Plantilla:Triángulo: def y prop

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Un triángulo es un polígono de tres lados.

Nomenclatura:

En un triángulo, los vértices se designan con letras mayúsculas (por ejemplo: $A \,\ B,\ C$ ) y se disponen siguiendo el sentido contrario de las agujas del reloj.
Las mismas letras mayusculas, con un "sombrero", se usan para nombrar los ángulos ( $\hat A, \ \hat B, \ \hat C$ ), aunque también son usuales las letras griegas ( $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ ). También se puede nombrar un ángulo usando tres vértices consecutivos. (Por ejemplo: $\hat{ABC}$ sería igual que el ángulo $\hat B\;$ ).
Cada lado se designa con la misma letra con que se designa al lado opuesto, pero en minúscula ( $a,\ b,\ c$ ). También se puede expresar cada lado con dos letras mayúsculas ( $BC,\ AC,\ AB$ ), las de los vértices contenidos en ese lado.

Propiedades

Todo triángulo cumple las siguientes propiedades:

Sus tres ángulos suman 180º.
La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.
Es rígido, de hecho, es el único polígono indeformable.
Si $a=b\;,$ entonces $\hat A=\hat B$ . Y si $a<b\;$ , entonces $\hat A< \hat B$ .

Demostración:

1. Los tres ángulos de un triángulo suman 180º.

Podrás ver la demostración en el siguiente video:

Demostración (1'18") Sinopsis:

Demostración de que la suma de los ángulos de un triángulo es un ángulo llano (180º).

Para comprobar esta propiedad vamos a hacer uso de la siguiente escena. En ella, A es un punto fijo, B puede moverse horizontalmente y C libremente: esto permite dibujar cualquier triángulo. La recta que pasa por C es paralela al lado AB con lo cual los ángulos verdes son iguales por ser alternos internos, y los rojos también, por la misma razón. Si sumamos los tres ángulos en el vértice C, obtenemos siempre un ángulo llano.

2. La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.

En la siguiente escena puedes comprobar esta propiedad. Mueve los vértices para cambiar la forma del triángulo.

3. Es rígido, de hecho, el triángulo es el único polígono indeformable.

Observa la escena, arrastra los vértices y comprueba que:

a) Con tres varillas iguales podemos formar un triángulo, que no se deforma.

b) Con cuatro varillas iguales, el cuadrilátero que se forma, puede deformarse, no es rígido.

Esta propiedad tiene muchas aplicaciones en la construcción. Observa torres de la luz, estructuras metálicas de puentes,... la forma externa puede ser variada, pero llevan diagonales internas que dividen su estructura en triángulos.

4. Si $a=b\;,$ entonces $\hat A=\hat B$ . Y si $a<b\;$ , entonces $\hat A< \hat B$

Demostración (22'32") Sinopsis:

Demostración de Teoremas Fundamentales de los Triángulos