Plantilla:Sistemas de ecuaciones (1ºBach)

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Línea 7: Línea 7:
*'''Resolver''' un sistema es hallar todas sus soluciones. *'''Resolver''' un sistema es hallar todas sus soluciones.
*Dos sistemas son '''equivalentes''' si tienen las mismas soluciones. *Dos sistemas son '''equivalentes''' si tienen las mismas soluciones.
 +*Si las ecuaciones que forman el sistema están formadas por expresiones polinómicas de primer grado, el sistema se dice que es '''lineal'''. En caso contrario diremos que es '''no lineal'''.
}} }}
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- +{{Info|texto=Véase: [[Sistemas de ecuaciones lineales (3ºESO Académicas)]]}}
-Por ejemplo, un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas o simplemente, sistema 2x2, es la agrupación de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (por ejemplo "x" e "y"). Se llama solución de un sistema 2x2 a cualquier pareja de valores (x,y) que sea solución de las dos ecuaciones a la vez.+{{p}}
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 +|titulo1=Sistemas de ecuaciones no lineales
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 +|sinopsis=Qué es un sistema de ecuaciones no lineales.
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==Clasificación de los sistemas atendiendo al número de soluciones== ==Clasificación de los sistemas atendiendo al número de soluciones==
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}} }}
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-{{Video_enlace_fonemato 
-|titulo1=Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 
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-|sinopsis=*Definición de sistema de dos [[Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas | ecuaciones lineales con dos incógnitas]]. 
-*Sistemas equivalentes. 
-*Clasificación de los sistemas atendiendo al número de soluciones. 
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-{{Video_enlace_fonemato 
-|titulo1=Interpretación geométrica de los sistemas lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas 
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-|sinopsis=Videotutorial 
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==Métodos de resolución de sistemas== ==Métodos de resolución de sistemas==
(pág. 81) (pág. 81)
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 +{{Videotutoriales|titulo=Método de sustitución|enunciado=
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-|titulo1=Ejercicio: método de igualación (previo cambio de variable)+|titulo1=Ejercicio
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:<math>\begin{cases} 10^{x-3y} \ = \ 3 \\ ~ \\ log \, 2x- log \, y \ = \ 1 \end{cases}</math> :<math>\begin{cases} 10^{x-3y} \ = \ 3 \\ ~ \\ log \, 2x- log \, y \ = \ 1 \end{cases}</math>
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 +
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}} }}
{{p}} {{p}}
==Actividades y problemas== ==Actividades y problemas==
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-{{wolfram desplegable|titulo=Resolución de sistemas|contenido=+'''Sistemas con mas de 2 incógnitas:'''
-{{wolfram+{{Video_enlace_clasematicas
-|titulo=Actividad: ''Resolución de sistemas''+|titulo1=Tutorial
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-{{ejercicio_cuerpo+|sinopsis=Tutorial que explica la resolución de sistemas de ecuaciones con más de dos variables, resolviendo varios ejercicios utilizando tanto la sustitución como la reducción.
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 +----
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 +|titulo1=Ejercicio 1
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 +|sinopsis=Resuelve:
-:a) Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución:+:<math>\begin{cases}~x+~y+~z & = 12 \\ 2x-~y+~z & = ~7 \\ ~x+2y-~z & = ~6 \end{cases}</math>
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 +|sinopsis=Resuelve:
-<center><math>\begin{cases} y=x+2 \\ \cfrac{1}{x}-\cfrac{x}{y}=0 \end{cases}</math></center>+:<math>\begin{cases}2x+3y+~z & = ~~1 \\ 6x-2y-~z & = -14 \\ 3x+~y-~z & = ~~1 \end{cases}</math>
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 +{{Video_enlace_matemovil
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 +|sinopsis=Resuelve:
-:b) Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema:+a) <math>\begin{cases}~x+~y+~z & = ~3 \\ 2x+3y+4z & = 11 \\ 3x+~y-2z & = -5 \end{cases}</math>
-<center><math>\begin{cases} 2x-y-1=0 \\ x^2-7=y+2 \end{cases}</math></center>+b) <math>\begin{cases}3x+~y & = ~a \\ 2x-4z & = -2a \\ 3y+~z & = -a \end{cases}</math>
 +}}
 +----
 +'''Sistemas 3x2:'''
-:c) Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema:+{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicios
 +|duracion=9´
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/03-ecuaciones-y-sistemas-de-ecuaciones/0408-seis-ejercicios-sistemas-lineales-de-3-ecuac-con-2-incog#.VCc0i_l_u2E
 +|sinopsis=Resolución de sistemas lineales 3x2:
-<center><math>\begin{cases} log \ x - log \ y & \mbox{=}\mbox{ 5} \\ log \ x + log \ y & \mbox{=}\mbox{ 3} \end{cases}</math></center>+1. <math>\begin{cases} 2x+y & = 7 \\ ~x-y & = 2 \\ x+2y & = 0 \end{cases}</math>{{b4}}{{b4}}2. <math>\begin{cases} ~x+4y & = 9 \\ ~x+~y & = 3 \\ 3x+~y & = 5 \end{cases}</math>{{b4}}{{b4}}3. <math>\begin{cases} 2x-~y & = 3 \\ 4x-2y & = 2 \\ ~x+2y & = 0 \end{cases}</math>
-{{p}}+4. <math>\begin{cases} ~x-~y & = 4 \\ ~x+~y & = 2 \\ 2x-2y & = 8 \end{cases}</math>{{b4}}{{b4}}5. <math>\begin{cases} ~x+2y & = 3 \\ 2x+4y & = 2 \\ ~x+2y & = 0 \end{cases}</math>{{b4}}{{b4}}6. <math>\begin{cases} ~x-~y & = 1 \\ 2x-2y & = 2 \\ 5x-5y & = 5 \end{cases}</math>
-|sol=+}}
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+----
 +'''Sistemas cuadráticos:'''
-:a) {{consulta|texto=solve y=x+2, 1/x-x/y=0}}+{{Video_enlace_clasematicas
-:b) {{consulta|texto=solve 2x-y-1=0, x^2-7=y+2}}+|titulo1=Tutorial
-:c) {{consulta|texto=solve log10(x)-log10(y)=5, log10(x)+log10(y)=3}}+|duracion=39'31"
 +|sinopsis=Tutorial que explica de forma completa la resolución de sistemas de ecuaciones cuadráticos, resolviendo varios ejercicios utilizando tanto la sustitución como la reducción.
-{{widget generico}}+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=XXa6r_Aedw0&list=PLZNmE9BEzVInb8sr7k6vYC5zWEo5TbPSd&index=6
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 +----
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-{{p}}+----
 +'''Sistemas logarítmicos:'''
 + 
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 +----
 +{{Video_enlace_fonemato
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 +----
 +'''Sistemas exponenciales:'''
 + 
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|titulo1=Problema 1 |titulo1=Problema 1
Línea 223: Línea 346:
|sinopsis=Resolución de un problema de números mediante un sistema lineal 3x3. |sinopsis=Resolución de un problema de números mediante un sistema lineal 3x3.
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-{{p}} 
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Línea 246: Línea 366:
#Determine las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su área aumenta 600 <math>m^2</math> al duplicar los lados, aumentando 340 <math>m^2</math> si la base disminuye 2 m y la altura se triplica. #Determine las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su área aumenta 600 <math>m^2</math> al duplicar los lados, aumentando 340 <math>m^2</math> si la base disminuye 2 m y la altura se triplica.
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|titulo1=Problemas 6 y 7 |titulo1=Problemas 6 y 7
Línea 255: Línea 374:
#Determine un número de dos dígitos si la suma de éstos es 11 y al invertir el orden de los dígitos resulta un número que se diferencia 36 unidades del primero. #Determine un número de dos dígitos si la suma de éstos es 11 y al invertir el orden de los dígitos resulta un número que se diferencia 36 unidades del primero.
}} }}
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{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Problema 8 |titulo1=Problema 8
Línea 263: Línea 381:
#Desde un tren que circula a 72 km/h entra en un túnel hasta que sale el último vagón pasan 49 segundos, y pasan 37 segundos desde que el último vagón entra en el túnel hasta que la locomotora aparece en el otro extremo. Determine las respectivas longitudes del tren y el túnel. #Desde un tren que circula a 72 km/h entra en un túnel hasta que sale el último vagón pasan 49 segundos, y pasan 37 segundos desde que el último vagón entra en el túnel hasta que la locomotora aparece en el otro extremo. Determine las respectivas longitudes del tren y el túnel.
}} }}
-{{p}} 
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-|titulo1=6 ejercicios de sistemas de 3 ecuaciones con 2 incógnitas 
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- 
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 +
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 +
 +:c) Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema:
 +
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 +{{p}}
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 +Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
 +
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 +}}
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Revisión actual

Tabla de contenidos

Sistemas de ecuaciones

(pág. 81)

  • Un sistema de n ecuaciones con m incógnitas o simplemente, sistema nxm, es la agrupación de n ecuaciones con m incógnitas.
  • Se llama solución de un sistema nxm a cualquier conjunto de m valores (uno de cada incógnita) que sea solución de todas las ecuaciones a la vez.
  • Resolver un sistema es hallar todas sus soluciones.
  • Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
  • Si las ecuaciones que forman el sistema están formadas por expresiones polinómicas de primer grado, el sistema se dice que es lineal. En caso contrario diremos que es no lineal.



Clasificación de los sistemas atendiendo al número de soluciones

  • Un sistema es compatible si tiene solución e incompatible si no la tiene.
  • Un sistema es determinado si tiene un número finito de soluciones e indeterminado si tiene infinitas soluciones.
  • Usaremos las siguientes siglas para abreviar:
    • S.C.D. : Sistema Compatible Determinado (un número finito de soluciones)
    • S.C.I. : Sistema Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)
    • S.I. : Sistema Incompatible (sin solución)

Métodos de resolución de sistemas

(pág. 81)

Vamos a ver tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción. Puedes recordar estos métodos de cursos anteriores: Métodos de resolución de sistemas (3ºESO Académicas)

Método de sustitución

El método de sustitución consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en las otras:

  • En el caso de sistemas 2x2, la ecuación sustituida, que se queda con una sola incógnita, se resuelve, lo que permite averiguar esa incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo en la expresión que obtuvimos al despejar en el paso previo.
  • En el caso de sistemas de más de 2 incógnitas hay que repetir el proceso hasta quedarse con una sola ecuación con una incógnita. Una vez hallada ésta, se sustituye su valor en la expresión que obtuvimos al despejar, repitiendo estos pasos hasta tener todas las soluciones.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Método de sustitución


Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema:

\begin{cases} \qquad 2x-y & = 9 \\ \sqrt{x+y} + y & = x \end{cases}

Método de igualación (sistemas 2x2)

Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones resultantes. Así, nos queda una ecuación con una sola incógnita. Esta se resuelve y permite averiguar dicha incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.

ejercicio

Ejemplo: Método de igualación


Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema:

\begin{cases} x \ = \ y^2  \\ x \ = \ 2(y-1)+5 \end{cases}

Método de reducción

  • Para sistemas 2x2, el método de reducción consiste en obtener ecuaciones equivalentes a las de partida (multiplicándolas por un número, si fuera necesario), de manera que al sumarlas, se obtenga una ecuación en la que se ha eliminado una de las incógnitas. Así, nos queda una ecuación con una sola incógnita, que se resuelve, permitiendo averiguar dicha incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido en las ecuaciones de partida.
  • Para sistemas con más de 2 ecuaciones se procede de forma análoga al método 2x2. En el caso particular de sistemas lineales se usará el método de reducción de Gauss.


Nota: Este método se puede usar siempre que los sistemas sean de ecuaciones lineales. En caso contrario, sólo se podrá usar en contadas ocasiones en las que las ecuaciones cumplan ciertos requisitos, como ocurre en el siguiente ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Método de reducción


Resuelve el siguiente sistema:

\begin{cases}2 \, log\,x-log\,y  = 5 \\ log \,(xy)  = 4 \end{cases}

Actividades y problemas

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Resolución de sistemas de ecuaciones


(Pág. 82)

2a,b,c; 3a,b,c

2d; 3d

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