Polinomios

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Tabla de contenidos

1 Polinomios
- 1.1 Valor numérico de un polinomio
2 Operaciones con polinomios

Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al sumar dos o más monomios. A cada monomio se le llama término del polinomio. Si tiene dos términos se llama binomio; si tiene tres trinomio, etc.
Se llama forma reducida de un polinomio, a aquella en la que se ha simplificado, sumando los términos semejantes.
Se llama grado de un polinomio, al mayor de los grados de los monomios que lo componen cuando el polinomio se ha puesto en forma reducida.

Ejemplos:

a) El polinomio $2x^2y+5x^2-1 \;\!$ está en forma reducida y es un trinomio de grado 3.

b) El polinomio $2x^2+5x^2-x+1 \;\!$ no está en forma reducida. Su forma reducida es $7x^2-x+1 \;\!$ , de grado 2.

Valor numérico de un polinomio

Si en un polinomio se sustituyen las letras por números y se realiza la operación indicada se obtiene un número que es el valor númerico del polinomio para los valores de las letras dados.
Un número se dice que es una raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para dicho número es cero.

Ejemplos:

El número $x=2 \;\!$ es una raíz del polinomio $x^2+x-6 \;\!$ ya que al sustituir la x por 2, el valor numérico del polinomio es cero.

Actividad: Valor numérico y raíces de un polinomio

Calcula el valor numérico del polinomio $x^2-3x+2\;\!$ en los casos:

a) $x=2\!$

b) $x=-2\!$

c) $x=1\!$

¿Qué podemos concluir a partir de los apartados a) y c)?

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) x^2-3x+2 where x=2

b) x^2-3x+2 where x=-2

c) x^2-3x+2 where x=1

De a) y c) se deduce que x=2 y x=1 son raíces del polinomio.

Prueba a introducir lo siguiente: roots x^2-3x+2

Operaciones con polinomios

Suma y resta de polinomios

Para sumar o restar polinomios, sumaremos o restaremos los monomios semejantes de ambos.

Ejemplos: Suma y resta de polinomios

Calcula:

a) $(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) + ( 5x^3 - x^2 + 2x ) \;\!$

b) $(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) - ( 5x^3 - x^2 + 2x ) \;\!$

Solución:

a) $(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) + ( 5x^3 - x^2 + 2x ) = 4x^4+3x^3+2x^2+5 \;\!$

b) $(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) - ( 5x^3 - x^2 + 2x ) = 4x^4-7x^3+4x^2-4x+5 \;\!$

Producto de un monomio por un polinomio

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada término del polinomio y se suman los resultados.

Ejemplo: Producto de un monomio por un polinomio

Calcula el producto: $(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) \cdot 2x^2 \;\!$

Solución:

$(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) \cdot 2x^2 = 8x^6-4x^5+6x^4-4x^3+10x^2 \;\!$

Producto de polinomios

Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada monomio de uno de sus factores por todos y cada uno de los monomios del otro factor y, después, se suman los monomios semejantes obtenidos.

Ejemplo: Producto de polinomios

Calcula el producto: $(2x^3 - 3x^2 +1) \cdot (2x-3)\;\!$

Solución:

$(2x^3 - 3x^2 +1) \cdot (2x-3) = 4x^4-6x^3-6x^3+9x^2+2x-3=4x^4-12x^3+9x^2+2x-3 \;\!$

Actividad: Operaciones con polinomios

Haz las siguientes operaciones con polinomios:

a) $(3x^3-5x^2-3x+2)+(x^3-4x-1)-(2x^2-x-2)\!$

b) $(3x^3-5x^2-3x+2) \cdot 2x^2\!$

c) $(2x^2+2x-3) \cdot (2x-5)\!$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) expand (3x^3-5x^2-3x+2)+(x^3-4x-1)-(2x^2-x-2)

b) expand (3x^3-5x^2-3x+2)*2x^2

c) expand (2x^2+2x-3)*(2x-5)

Sacar factor común

La propiedad distributiva sirve para simplificar expresiones sacando factor común. Veamos un ejemplo

Ejemplo: Sacar factor común

Saca factor común en la expresión $16xyz-24xz+4x\;\!$

Solución:

El factor común, que se repite en los tres sumandos, es $4x\,\!$ . Ese factor lo multiplicamos por un paréntesis que contenga a otros tres sumandos. Cada uno de los sumandos del paréntesis deberá ser tal, que al multiplicarlo por el factor común $4x\,\!$ , dé como resultado cada uno de los sumandos de la expresión de partida. En nuestro caso: