Plantilla:Teorema del resto

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Teorema del Resto

El valor que toma un polinomio, $P(x)\;$ , cuando hacemos $x=a\;$ , coincide con el resto de la división de $P(x)\;$ entre $(x-a)\;$ . Es decir, $P(a)\,= r\,$ , donde $r\,$ es el resto de dicha división.

Demostración:

Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que:

$P(x)=Q(x)C(x) + R(x)\,,$

donde $P(x)\,$ es el dividendo, $Q(x)\,$ el divisor, $C(x)\,$ el cociente y $R(x)\,$ el resto y verificándose además, que el grado de $R(x)\,$ es menor que el grado de $Q(x)\,$ .

En efecto, si tomamos el divisor $Qx) = x-a\,$ , entonces $R(x)\,$ tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar $r\;$ , y la fórmula anterior se convierte en:

$P(x)=(x-a)c(x) + r\,.$

Tomando el valor $x=a \!\,$ se obtiene que:

$\frac{}{}P(a)=r$

Ejemplo: Teorema del Resto

Calcula el resto de dividir el polinomio $x^3 - 3x^2 - 7\;$ entre $(x-2)\;$

Solución:

Bastará calcular $P(2)=2^3-3 \cdot 2^2-7=-11$

Así el resto será $r=P(2)=-11\;$

Teorema del resto

Teorema del resto (8´) Sinopsis:

Si P(x) es un polinomio de grado no inferior a 1, el resto de la división P(x)/(x-a) es el número P(a) que se obtiene al sustituir "x" por "a" en P(x). La división P(x)/(x-a) es "exacta" si P(a) = 0; y en tal caso se dice que "a" es un "cero" o "raíz" del polinomio P(x), o una solución de la ecuación P(x) = 0.

Teorema del resto (más general) (12´46") Sinopsis:

Teorema del resto para la división de un polinomio entre un binomio del tipo ax+b.
Como ejemplo, también resolveremos los siguientes ejercicios:

1) Halla el resto de dividir el polinomio $2x^4-5x^3+3x-6\;$ entre el binomio $x-2\;$ .

2) Halla el resto de dividir el polinomio $9x^3+3x^2+3x+1\;$ entre el binomio $3x+1\;$ .

Ejercicio 1 (3'33") Sinopsis:

Halla el resto de la división del polinomio $x^3-2x^2+9\;$ entre $x+2\;$ .

Ejercicio 2 (7'08") Sinopsis:

Halla el valor de $k\;$ para que la división del polinomio $5x^4-x^2+kx-4\;$ entre $x+2\;$ sea exacta.

Ejercicios 3 (11´) Sinopsis:

1) Halla el resto de la división del polinomio $x^3+x^2+x-1\;$ entre $(x-2)\;$ , $(x+2)\;$ , $(x-0)\;$ y $(3-x)\;$ .

2) Determina el valor de k para que el polinomio $Q(x)=kx^3+(2k-1)x^2+x-k\;$ sea divisible por $x-2\;$ .

3) Sea $T(x)=4x^3-2kx^2+k^2 x-k\;$ . Halla el valor de k para que el resto de la división de $T(x)\;$ entre $x-1\;$ sea igual a 2.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Teorema_del_resto"

 |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/13-polinomios/0601-seis-ejercicios#.VCMEbhZ8HA8
 |sinopsis=
-) Halla el resto de la división del polinomio <math>x^3+x^2+x-1\;</math> entre <math>x-2\;</math>, <math>x+2\;</math>, <math>x-0\;</math> y <math>3-x\;</math>.
+) Halla el resto de la división del polinomio <math>x^3+x^2+x-1\;</math> entre <math>(x-2)\;</math>, <math>(x+2)\;</math>, <math>(x-0)\;</math> y <math>(3-x)\;</math>.
 ) Determina el valor de k para que el polinomio <math>Q(x)=kx^3+(2k-1)x^2+x-k\;</math> sea divisible por <math>x-2\;</math>.

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