Plantilla:Teorema del resto
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|enunciado=Calcula el resto de dividir el polinomio <math>x^3 - 3x^2 - 7\;</math> entre <math>(x-2)\;</math> | |enunciado=Calcula el resto de dividir el polinomio <math>x^3 - 3x^2 - 7\;</math> entre <math>(x-2)\;</math> | ||
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Bastará calcular <math>P(2)=2^3-3 \cdot 2^2-7=-11</math> | Bastará calcular <math>P(2)=2^3-3 \cdot 2^2-7=-11</math> | ||
Así el resto será <math>r=P(2)=-11\;</math> | Así el resto será <math>r=P(2)=-11\;</math> | ||
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+ | Así, el resto de la división es -11, y por el teorema del resto, P(2) = -11. | ||
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Revisión de 17:37 15 sep 2018
Teorema del Resto
El valor que toma un polinomio, , cuando hacemos , coincide con el resto de la división de entre . Es decir, , donde es el resto de dicha división.
Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que:
donde es el dividendo, el divisor, el cociente y el resto y verificándose además, que el grado de es menor que el grado de .
En efecto, si tomamos el divisor , entonces tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar , y la fórmula anterior se convierte en:
Tomando el valor se obtiene que:
Ejemplo: Teorema del Resto
Calcula el resto de dividir el polinomio entre
Primer método:
Bastará calcular
Así el resto será
Segundo método:
Usando la regla de Ruffini:
| 1 -3 0 -7 | 2| 2 -2 -4 --|---------------- | 1 -1 -2 |-11 |____Así, el resto de la división es -11, y por el teorema del resto, P(2) = -11.
Si P(x) es un polinomio de grado no inferior a 1, el resto de la división P(x)/(x-a) es el número P(a) que se obtiene al sustituir "x" por "a" en P(x). La división P(x)/(x-a) es "exacta" si P(a) = 0; y en tal caso se dice que "a" es un "cero" o "raíz" del polinomio P(x), o una solución de la ecuación P(x) = 0.
- Teorema del resto para la división de un polinomio entre un binomio del tipo (ax+b).
- Como ejemplo, también resolveremos los siguientes ejercicios:
- 1) Halla el resto de dividir el polinomio entre el binomio .
- 2) Halla el resto de dividir el polinomio entre el binomio .
Halla el resto de la división del polinomio entre .
Halla el valor de para que la división del polinomio entre sea exacta.
1) Halla el resto de la división del polinomio entre , , y .
2) Determina el valor de k para que el polinomio sea divisible por .
3) Sea . Halla el valor de k para que el resto de la división de entre sea igual a 2.
a) Halla el resto de la división de entre .
b) y c) Otros dos ejercicios de nivel superior.
Ejercicios de autoevaluación sobre el teorema del resto.