Polinomios. Operaciones (4ºESO Académicas)

Tutorial en el que se dan las definiciones básicas del álgebra: expresión algebraica, monomios, polinomios, grado, término independiente, coeficientes...

Polinomios. Grado de un polinomio. Ejemplos.

Polinomios. Grado de un polinomio. Ejemplos.

Aprende a calcular el grado relativo y absoluto de un polinomio.

Nota: Al "grado absoluto" de un polinomio se le llama simplemente "grado" del polinomio.

Aprende a calcular el grado relativo y absoluto de un monomio y de un polinomio.

Nota: Al "grado absoluto" de un polinomio se le llama simplemente "grado" del polinomio.

Polinomios: términos y tipos de polinomios. Polinomios nulos.

Forma reducida de un polinomio. Grado. Polinomios iguales y semejantes.

• Polinomios ordenados, completos / incompletos, homogéneos / heterogéneos.
• Valor numérico de un polinomio.

Polinomios. Monomios. Grado y término independiente de un polinomio.

1) Indica de qué tipo son los polinomios siguientes, atendiendo al número de términos que tienen:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2) Expresa en forma reducida los siguientes polinomios:

a)

b)

c)

d)

3) Indica el grado de cada polinomio:

a)  ;     b)  ;     c)

d)  ;     e)  ;     f)

g)  ;     h)  ;     i)

4) Indica cuáles de estos polinomios son iguales:

a)  ;     b)  ;     c)  ;     d)

e)  ;     f)  ;     g)  ;     h)

i)  ;     j)  ;     k)  ;     l)

5) Indica cuáles de estos polinomios son semejantes entre sí:

a)  ;     b)  ;     c)

d)  ;     e)  ;     f)

g)  ;     h)

6) Ordena, tanto de forma creciente como decreciente, e indica el grado de los siguientes polinomios:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

7) Clasificar polinomios en homogéneos/heterogéneos.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g) 5x³ − 6y³

Dado el polinomio , identifica sus términos junto con el coeficiente y exponente de cada uno de ellos.

Escribe un polinomio que exprese el valor de "p" billetes de 20 pesos, "q" monedas de 10 pesos y "r" monedas de 5 pesos.

Elementos y grado de un polinomio.

Expresiones algebraicas: monomios y polinomios.

• Actividad en la que deberás encontrar la expresión polinómica adecuada para cada situación.
• Actividad en la que deberás construir un polinomio conocida cierta información sobre su grado y los coeficientes de sus términos.

• Actividad en la que deberás encontrar el valor de algún coeficiente de un polinomio.
• Actividad en la que aprenderás a escribir polinomios en su forma usual.
• Actividad en la que deberás decir cual es el coeficiente de cada grado de un polinomio.

Actividad sobre polinomios.

Valor numérico de un polinomio.

Aprende a calcular el valor numérico de un polinomio

Valor numérico de un polinomio.

Halla el valor numérico del polinomio cuando

Dado el polinomio , determina .

Halla el valor numérico del polinomio cuando   y  

8) Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para el valor de la variable indicado:

a) para

b) para

c) para

d) para

e) para

Evalúa el polinomio en .

Distintas situaciones en las que se hace uso del valor numérico de un polinomio. Por ejemplo, cuando se expresa un número en un sistema de numeración de una determinada base.

Actividades en las que deberás calcular el valor numérico de un polinomio.

Aprende a sumar y restar polinomios

En este tutorial se explica la suma y resta de polinomios comenzando con algunas definiciones básicas y terminando con ejemplos.

Aprende a sumar polinomios

Aprende a restar polinomios

Suma y resta de polinomios en una variable. Ejemplos.

Suma de polinomios. Ejemplos.

Propiedades de la suma de polinomios: conmutativa y asociativa.

Propiedades de la suma de polinomios: Elemento neutro y opuesto.

Resta de polinomios. Equivalencias fundamentales.

Suma y resta de polinomios.

Calcula la suma:

Calcula la suma:

Calcula la resta:

Calcula la resta:

Calcula: a) b)

Simplifica:

Simplifica:

Resta de .

Simplifica:

Simplifica:

Simplifica:

Resta de .

Encuentra el error cometido en la resta que se muestra en el video.

1) Ordena los polinomios y realiza las sumas que se indican:

 ;     

 ;     

1a) P(x) + Q(x)

1b) P(x) + R(x)

1c) P(x) + S(x)

Dados los siguientes polinomios, realiza las sumas que se indican:

 ;     

 ;     

1d) Q(x) + S(x)

1e) R(x) + S(x)

1f) Q(x) + R(x)

2) Sumas los siguientes polinomios y compara el grado del polinomio suma con el grado de los polinomios sumandos.

3a) Escribe opuestos de los siguientes polinomios:

 ;     

 ;     

 ;     

3b) Suma cada uno de los polinomios del apartado anterior con su opuesto.

3c) Calcula un polinomio A(x) tal que , siendo .

Dados los siguientes polinomios:

 ;     

 ;     

3d) Calcula un polinomio B(x) tal que .

3e) Calcula un polinomio C(x) tal que .

3f) Calcula un polinomio D(x) tal que .

Dados los polinomios:

 ;     

 ;     

 ;     

4a) Calcula P(x) - Q(x).

4b) Calcula P(x) - R(x).

4c) Calcula [P(x) + Q(x)]-[R(x) + S(x)]

4d) Calcula [P(x) + S(x)]-[Q(x) + R(x)]

4e) Calcula T(x) + M(x)

4f) Calcula T(x) - M(x)

5) ¿Qué polinomio se ha de restar al polinomio para obtener el polinomio ?

6) Dados los polinomios

 ;     

calcula el valor de sabiendo que .

7) Escribe dos polinomios de tercer grado de tal modo que su suma se el polinomio nulo.

8) Escribe dos polinomios reducidos de segundo grado y comprueba con ellos la conmutatividad de la suma.

9) Dado el polinomio , escribe su opuesto, -P(x). Calcula los valores numéricos de P(x) y -P(x) para x = 0, x = 1 y x = 2, y comprueba comprueba que son números opuestos.

10) ¿Qué polinomio tienes que sumar con para que la suma sea 5x^3-6x?

11) Dado el polinomio , halla otro polinomio Q(x) tal que .

Dados los polinomios

 ;     

 ;     

 ;     

12a) Calcula P(x) + Q(x).

12b) Calcula P(x) - V(x).

12c) Calcula P(x) + R(x).

12d) Calcula P(x) - R(x).

12e) Calcula S(x) + T(x) + V(x).

12f) Calcula S(x) - T(x) + V(x).

13) Dados los polinomios

 ;     

calcula el polinomio M(x) tal que P(x) + M(x) = Q(x).

Ejercicio 14 (15'13")     Sinopsis:

---

17) La diferencia de dos polinomios es:

Calcula sabiendo que .

18) ¿Qué polinomio hay que sumar al polinomio para obtener el polinomio opuesto de ?

19) Dados los polinomios:

;      ;     

19a) Calcula P(x) + Q(x) - R(x)

19b) Calcula P(x) + R(x) - Q(x)

19c) Calcula Q(x) + R(x) - P(x)

19d) Calcula P(x) + Q(x) + R(x)

---

14) Escribe dos polinomios cualesquiera y súmalos. Contesta:

14a) ¿Es mayor el grado de los sumandos o el de la suma? ¿Es igual? ¿Es menor?

14b) ¿Puede en algún caso ser menor el grado de la suma que el de los sumandos? ¿Cuándo? Justifícalo con ejemplos.

15) ¿Qué puedes decir del grado de la diferencia de dos polinomios?

16) escribe dos polinomios de tercer grado de modo que su suma se el polinomio .

Determina el valor de "m" y "n" sabiendo que , en los siguientes casos:

Actividades para aprender y practicar la suma y resta de polinomios.

Ejercicios para practicar la suma y resta de polinomios.

Suma de polinomios.

Resta de polinomios.

Suma y resta de polinomios.

Suma y resta de polinomios con dos variables.

Suma y resta de polinomios con dos variables.

Suma y resta de polinomios con dos variables: encuentra el error.

Suma de polinomios.

Resta de polinomios.

Ejercicios de autoevaluación sobre suma y resta de polinomios.

Aprende a multiplicar binomios

Aprende a multiplicar polinomios

En este tutorial se explica la multiplicación de monomios y polinomios comenzando con algunas definiciones básicas y terminando con ejemplos.

Producto de monomios y polinomios en una variable.

Cómo se multiplican polinomios.

Propiedades conmutativa y asociativa del producto de polinomios.

Elemento neutro y distributiva en el producto de polinomios.

Producto de polinomios.

Multiplica (x − 4)(x + 7).

Multiplica (3x + 2)(5x − 7).

Halla el área de la figura dada en el video, expresándola como el producto de dos binomios y como un trinomio.

Multiplica .

Halla el área de la figura dada en el video.

Halla el valor de "a" y "b" sabiendo que .

Multiplica:

a)

b)

c)

d)

Multiplica:

a)

b)

c)

Determinar el polinomio que tiene por raíces: 2, 3 y -1, siendo la última raíz de multiplicidad 2.

Haz las siguientes multiplicaciones de polinomios:

a)

b)

c)

d)

Dados los polinomios

 ;      ;     

determina:

a)

b)

Multiplica los siguientes polinomios en columna e indicar el grado de los factores y del producto.

3a)

3b)

3c)

4a) Comprueba la propiedad conmutativa del producto de polinomios con los polinomios siguientes:

 ;     

4b) Comprueba la propiedad asociativa del producto de polinomios con los polinomios siguientes:

 ;       ;      C(x)=x-2\;</math>

5) Elemento neutro del producto de polinomios: Multiplica el polinomio por el polinomio . ¿Qué polinomio obtienes?

6a) Comprueba la propiedad conmutativa del producto de polinomios con los polinomios siguientes:

 ;     

6b) Comprueba la propiedad asociativa del producto de polinomios con los polinomios siguientes:

 ;      ;     

7a) Comprueba la propiedad distributiva del producto respecto de la suma de polinomios

con los polinomios siguientes:

 ;      ;     

7b) Dados los polinomios

 ;     

calcula

teniendo en cuenta que .

Dados los polinomios:

;     ;

 ;     

calcula:

8a)

8b)

8c)

8d)

8e)

Dados los polinomios:

;     ;

 ;     

calcula:

8f)

8g)

8h)

calcula hallando previamente el grado de los factores y del producto:

9a)

9b)

9c)

9d)

9e)

9f)

Calcula:

10a)

10b)

10c)

10d)

10e)

10f)

Completa:

a) Si grado de P(x)=1 y grado de Q(x)=3, el grado de P(x)·Q(x) es ...

b) Si grado de P(x)=2 y grado de Q(x)=4, el grado de P(x)·Q(x) es ...

c) Si grado de P(x)=1 y grado de Q(x)=3, el grado de P(x)·Q(x) es ...

d) Si grado de P(x)=6 y grado de Q(x)=1, el grado de P(x)·Q(x) es ...

Halla el volumen de un depósito cuya base tiene un área de metros cuadrados y una altura de metros.

Escribe un binomio que exprese la diferencia entre el área de un rectángulo que mide "p" de largo y "2r" de ancho, y el área de un círculo cuyo diámetro mide 4r.

La parte de vidrio de una ventana tiene una proporción de 3:2 entre su largo y su ancho (la altura la podemos representar como 3x y la anchura como 2x). El marco de la ventana añade 7 cm al ancho total y 8 cm al alto total. Encuentra un polinomio, en términos de "x", que represente el área total de la ventana, incluyendo el marco.

Actividades para aprender y practicar la multiplicación de polinomios.

Multiplicación de binomios.

Multiplicación de binomios.

Multiplicación de binomios por polinomios.

Ejercicios de autoevaluación sobre producto de de polinomios.

División de polinomios. Ejemplos.

Siendo P(x) un polinomio de grado no inferior al polinomio Q(x), nos planteamos determinar los polinomios C(x) y R(x) tales que P(x) = Q(x).C(x) + R(x). De C(x) se dice "cociente" de la "división" entre P(x) y Q(x); de R(x) se dice "resto". Si R(x) = 0, la división se dice "exacta"; en tal caso, también se dice que P(x) es "divisible" por Q(x), o que P(x) es "múltiplo" de Q(x), o que Q(x) "divide" a P(x), o que Q(x) es "divisor" de P(x).

Cómo se hace la división de polinomios

División de polinomios

Calcula:

a)

b)

Calcula:

Calcula:

Calcula:

Calcula:

a)

b)

Calcula:

Divide los siguientes polinomios entre binomios:

1a)

1b)

1c)

Divide los siguientes polinomios:

2a)

2b)

2c)

2d)

2e)

Divide los siguientes polinomios:

3a)

3b)

Divide los siguientes polinomios:

3c)

3d)

Divide los siguientes polinomios:

4a)

4b)

4c)

4d)

Divide los siguientes polinomios:

5a)

5b)

5c)

5d)

Divide los siguientes polinomios:

6a)

6b)

6c)

6d)

Indica qué divisiones de polinomios son exactas:

7a)

7b)

7c)

7d)

Divide los siguientes polinomios:

8a)

8b)

9a)

9b)

9c)

Divide los siguientes polinomios:

9d)

9e)

9f)

9g)

9h)

9i)

9j)

Divide los siguientes polinomios:

a)

b)

Método de Horner para la división de polinomios

Calcula:

Halla el resto de la división:

Halla el resto de la división

sabiendo que la suma de los coeficientes del cociente es 28.