Plantilla:Utilidad de la derivada (1ºBach)

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(→Cálculo de la ecuación de la recta tangente a una curva)
Línea 1: Línea 1:
-==Cálculo de la ecuación de la recta tangente==+==Cálculo de la ecuación de la recta tangente a una curva==
{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado= {{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=
-La ecuación de la trecta tangente a la curva <math>y=f(x)\;</math> en un punto de abscisa <math>x=a\;</math> viene dada por la ecuación:+La ecuación de la recta tangente a la curva <math>y=f(x)\;</math> en un punto de abscisa <math>x=a\;</math> viene dada por la ecuación:
{{Caja|contenido=<math>y-f(a)=f'(a)(x-a)\;</math>}} {{Caja|contenido=<math>y-f(a)=f'(a)(x-a)\;</math>}}
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Geogebra_enlace+{{Ejemplo
-|descripcion=En esta escena podrás calcular la ecuación de la recta tangente a una curva dada su ecuación.+|titulo=Ejemplo: ''Ecuación de la recta tangente''
-|enlace=[https://ggbm.at/wXqCBshgJ Ecuación de la recta tangente]+|enunciado=Dada la función <math>f(x)=x^2-3\;</math>, halla la ecuación de la recta tangente en el punto <math>x=1\;</math>.
-}}+|sol=
-{{p}}+<math>f(x)=x^2-3 \ \rightarrow \ f(1)=-2</math>
-==Estudio del crecimiento==+
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=+
-Para estudiar el crecimiento de una función deberemos estudiar el signo de la función derivada:+
-*En aquellos puntos donde la derivada sea positiva la función será creciente.+
-*En aquellos puntos donde la derivada sea negativa la función será decreciente.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Video_enlace2+
-|titulo1=Funciones crecientes y decrecientes+
-|duracion=13'02"+
-|sinopsis=+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/04-derivabilidad-de-funciones-2/19-funciones-crecientes-o-decrecientes-2#.WGObhEZ9Vko+
-}}+
-{{Video_enlace2+
-|titulo1=Criterios de crecimiento y decrecimiento+
-|duracion=7'19"+
-|sinopsis=+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/04-derivabilidad-de-funciones-2/20-criterios-de-crecimiento-y-decrecimiento-2#.WGObmEZ9Vko+
-}}+
-==Estudio de los puntos singulares==+<math>f'(x)=2x \ \rightarrow \ f'(1)=2</math>
-===Extremos relativos===+
-{{Video_enlace2+
-|titulo1=Determinación de los extremos relativos+
-|duracion=13'46"+
-|sinopsis=+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/04-derivabilidad-de-funciones-2/21-maximos-y-minimos-relativos-o-locales-2#.WGObq0Z9Vko+
-}}+
-===Extremos absolutos===+La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto <math>x_0=1\;</math> es:
-{{Video_enlace2+
-|titulo1=Determinación de máximos y mínimos absolutos+
-|duracion=14'45"+
-|sinopsis=+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/04-derivabilidad-de-funciones-2/22-determinacion-de-maximos-y-minimos-absolutos-2#.WGOb2UZ9Vko+
-}}+
-==Problemas de optimización==+<center><math>y=y_0+m(x-x_0)\;</math></center>
-{{Caja_Amarilla|texto=Un problema de '''optimización''' es aquél en el que se pretende averiguar el máximo o el mínimo de una magnitud dada. Por ejemplo, encontrar el área mínima, el menor coste, la forma óptima, la menor resistencia, el máximo beneficio, el mayor alcance...+
-}}{{p}}+
-'''Estrategia a seguir:'''+
-*Identifica todas las cantidades dadas y las cantidades a determinar. +<center><math>y=f(1)+f'(1)(x-1)\;</math></center>
-*Escribe una ecuación primaria para la magnitud que debe hacerse máxima o mínima. +
-*Reduce la ecuación primaria a una ecuación que sólo tenga una variable independiente. Este paso te puede exigir el utilizar ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria. (Las despejas en las secundarias y las sustituyes en la primaria) +
-*Fija el dominio de la ecuación primaria. Ésto es, determina el rango de valores para los que tiene sentido el problema planteado. +
-*Utiliza el Cálculo (derivada primera y segunda de la ecuación primaria) para obtener el valor máximo o mínimo solicitado. +
-{{p}}+
-{{Video_enlace2+
-|titulo1=El verbo optimizar+
-|duracion=09'03"+
-|sinopsis={{p}}+
-*Introducción a los problemas de optimización.+
-*'''Ejemplo 1:''' Hallar el punto de la parábola <math>y=\cfrac{x^2}{4}</math> más próximo al punto (-1,2).+
-*'''Ejemplo 2:''' Hallar el punto de la curva <math>y^2=4x\,</math> más próximo al punto (2,-1).+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/04-derivabilidad-de-funciones-2/23-el-verbo-optimizar-2#.WGOb-EZ9Vko+
-}}+
-{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividades interactivas: ''Problemas de optimización''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=[[Imagen:optimizacion1.gif|left]]'''Problema 1:''' Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo isósceles cuya base (lado desigual) mide 8 cm y la altura correspondiente 3 cm (suponiendo que un lado del rectángulo está sobre la base del triángulo).+
-{{p}}+
-|actividad=+<center><math>y=-2+2(x-1)\;</math></center>
-Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:+
-*¿Qué representa el punto rojo de la izquierda?: ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?+
-Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:+
-*¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?+
-*Compruébalo activando la casilla "Ver solución".+
-Repite el proceso para un triángulo de 6 cm de base y 5 cm de altura.+
-Experimenta e intenta encontrar alguna regularidad en las soluciones.+<center><math>y=2x-4\;</math></center>
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_1.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
- +
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=[[Imagen:optimizacion2.gif|left]]'''Problema 2:''' Queremos construir una caja (sin tapa), a partir de una cartulina cuadrada de 6 dm de lado, a la que se recortarán las esquinas. Hallar las dimensiones de las citadas esquinas para que el volumen de la caja sea máximo.+
{{p}} {{p}}
- +Puedes comprobar el resultado en la siguiente escena:
-|actividad=+
-Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:+
-*¿Qué representa el punto rojo de la izquierda?: ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?+
- +
-Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:+
-*¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?+
- +
-Repite el proceso para una cartulina cuadrada de 4 cm de lado.+
- +
-¿Y si la cartulina es un rectángulo de dimensiones 8x5 cm?+
- +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_2.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-----+
- +
-'''GUIÓN DE TRABAJO:'''+
-[[Imagen:optimiza_2.gif|right]] +
-#Observa la figura. Si decidimos cortar cuadrados de 15 cm de lado en las esquinas de las láminas metálicas, determina las dimensiones y el volumen (en litros) que tendrá la caja que formaremos al doblar las pestañas.+
-#¿Cómo cambiarían esas dimensiones si los cuadrados que cortamos son de 12 cm de lado?+
-#Si cortamos cuadrados más pequeños, ¿obtenemos necesariamente cajas de un volumen mayor? Explica tu respuesta+
-#Como la profesora Pérez quiere obtener cajas con el volumen más grande posible, ¿se te ocurre alguna manera de determinar la medida del cuadrado que cortaremos para lograr ese mayor volumen?+
-#Encuentra una expresión algebraica que permita conocer el volumen (en litros) de la caja a partir de su altura, es decir, del lado del cuadrado recortado (en dm).+
-#Construye una tabla de valores a partir de la fórmula obtenida.+
-#Observa la figura interactiva de debajo. Mueve el punto verde y comprueba si tienes errores en la tabla de valores.+
-#Explica el significado del punto rojo y su variación al mover el verde.+
-#Justifica o niega las siguientes afirmaciones, razonando tu respuesta:+
-##El volumen de la caja aumenta y disminuye al incrementar la altura de la caja.+
-##Es imposible hallar el volumen de una caja conociendo sólo una de sus tres dimensiones.+
-##La relación entre la altura de una caja y su volumen es lineal.+
-#Vamos a representar gráficamente la función definida en la cuestión nº 5: haz clic derecho sobre el punto rojo y "activa la traza". Luego vuelve a mover el punto verde. Describe lo que ocurre.+
-#¿Cuál es el dominio de la función? ¿Por qué?+
-#¿En qué punto se alcanza el valor más alto de la gráfica? Compruébalo mediante el deslizador de "Ver solución"+
-#Cómo será la tangente a la gráfica en ese punto? Compruébalo mediante el deslizador de "Ver tangente"+
-#¿Cuál será el valor de su pendiente? ¿Qué relación tiene ese valor con la derivada de la función en ese punto?+
-#Toma la función definida en la cuestión 5 para el volumen y calcula su función derivada.+
-#Sustituye en ella la x por el valor dado para la solución. ¿Cuánto da?+
-#Resume tus conclusiones: ¿cómo se puede calcular el valor máximo o minimo de una función?+
- +
- +
-''Adaptado por Manuel Sada Allo (Abri 2006) a partir de la propuesta: Lupiáñez, J.L. y Codina, A. (2002). Implementando problemas de optimización con calculadora gráica. Trabajo presentado en el X Congreso sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas. El Ejido, Almería.a partir de una actividad de Jose Luis Lupiáñez Gómez y Antonio Codina Sánchez''+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=[[Imagen:optimizacion3.gif|left]]'''Problema 3a:''' Queremos construir una lata de un tercio de litro de capacidad.+
- +
-¿Cuáles serán las dimensiones de la lata más barata (en cuanto a superficie de hojalata)?.{{p}}+
-'''Problema 3a:''' ¿Y si la hojalata para las tapas cuesta el doble que la destinada a la cara lateral?+
{{p}} {{p}}
- +{{Geogebra_enlace
-|actividad=+|descripcion=En esta escena podrás calcular la ecuación de la recta tangente a una curva .
-'''Problema 3a:'''+|enlace=[https://ggbm.at/wXqCBshg Ecuación de la recta tangente]
- +
-Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:+
-*¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?: ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?+
- +
-Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:+
-*¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?+
-*Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.+
- +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_3.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-----+
- +
-'''Problema 3b:'''+
- +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_3b.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_3b.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
}} }}
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=[[Imagen:optimizacion4.gif|left]]'''Problema 4a:''' De todas las rectas que pasan por el punto (1,2), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima. 
-'''Problema 4b:''' De todas las rectas que pasan por el punto (a,b), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima. 
-{{p}} 
- 
-|actividad= 
-'''Problema 4a:''' 
- 
-Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios: 
-*¿Qué representa el punto rojo de la gráfica? 
-*¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema? 
- 
-Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:  
-*¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema? 
-*Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla. 
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_4.html 
-width=780 
-height=460 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_4.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
- 
----- 
-'''Problema 4b:'''  
- 
-Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios: 
-*¿Qué representa el punto rojo de la gráfica? 
-*¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema? 
- 
-Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:  
-*¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema? 
-*Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla. 
- 
-Cambia el punto de apoyo de las rectas (inicialmente (3,1)) por otro y observa cómo varía la solución:  
-*¿Encuentras alguna regularidad? 
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_4b.html 
-width=780 
-height=460 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_4b.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
- 
}} }}
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=[[Imagen:optimizacion5.gif|left]]'''Problema 5:''' Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de 12 cm y la altura relativa a ese lado de 5 cm. Encontrar un punto sobre la altura tal que la suma de distancias a los tres vértices sea mínima.. 
{{p}} {{p}}
 +{{Ejemplo
 +|titulo=Ejercicio resuelto: ''Ecuación de la recta tangente''
 +|enunciado=Dada la función <math>f(x)=\cfrac{x^3-3x^2}{9}</math>, halla las ecuaciones de la rectas tangentes que sean paralelas a la bisectriz del primer cuadrante.
 +|sol=
 +Hay dos soluciones:
-|actividad=Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:+#<math>y=x+\frac{5}{9}</math>
-*¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?+#<math>y=x-3\;</math>
-*¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?+
-Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde: 
- 
-*¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema? 
-*Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla. 
- 
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_5.html 
-width=780 
-height=460 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_5.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
- 
- 
-}} 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=[[Imagen:optimizacion6.gif|left]]'''Problema 6:''' Dada la función definida en el intervalo [1,e] por <math>f(x)=\cfrac{1}{x} + ln \, x</math> , determina cuáles de las rectas tangentes a su gráfica tiene la máxima pendiente. 
{{p}} {{p}}
- +Puedes comprobar el resultado en la siguiente escena:
-|actividad=+{{p}}
-Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:+{{Geogebra_enlace
-*¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?+|descripcion=En esta escena podrás calcular la ecuación de la recta tangente a una curva .
-*¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?+|enlace=[https://ggbm.at/wXqCBshg Ecuación de la recta tangente]
- +}}
-Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde: +
-*¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?+
-*Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_6.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_6.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
- +
}} }}
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=[[Imagen:optimizacion7ab.gif|left]]'''Problema 7a:''' En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. ¿Cuál debe ser la longitud de esa cuerda para que el área del trapecio ABDC sea máxima? 
-{{p}} 
-<br> 
- 
-'''Problema 7b:''' En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. Llamamos E al punto medio del arco CD y dibujamos el pentágonoACEDB. Calcula la longitud de la cuerda CD para que el área del pentágono sea máxima. 
{{p}} {{p}}
- +{{Videotutoriales
-|actividad=+|titulo=Ejercicios: ''Ecuación de la recta tangente y de la recta normal''
-'''Problema 7a:'''+|enunciado=
-Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:+{{Video_enlace_pildoras
-*¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?+|titulo1=Tutorial
-*¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?+|duracion=11'54"
- +|sinopsis=Cómo se halla la recta tangente a una curva. Ejemplos.
-Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde: +|url1=https://youtu.be/7tU2EZdVlmo?list=PLwCiNw1sXMSC8-MgHpDRjIsMzs9qVJSwU
-*¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?+
-*Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_7.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_7.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-----+
-'''Problema 7b:'''+
- +
-Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:+
-*¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?+
-*¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?+
- +
-Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde: +
-*¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?+
-*Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_7b.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_7b.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
}} }}
-{{ai_cuerpo+{{Video_enlace_pildoras
-|enunciado=[[Imagen:optimizacion8.jpg|left]]'''Problema 8a:''' Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a 3 km/h y corre por la arena a 10 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.+|titulo1=Ejemplos
-{{p}}+|duracion=10'49"
-'''Problema 8b:''' Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a v1 km/h y corre por la arena a v2 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.+|sinopsis=Más ejemplos del cálculo de la recta tangente a una curva.
-{{p}}+|url1=https://youtu.be/217bHpdLKF8?list=PLwCiNw1sXMSC8-MgHpDRjIsMzs9qVJSwU
-|actividad=+
-'''Problema 8a:'''+
-Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:+
-*¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?+
-*¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema? +
- +
-Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde: +
-*¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema? +
-*Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla. +
- +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_8.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_8.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-----+
- +
-'''Problema 8b:'''+
-Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:+
-*¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?+
-*¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema? +
- +
-Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde: +
-*¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema? +
-*Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla. +
- +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_8b.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_8b.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
- +
}} }}
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=[[Imagen:optimizacion9.gif|left]]'''Problema 9a:''' Divide el número 8 en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible.{{p}} 
-{{p}} 
-'''Problema 9b:''' Divide el número n en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible.{{p}}(Este es uno de los problemas que [[Ferrari]] puso a [[Tartaglia]] en su histórico duelo de problemas) 
-{{p}} 
-|actividad= 
-'''Problema 9a:''' 
-  
-Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios: 
-*¿Qué representa el punto rojo de la gráfica? 
-*¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?  
- 
-Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:  
-*¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?  
-*Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.  
- 
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_9.html 
-width=780 
-height=460 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_9.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
- 
---- ----
-'''Problema 9b:'''+{{Video_enlace_julioprofe
- +|titulo1=Ejercicio 1
-Observa la figura. Elige un valor para n (mediante el correspondiente deslizador).+|duracion=6'12"
-Mueve el punto verde y observa los cambios:+|sinopsis=Halla la ecuación de la recta tangente a la curva <math>y=\cfrac{1}{x-2}\,</math> en el punto <math>P(4,\frac{1}{2})</math>.
- +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=uku8Mg0als0
-*¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?+}}
-*¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema? +{{Video_enlace_julioprofe
- +|titulo1=Ejercicio 2
-Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde: +|duracion=12'10"
- +|sinopsis=Halla la ecuación de la recta tangente a la curva <math>y=3x^2\,ln\,x\, + 4x\,</math> en el punto de abscisa 1.
-*¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema? +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=5mwxTMhi88Q
-*Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla. +}}
- +{{Video_enlace_julioprofe
-<center><iframe>+|titulo1=Ejercicio 3
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/optimiza_9b.html+|duracion=14'28"
-width=780+|sinopsis=Halla la ecuación de la recta normal a la curva <math>y=\cfrac{3x-1}{x+1}\,</math> en el punto de abscisa 3.
-height=460+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=O5Y0qwxC8Ww
-name=myframe+}}
-</iframe></center>+{{Video_enlace_julioprofe
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-}}+

Revisión actual

Tabla de contenidos

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Cálculo de la ecuación de la recta tangente a una curva

ejercicio

Proposición

La ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x)\; en un punto de abscisa x=a\; viene dada por la ecuación:

y-f(a)=f'(a)(x-a)\;

ejercicio

Ejemplo: Ecuación de la recta tangente

Dada la función f(x)=x^2-3\;, halla la ecuación de la recta tangente en el punto x=1\;.

Solución:

f(x)=x^2-3 \ \rightarrow \ f(1)=-2

f'(x)=2x \ \rightarrow \ f'(1)=2

La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto x_0=1\; es:

y=y_0+m(x-x_0)\;
y=f(1)+f'(1)(x-1)\;
y=-2+2(x-1)\;
y=2x-4\;

Puedes comprobar el resultado en la siguiente escena:

Ecuación de la recta tangente     Descripción:

En esta escena podrás calcular la ecuación de la recta tangente a una curva .

ejercicio

Ejercicio resuelto: Ecuación de la recta tangente

Dada la función f(x)=\cfrac{x^3-3x^2}{9}, halla las ecuaciones de la rectas tangentes que sean paralelas a la bisectriz del primer cuadrante.

Solución:

Hay dos soluciones:

  1. y=x+\frac{5}{9}
  2. y=x-3\;

Puedes comprobar el resultado en la siguiente escena:

Ecuación de la recta tangente     Descripción:

En esta escena podrás calcular la ecuación de la recta tangente a una curva .

video
Ejercicios: Ecuación de la recta tangente y de la recta normal
Tutorial (11'54")     Sinopsis:

Cómo se halla la recta tangente a una curva. Ejemplos.

Ejemplos (10'49")     Sinopsis:

Más ejemplos del cálculo de la recta tangente a una curva.

Ejercicio 1 (6'12")     Sinopsis:

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y=\cfrac{1}{x-2}\, en el punto P(4,\frac{1}{2}).

Ejercicio 2 (12'10")     Sinopsis:

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y=3x^2\,ln\,x\, + 4x\, en el punto de abscisa 1.

Ejercicio 3 (14'28")     Sinopsis:

Halla la ecuación de la recta normal a la curva y=\cfrac{3x-1}{x+1}\, en el punto de abscisa 3.

Ejercicio 4 (8'23")     Sinopsis:

Halla la ecuación de la recta normal y tangente a la curva y=x^3+1\, en el punto de abscisa 1.

Ejercicio 5 (7'38")     Sinopsis:

Hallas las coordenadas del punto de la curva y=x^2\; en el que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

Ejercicio 6 (9´38")     Sinopsis:

Encontrar los vectores unitarios que son paralelos a la recta tangente a la función y=x^2\; en el punto (2,4).

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Estudio del crecimiento y de los puntos singulares

ejercicio

Procedimiento

Para estudiar el crecimiento de una función deberemos estudiar el signo de la función derivada:

  • En aquellos puntos donde la derivada sea positiva la función será creciente.
  • En aquellos puntos donde la derivada sea negativa la función será decreciente.

video
Estudio del crecimiento
Tutorial 1a (13'02")     Sinopsis:

Funciones crecientes y decrecientes

Tutorial 1b (7'19")     Sinopsis:

Criterios de crecimiento y decrecimiento

Ejercicio 1a (2'55")     Sinopsis:

Estudia el crecimiento de f(x)=2x+1\;

Ejercicio 1b (4'01")     Sinopsis:

Estudia el crecimiento de f(x)=x^2+2x-3\;

Ejercicio 1c (8'31")     Sinopsis:

Estudia el crecimiento de f(x)=\cfrac{x-1}{x^2}\;

Ejercicio 2 (3'10")     Sinopsis:

Demuestra que f(x)=e^{-tg \, \pi \cdot (x-\frac{1}{2})} es positiva y decreciente en el intervalo (0,1).

Se llaman puntos singulares de una función a los puntos en los que la derivada vale cero. Son puntos de tangente horizontal.

Esos puntos pueden ser puntos extremos (máximos o mínimos), pero también pueden no serlo. Para determinar qué son, deberemos estudiar el crecimiento de la función.

video
Extremos de una función
Tutorial 1a (11'58")     Sinopsis:

Monotonía y extremos relativos

Tutorial 1b (17'13")     Sinopsis:

Monotonía y extremos relativos.Ejemplos

Tutorial 2 (23'32")     Sinopsis:

¿Qué son los puntos máximos, mínimos, locales y globales, crecimiento y decrecimiento?

Tutorial 3a (13'46")     Sinopsis:

Determinación de los extremos relativos

Tutorial 3b (14'45")     Sinopsis:

Determinación de máximos y mínimos absolutos

Ejercicio 1 (9'04")     Sinopsis:

Estudia el crecimiento y los puntos extremos de f(x)=x^3+2x^2+x-1\;

Ejercicio 2a (13'12")     Sinopsis:

Estudia el crecimiento y los puntos extremos de f(x)=2x^3+3x^2-36x\;

Ejercicio 2b (11'57")     Sinopsis:

Estudia el crecimiento y los puntos extremos de f(x)=4x^3+3x^2-6x+1\;

Ejercicio 2c (11'34")     Sinopsis:

Estudia el crecimiento y los puntos extremos de f(x)=x^4-2x^2+3\;

Ejercicio 2d (6'49")     Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de f(x)=x^3-3x+2\;

Ejercicio 2e (7'42")     Sinopsis:

Encuentra el valor de "k" tal que f(x)=x+\cfrac{k}{x}\; tenga un máximo local en x=-2.

Ejercicio 3a (4'58")     Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de f(x)=x^2-3x+2\;

Ejercicio 3b (8'11")     Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de f(x)=x^3-6x^2+9x\;

Ejercicio 3c (9'43")     Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de f(x)=\cfrac{2}{x^2-x}\;

Ejercicio 3d (7'52")     Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de f(x)=x+\sqrt{1-x}\;

Ejercicio 3e (7'02")     Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de f(x)=x+\cfrac{4}{x}\;

ejercicio

Ejercicio resuelto: Puntos singulares y crecimiento

Dada la función f(x)=x^3-6x^2+9x+2\;, halla sus puntos singulares y estudia su crecimiento.

Solución:

f'(x)=3x^2-12x+9\;

Puntos singulares:

f'(x)=0 \iff 3x^2-12x+9=0 \iff x=\begin{cases} x_1= 1 \\ x_2=3 \end{cases}

Para estudiar el crecimiento determinaremos el signo de la función derivada mediante una tabla en la que estableceremos zonas delimitadas por los puntos singulares y por los puntos de discontinuidad, si los hubiese. En nuestro caso hay 3 zonas porque hay 2 puntos singulares y no hay discontinuidades, por tratarse f'(x) de una función polinómica. 

             -inf     1       3    +inf       
          -----!------!-------!------!
          f'(x)!  +   !   -   !  +   !
          -----!------!-------!------!
           f(x)! Cre  ! Decre ! Cre  !
          ----------------------------
Como f(1)=6 y f(3)=2, el anterior análisis del crecimiento nos permite determinar que (1,6) es un máximo y (3,2) es un mínimo.

wolfram
Extremos relativos
wolfram

Actividad: Extremos relativos

Nota para los cursos de secundaria: Algunas de las siguientes actividades son sólo ilustrativas ya que su resolución manual requiere conocimientos de 1º de bachillerato.

a) Halla los máximos relativos de la función y=x(40-x)\;
b) Halla los mínimos relativos de la función y=x^2+2x+1\;
c) Halla los extremos relativos (máximos y mínimos relativos) de la función y=\cfrac{x^3}{3}-x^2-8x\;.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) maxima x(40-x)
b) minima x^2+2x+1
c) extrema x^3/3-x^2-8x


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Problemas de optimización

Un problema de optimización es aquél en el que se pretende averiguar el máximo o el mínimo de una magnitud dada.

Por ejemplo, encontrar el área mínima, el menor coste, la forma óptima, la menor resistencia, el máximo beneficio, el mayor alcance...

ejercicio

Procedimiento

  • Identifica todas las cantidades dadas y las cantidades a determinar.
  • Escribe una ecuación primaria para la magnitud que debe hacerse máxima o mínima.
  • Reduce la ecuación primaria a una ecuación que sólo tenga una variable independiente. Este paso te puede exigir el utilizar ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria. (Las despejas en las secundarias y las sustituyes en la primaria)
  • Fija el dominio de la ecuación primaria. Ésto es, determina el rango de valores para los que tiene sentido el problema planteado.
  • Obtén el valor máximo o mínimo solicitado mediante el estudio de los ceros y del crecimiento de la función derivada.

video
Optimización
Tutorial 1a (16'20")     Sinopsis:
  • Introducción a los problemas de optimización.
  • Ejemplos.
Tutorial 1b (14'23")     Sinopsis:

Problemas de optimización. Ejemplos

Tutorial 2 (09'03")     Sinopsis:

  • Introducción a los problemas de optimización.
  • Ejemplo 1: Hallar el punto de la parábola y=\cfrac{x^2}{4} más próximo al punto (-1,2).
  • Ejemplo 2: Hallar el punto de la curva y^2=4x\, más próximo al punto (2,-1).
Ejercicio 1 (17'38")     Sinopsis:

Problemas de optimización.

Ejercicio 2a (03'52")     Sinopsis:
  • Determina el punto Q de la parábola y=x^2\; más próximo al punto P(3,0).
  • Comprueba que la recta QP es perpendicular a la tangente a la parábola en Q.
Ejercicio 2b (04'06")     Sinopsis:

De todas las rectas del plano que pasan por el punto (1, -3), determina la que forma un triángulo de área mínima con la parte positiva del eje de abscisas y la negativa del eje de ordenadas.

Ejercicio 3 (7'11")     Sinopsis:

El coste total (en miles de pesos) de pedido y almacenaje de x automóviles es

C(x)=4x+720+\cfrac{921600}{x}

Determina el tamaño del pedido que minimiza el coste total.

Ejercicio 4 (13'47")     Sinopsis:

Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Encuentra las dimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entrada de luz, si el perímetro de la misma debe ser 12 metros.

Ejercicio 5 (10'38")     Sinopsis:

Se necesita construir una caja sin tapa con una lámina rectangular de largo 24 cm y ancho 12 cm. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado que debe cortarse en cada esquina para maximizar el volumen de la caja? ¿Cuál es el valor de dicho volumen máximo?.

Ejercicio 6 (11'59")     Sinopsis:

Optimización del área impresa de un folio bajo ciertas condiciones.

ejercicio

Actividades interactivas: Problemas de optimización

Problema 1: Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo isósceles cuya base (lado desigual) mide 8 cm y la altura correspondiente 3 cm (suponiendo que un lado del rectángulo está sobre la base del triángulo).
Solución:
Solución al problema 1     Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 2: Queremos construir una caja (sin tapa), a partir de una cartulina cuadrada de 6 dm de lado, a la que se recortarán las esquinas. Hallar las dimensiones de las citadas esquinas para que el volumen de la caja sea máximo.
Solución:
Solución al problema 2     Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema.

Problema 3: Queremos construir una lata de un tercio de litro de capacidad.

¿Cuáles serán las dimensiones de la lata más barata (en cuanto a superficie de hojalata)?.

Solución:
Solución al problema 3     Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 4a: De todas las rectas que pasan por el punto (1,2), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.

Problema 4b: De todas las rectas que pasan por el punto (a,b), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.

Solución:
Solución al problema 4a     Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Solución al problema 4b     Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 5: Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de 12 cm y la altura relativa a ese lado de 5 cm. Encontrar un punto sobre la altura tal que la suma de distancias a los tres vértices sea mínima.

Solución:
Solución al problema 5     Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 6: Dada la función definida en el intervalo [1,e] por f(x)=\cfrac{1}{x} + ln \, x , determina cuáles de las rectas tangentes a su gráfica tiene la máxima pendiente.

Solución:
Solución al problema 6     Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 7a: En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. ¿Cuál debe ser la longitud de esa cuerda para que el área del trapecio ABDC sea máxima?

Problema 7b: En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. Llamamos E al punto medio del arco CD y dibujamos el pentágono ACEDB. Calcula la longitud de la cuerda CD para que el área del pentágono sea máxima.

Solución:
Solución al problema 7a     Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Solución al problema 7b     Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.


Problema 8a: Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a 3 km/h y corre por la arena a 10 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.

Problema 8b: Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a v1 km/h y corre por la arena a v2 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.

Solución:
Solución al problema 8a     Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Solución al problema 8b     Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 9a: Divide el número 8 en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible.

Problema 9b: Divide el número n en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible.

(Este es uno de los problemas que Ferrari puso a Tartaglia en su histórico duelo de problemas)

Solución:
Solución al problema 9a     Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Solución al problema 9b     Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

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Aplicación al cálculo de límites: Regla de L'Hôpital

ejercicio

Regla de L'Hôpital

Si al calcular \lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)} se presenta una indeterminación del tipo \cfrac{0}{0} ó \cfrac{\infty}{\infty}, y \lim_{x \to a} \cfrac{f'(x)}{g'(x)}=l \, ; \ (l \in \mathbb{R}), entonces \lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)}=l.

Esto también es cierto si x \to +\infty o x \to -\infty.

Demostración:
Demostración (16'32")     Sinopsis:
  • Demostración de la regla de l'Hopital para el caso de indeterminación 0/0.
  • Ejemplos de aplicación de la regla.
  • Ejemplos en los que no se puede aplicar la regla por no verificarse las condiciones.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Regla de L'Hôpital

Calcula:

a)\lim_{x \to 3} \cfrac{x^3-5x-12}{x^2+3x-18}
b)\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3}{2^x}
c)\lim_{x \to 0} \cfrac{sen \, x}{x}
Solución:

a) \lim_{x \to 3} \cfrac{x^3-5x-12}{x^2+3x-18} = ind. \left( \cfrac{0}{0} \right)

Aplicando la regla de L'Hôpital:

\lim_{x \to 3} \cfrac{x^3-5x-12}{x^2+3x-18} = \lim_{x \to 3} \cfrac{3x^2-5}{2x+3}=\cfrac{22}{9}

b) \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3}{2^x} = ind. \left( \cfrac{\infty}{\infty} \right)

Aplicando la regla de L'Hôpital:

\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3}{2^x} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x^2}{2^x \, ln \, 2}=ind. \left( \cfrac{\infty}{\infty} \right)

Aplicando la regla de L'Hôpital otra vez:

\lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x^2}{2^x \, ln \, 2} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x}{2^x \, (ln \, 2)^2}=ind. \left( \cfrac{\infty}{\infty} \right)

Y aplicando la regla de L'Hôpital una vez más:

\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x}{2^x \, (ln \, 2)^2} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6}{2^x \, (ln \, 2)^3}=0

c)\lim_{x \to 0} \cfrac{sen \, x}{x} = \cfrac{sen \, 0}{0} = ind. \left( \cfrac{0}{0} \right)

Aplicando la regla de L'Hôpital:

\lim_{x \to 0} \cfrac{sen \, x}{x} = \lim_{x \to 0} \cfrac{cos \, x}{1} =\cfrac{cos \, 0}{1} = 1

video
Regla de L'Hôpital
Tutorial 1 (11'41")     Sinopsis:

Regla de l'Hopital para los casos de indeterminación básicos. Ejemplos.

Tutorial 2 (17'28")     Sinopsis:

Regla de l'Hopital para todos los casos de indeterminación. Ejemplos.

Ejercicio 1a (3'14")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 1} \cfrac{1-x^2}{sen\,(\pi x)}

Ejercicio 1b (5'22")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{n \to +\infty} \left( n \cdot sen\, \cfrac{\pi}{n} \right)

Ejercicio 1c (3'26")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 0} \cfrac{ln(1+6x)}{x}

Ejercicio 1d (2'35")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x^2+4x}{e^x+2}

Ejercicio 2a (8'14")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 3} \cfrac{\sqrt{x^2-5}}{x-3}

Ejercicio 2b (12'07")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 0} \cfrac{x-sen \, x}{2x^3}

Ejercicio 2c (9'53")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to -1} \cfrac{x^2+2x+1}{x^4-1}

Ejercicio 3 (11'07")     Sinopsis:

Regla de l'Hopital. Ejemplos en los que hay que aplicarla varias veces.

video
Límites trigonométricos
Ejercicio 1 (6'09")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 0} \cfrac{tg \, 10x}{x}

Ejercicio 2 (4'05")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{t \to 0} \cfrac{sen^3 \, t}{(2t)^3}

Ejercicio 3 (12'35")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cfrac{tg \, 2x}{x-\frac{\pi}{2}}

Ejercicio 4 (3'29")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 0} \cfrac{sen \, 5x}{2x}

Ejercicio 5 (5'34")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 0} \cfrac{tg \, x}{sen \, 4x}

Ejercicio 6 (8'40")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cfrac{\frac{\pi}{2}-x}{cos \, x}

Ejercicio 7 (5'55")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to \pi} \cfrac{sen \, x}{x- \pi}

Ejercicio 7 (7'23")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{t \to 0} \cfrac{tg \, 6t}{sen \, 2t}

Ejercicio 8 (5'46")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{\theta \to 0} \cfrac{sen \, \theta}{\theta + tg \, \theta}

Ejercicio 9 (9'29")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 0} \cfrac{tg \, 2x}{x+ sen \, x}

Ejercicio 10 (5'24")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 0} \cfrac{arcsen \, x}{x}

Ejercicio 11 (13'03")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 0} \cfrac{arctg \, x}{x}

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Utilidad_de_la_derivada_%281%C2%BABach%29"
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