Plantilla:Teorema del resto
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1) Halla el resto de la división del polinomio <math>x^3+x^2+x-1\;</math> entre <math>x-2\;</math>, <math>x+2\;</math>, <math>x-0\;</math> y <math>3-x\;</math>. | 1) Halla el resto de la división del polinomio <math>x^3+x^2+x-1\;</math> entre <math>x-2\;</math>, <math>x+2\;</math>, <math>x-0\;</math> y <math>3-x\;</math>. | ||
- | 2) Determina el valor de k para que | + | 2) Determina el valor de k para que el polinomio <math>Q(x)=kx^3+(2k-1)x^2+x-k\;</math> sea divisible por <math>x-2\;</math>. |
- | 3) | + | 3) Sea <math>T(x)=4x^3-2kx^2+k^2 x-k\;</math>. Halla el valor de k para que el resto de la división de <math>T(x)\;</math> entre <math>x-1\;</math> sea igual a 2. |
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Revisión de 20:46 20 may 2017
Teorema del Resto
El valor que toma un polinomio, , cuando hacemos , coincide con el resto de la división de entre . Es decir, , donde es el resto de dicha división.
Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que:
donde es el dividendo, el divisor, el cociente y el resto y verificándose además, que el grado de es menor que el grado de .
En efecto, si tomamos el divisor , entonces tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar , y la fórmula anterior se convierte en:
Tomando el valor se obtiene que:
Ejemplo: Teorema del Resto
Calcula el resto de dividir el polinomio entre
Bastará calcular
Así el resto seráSi P(x) es un polinomio de grado no inferior a 1, el resto de la división P(x)/(x-a) es el número P(a) que se obtiene al sustituir "x" por "a" en P(x). La división P(x)/(x-a) es "exacta" si P(a) = 0; y en tal caso se dice que "a" es un "cero" o "raíz" del polinomio P(x), o una solución de la ecuación P(x) = 0.
- Teorema del resto para la división de un polinomio entre un binomio del tipo ax+b.
- Como ejemplo, también resolveremos los siguientes ejercicios:
- 1) Halla el resto de dividir el polinomio entre el binomio .
- 2) Halla el resto de dividir el polinomio entre el binomio .
Halla el resto de la división del polinomio entre .
Halla el valor de para que la división del polinomio entre sea exacta.
1) Halla el resto de la división del polinomio entre , , y .
2) Determina el valor de k para que el polinomio sea divisible por .
3) Sea . Halla el valor de k para que el resto de la división de entre sea igual a 2.