Plantilla:Término general de una progresión geométrica

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Término general de una progresión geométrica

El término general, $a_n\;\!$ , de una progresión geométrica de razón $r\;\!$ es:

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

Demostración:

En efecto, de forma intuitiva:

$a_2 = a_1 \cdot r = a_1 \cdot r^1 \;\!$

$a_3 = a_2 \cdot r = a_1 \cdot r \cdot r = a_1 \cdot r^2 \;\!$

$a_4 = a_3 \cdot r = a_1 \cdot r^2 \cdot r = a_1 \cdot r^3 \;\!$

........................

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

Demostración por el método de inducción completa:

Para ello hay que comprobar primero que la fórmula se cumple para n=1. A continuación, suponiendo que la fórmula es cierta para el valor n, deberemos comprobar que también se cumple para el valor n+1. Con ésto, la fórmula será cierta para todo valor n natural.

Veamos que se cumple para n=1. Sustituimos n por 1 en el lado derecho de la fórmula:

$a_1 = a_1 \cdot r^{1-1} = a_1 \cdot r^0 = a_1$

con lo que queda comprobada para n=1.

Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n:

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ . [1]

Por ser una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando por r el anterior término:

$a_{n+1}=a_n \cdot r \;$ [2]

Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1:

$a_{n+1}\begin{matrix} ~_{[2]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix}a_n \cdot r \begin{matrix} ~_{[1]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix} a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r =a_1 \cdot r^{((n+1)-1)}$

Verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción.

Progresiones geométricas (11'41") Sinopsis:

Definición de progresión geométrica.
Ejemplos.
Término general de una progresión geométrica.

Ejercicio resuelto: Progresión geométrica

En una progresión geométrica de términos positivos, $a_1=3\;$ y $a_3 = 6\;$ . Halla $a_n\;$ , $a_{20}\;$ y $a_{21}\;$ .

Solución:

$a_3=a_1 \cdot r^2 \rightarrow 6 = 3 \cdot r^2 \rightarrow r^2=\cfrac{6}{3}=2 \rightarrow r=\pm \sqrt{2}$

Como la progresión es de términos positivos, sólo nos vale el valor posivo: $r=\sqrt{2}$ .

$a_n= a_1 \cdot r^{n-1} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{n-1}$

$a_{20} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{20-1} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{19} = 3 \cdot 2^9 \cdot \sqrt{2} =1536 \sqrt{2}$

$a_{21} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{21-1} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{20} = 3 \cdot 2^{10} =3072$

Autoevaluación: Término general de una progresión geométrica Descripción:

Encuentra el término general de una progresión geométrica dada.

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 *Ejemplos.
 *Término general de una progresión geométrica.
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