Plantilla:Reglas de derivación (1ºBach)

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 11:42 28 may 2017

Hemos visto en el apartado anterior como se obtiene la función derivada de una función. Es un proceso largo y pesado. Existen una serie de reglas, demostradas por medio de ese procedimiento, que nos permitirán aliviar el trabajo del cálculo de la función derivada.

Derivada de las funciones elementales

Reglas de derivación

Función constante:

$D(k)=0 \, , \ \forall k \in \mathbb{R}$

Función identidad:

$D(x)=1\;$

Función potencia:

$D(x^n)=n \, x^{n-1}\;$

Funciones trigonométricas directas:

$D(sen\,x)=cos \, x$

$D(cos\,x)=-sen \, x$

$D(tg\,x)=1+tg^2\,x=\cfrac{1}{cos^2 x}$

Funciones trigonométricas recíprocas:

$D(arc\,sen\,x)=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$D(arc\,cos\,x)=\cfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

$D(arc\,tg\,x)=\cfrac{1}{1+x^2}$

Funciones exponenciales:

$D(e^x)=e^x\;$

$D(a^x)=a^x \cdot ln\,a$

Funciones logarítmicas:

$D(ln\,x)=\cfrac{1}{x}$

$D(log_a\,x)=\cfrac{1}{x} \cdot \cfrac{1}{ln\,a}$

Ejemplos:

$f(x)=x^5 \ \rightarrow \ f'(x)=5x^4$
$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{2} \, x^{(\frac{1} {2}-1)}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$f(x)=2^x \ \rightarrow \ f'(x)=2^x \cdot ln \, x$
$f(x)=log_2 \,x \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{x} \cdot \cfrac{1}{ln\,2}$

Derivada de operaciones con funciones

Reglas de derivación

Producto de una función por una constante:

$D[k\,f(x)]=k\,f'(x)\;$

Ejemplo:

$f(x)=5x^3 \ \rightarrow \ f'(x)=5\,D(x^3)=5 \cdot 3x^2=15x^2$

Suma de funciones:

$D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)\;$

Ejemplo:

$f(x)=3x^4+3x^2-1 \ \rightarrow \ f'(x)=D(3x^4)+D(3x^2)+D(-1)=$

$=12x^3+6x +0=12x^3+6x\;$

Producto de funciones:

$D[f(x) \cdot g(x)]=f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\;$

Ejemplo:

$f(x)=x^3 \cdot cos\,x \ \rightarrow \ f'(x)=D(x^3) \cdot cos \, x +x^3 \cdot D(cos \, x)$

$=3x^2 \cdot cos \, x - x^3 \cdot sen \, x$

Demostración (8'01") Sinopsis:

Demostración de la fórmula de la derivada de un producto.

Cociente de funciones:

$D \left[ \cfrac{f(x)}{g(x)} \right]=\cfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\;$

Ejemplo:

$f(x)=\cfrac{sen \, x}{cos \, x} \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{D(sen \, x) \cdot cos \, x -sen \, x \cdot D(cos \, x)}{cos^2x}=$

$=\cfrac{cos^2 x +sen^2 x}{cos^2 x}=\cfrac{1}{cos^2 x}$

Composición de funciones (Regla de la cadena):

$D\{g[f(x)]\}=g'[f(x)] \cdot f'(x)\;$

Ejemplo:

$f(x)=sen^2 x \ \rightarrow \ f'(x)=2 \, sen \, x \cdot D[sen \, x]=2 \, sen \, x \cdot cos \, x$

Reglas de derivación

Función derivada. Reglas de derivación (9'22") Sinopsis:

Definición de la función derivada de una función. Las reglas de derivación nos permiten calcular derivadas sin calcular límites.

Ejemplos sencillos: Reglas de derivación (15'36") Sinopsis:

22 ejemplos sencillos de aplicación de las reglas de derivación.

Ejemplos: Reglas de derivación (26'28") Sinopsis:

Ejemplos de cálculo de la derivada de una función usando las reglas de derivación.

Ejemplo 1: Regla de la cadena (5'46") Sinopsis:

Halla la derivada de: $y=(5x-2x^4)^3\;$

Ejemplo 2: Regla de la cadena (14'44") Sinopsis:

Halla la derivada de: $y=\sqrt[5]{\cfrac{x^3-2}{x^3+2}}\;$

Ejemplo 3: Regla de la cadena (7'12") Sinopsis:

Halla la derivada de: $y=sen \, 2x \cdot ln \,x^2\;$

Ejemplos 4: Regla de la cadena (17'28") Sinopsis:

Halla la derivada de:

a) $f(x)=\left( \cfrac{3x^2+6x}{x^3-4} \right)^5\;$

b) $g(x)=\sqrt{sen^{-1}(3x)}\;$

c) $h(x)=e^{x \, ln \, x} \cdot 2^{-x}\;$

d) $i(x)=log_2 \, \sqrt[3]{\cfrac{3-x}{x+3}}\;$

Derivada de las funciones trigonométricas (17'47") Sinopsis:

Reglas de derivación de las funciones trigonométricas para casos simple y para casos complejos aplicando la regla de la cadena. Ejemplos.

Derivada de las funciones exponenciales (9'04") Sinopsis:

Reglas de derivación de las funciones exponenciales para casos simple y para casos complejos aplicando la regla de la cadena. Ejemplos.

Derivada de las funciones logarítmicas (12'24") Sinopsis:

Reglas de derivación de las funciones logarítmicas para casos simple y para casos complejos aplicando la regla de la cadena. Ejemplos.

Derivada de las funciones trigonométricas inversas (22'04") Sinopsis:

Reglas de derivación de las funciones trigonométricas inversas para casos simple y para casos complejos aplicando la regla de la cadena. Ejemplos.

Estrategias para aplicar las reglas de las derivadas (15'26") Sinopsis:

Videotutorial

Actividades

Ejercicios resueltos: Reglas de derivación

Halla la derivada de las siguientes funciones:

$f(x)=2x^3-5x^2+3x-2\;$
$g(x)=\sqrt{2x} + \sqrt[3]{5x^2}$
$h(x)=\cfrac{1}{x \sqrt{x}}$
$i(x)=2^{3x}\;$
$j(x)=\cfrac{x^3}{x^2+1}$
$k(x)=arc \, tg \sqrt{x^2+1}$

Solución:

$f'(x)=6x^2-10x+3\;$
$g'(x)=\cfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{x}}+\cfrac{2\sqrt[3]{5}}{3\sqrt[3]{x}}$
$h'(x)=-\cfrac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$
$i'(x)=8^x \cdot ln \, 8$
$j'(x)=\cfrac{x^4+3x^2}{x^4+2x^2+1}$
$i'(x)=\cfrac{1}{x^2+2} \cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x$

Ejercicios resueltos: Reglas de derivación

Ejercicios 1 y 2 (3'49") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

1. $f(x)=7x^6-5x^8+9x^3+14x-2\;$

2. $h(x)=x^6-\cfrac{1}{x^6}-e^6+ln\,6-\cfrac{6}{x}\;$

Ejercicios 3, 4 y 5 (6'19") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

3. $y=\cfrac{x^2}{2}-\cfrac{x^7}{7}\;$

4. $y=2x^\frac{3}{4}+4x^{-\frac{1}{4}}\;$

5. $y=\cfrac{a+bx+cx^2}{x}\;$

Ejercicio 6 (4'01") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

6. $m(x)=e^{5x} \ ln\,(2x-9)\;$

Ejercicio 7 (5'20") Sinopsis:

Calcula la derivada de y respecto de la variable t:

7. $y=t\,\sqrt{a^2+t^2}\;$

Ejercicio 8 (3'45") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

8. $P(x)=\cfrac{x^2+x^3}{x^4-7}\;$

Ejercicio 9 (6'18") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

9. $f(x)=\cfrac{3x-5}{(x^2+1)^2}\;$

Ejercicio 10 (1'54") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

10. $R(x)=(5x^6-7)^8\;$

Ejercicio 11 (6'57") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

11. $f(x)=\sqrt{\cfrac{a^2+x^2}{a^2-x^2}}\;$

Ejercicio 12 (2'30") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

12. $y=cos^2x+cos(x^2)\;$

Ejercicio 13 (2'19") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

13. $y=\cfrac{3^{x^2}}{3^x}\;$

Ejercicio 14 (2'21") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

14. $y(t)=\cfrac{ln\,t^8}{ln\,t^{11}}\;$

Ejercicio 15 (9'14") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

15. $y=\cfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\;$

Ejercicio 16 (3'48") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

16. $y=ln\,(sen\,x \cdot cos\,x)\;$

Ejercicio 17 (8'01") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

17. $f(x)=tan^3(2^{5x^4})\;$

Ejercicio 18 (9'26") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

18. $f(x)=e^{x^2\,\sqrt{3x-1}}\;$

Ejercicio 19 (10'21") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

19. $f(x)=-\cfrac{1}{8} \ arc\,sen \left( \cfrac{4}{x^2}\right)\;$

Ejercicio 20 (6'06") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

20. $f(x)=ln \left[\cfrac{(x+4)^2 (x-1)^3}{(x-7)^5}\right]$

Ejercicio 21 (5'11") Sinopsis:

21. Sabiendo que f(2)=4, f'(4)=6 y f'(2)=-2, calcula:

a) $(fof)'(2)\,$

b) La derivada de $\left[ f(x) \right]^3$ cuando x=2.

Ejercicio 22 (5'53") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=e^{cos \, x} \cdot cos\, (e^x)\;$

Ejercicio 23 (4'53") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=sen \, (ln \, (x^2))\;$

Ejemplo: Continuidad y derivabilidad (5'45") Sinopsis:

Estudio de la continuidad y de la derivabilidad de una función.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Reglas_de_derivaci%C3%B3n_%281%C2%BABach%29"

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