta una asíntota oblicua (A.O.) en $y=mx+n\;$ si:

$\lim_{x \to +\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0$

o bien,

$\lim_{x \to -\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0$

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Para calcular los coeficientes $m\;$ y $n\;$ de la asíntota, se procederá de la siguiente manera:

$m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{f(x)}{x}$ (o bien, con $x \to -\infty$ )

$n=\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx]$ (o bien, con $x \to -\infty$ )

Ejemplo:

Veamos cómo la función $g(x)=\cfrac{x^2+1}{x-3}$ presenta una A.O. en $y=x+3\;$

En efecto, sea $y=mx+n\;$ la A.O., entonces:

$m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{g(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{\cfrac{x^2+1}{x-3}}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x(x-3)} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x^2-3x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2}=1$

$n=\lim_{x \to 1^+} [g(x)-x]= \lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x^2+1}{x-3}-x \right]= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1-x^2+3x}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x+1}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x}{x}= 3$

Para $x \to -\infty$ se obtendrían los mismo valores.

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Asíntota oblicua: y = x + 3

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Rama parabólica

Una función $f(x)\;$ presenta una rama parabólica si no presenta una asíntota oblicua pero cumple que:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)$

o bien,

$\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)$

Ramas parabólicas

Ejemplo:

Las funciones exponenciales, las polinómicas de grado mayor que 1, las logarítmicas y las irracionales tienen ramas parabólicas. Las dos primeras tienen un crecimiento/decrecimiento más rápido que las dos últimas.

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Estudio de las asíntotas de una función

Tutorial 1 (15'24") Sinopsis:

Asíntotas. Conceptos básicos. Ejemplos.

Tutorial 2a (A.V.) (9'04") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas verticales de una función.

Tutorial 2b (A.H.) (9'03") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas horizontales de una función.

Tutorial 2c (A.O.) (7'42") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas oblicuas de una función racional (Introducción).

Tutorial 2d (A.O.) (7'32") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas oblicuas de una función racional.

Tutorial 2e (A.O.) (8'05") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas oblicuas de una función no racional.

Ejemplos (30'17") Sinopsis:

Estudia las asíntotas de las siguientes funciones:

$\cfrac{x}{x^2-4}\;$
$\cfrac{3x^2}{x^2+9}\;$
$\cfrac{x^3+2x^2+x-3}{x^2-1}\;$
$\cfrac{x^3-2}{2x+1}\;$
$\cfrac{x^3-4x}{x+2}\;$

Tendencia de una función

Actividad: Tendencia de una función

a) Averigua la tendencia de la función $f(x)=\cfrac{1}{x}\;$ . cuando $x\;$ se hace infinitamente grande.

b) Observa lo que ocurre en el apartado anterior dibujando la función desde x=0 a x=100000.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) limit x to +oo 1/x

b) plot 1/x {x,0,100000}

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ramas_infinitas._As%C3%ADntotas"

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 '''Nota:''' La función nunca puede cortar una A.V., pero si puede cortar a una A.H. o a una A.O.
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+#<math>\cfrac{x^3-4x}{x+2}\;</math>
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