Plantilla:Suma de términos de una progresión aritmética

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Suma de términos de una progresión aritmética

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

$S_n=\frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}$

Demostración:

El porqué de esta fórmula se deduce de la siguiente historia:

En un pequeño pueblo de Alemania, Brunswick, un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad... pero transcurridos pocos segundos uno de los alumnos levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente, así era.

El profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.

Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüss. Fue uno de los mas grandes matemáticos. Intenta enterarte de algo más sobre él.

Demostración:

Para la demostración nos basaremos en el hecho de que:

$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2} \cdots=K$

Entonces, si efectuamos la siguiente suma:

$S_n \ = \ a_1 \ + ~~a_2 \ + ~~a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n$

$+\;$

$S_n \ = \ a_n \ + a_{n-1} + a_{n-3}+\cdots + \ ~~a_3\ + \ a_2\ + \ a_1$

_______________________________________________________________

$2 \cdot S_n= K + ~K \ + ~~K \ ~+ \cdots+ ~~K \ + ~K \ + ~K$

por tanto:

$S_n=\cfrac{n \cdot K}{2}=\cfrac{n \cdot (a_1+a_n)}{2}$

Suma de términos de una progresión aritmética

Fórmula y ejemplos (4´14") Sinopsis:

Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. Ejemplos.

Demostración (8´47") Sinopsis:

Demostración de la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética

Ejercicio (14'29") Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de la suma de n términos de una progresión aritmética.

Autoevaluación: Suma de términos de una progresión aritmética Descripción:

Suma los n primeros términos de una progresión aritmética dada.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Suma_de_t%C3%A9rminos_de_una_progresi%C3%B3n_aritm%C3%A9tica"

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