Posiciones relativas de dos rectas del plano (1ºBach)
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- | para hallar su posición relativa igualremos las incógnitas y resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, <math>s\,</math> y <math>t\,</math>: | + | para hallar su posición relativa igualaremos las incógnitas y resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, <math>s\,</math> y <math>t\,</math>: |
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- | *Si el sistema es compatible determinado (una solución) <math>(t_0,t_0)\,</math>, las dos rectas '''se cortan en un punto''', que se obtiene sustituyendo los parámetros <math>t_0\,</math> y <math>s_0\,</math>, en las ecuaciones paramétricas. | + | *Si el sistema es compatible determinado (una solución) <math>(t_0,s_0)\,</math>, las dos rectas '''se cortan en un punto''', que se obtiene sustituyendo los parámetros <math>t_0\,</math> y <math>s_0\,</math>, en las ecuaciones paramétricas. |
*Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son '''paralelas'''. | *Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son '''paralelas'''. | ||
*Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son '''coincidentes'''. | *Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son '''coincidentes'''. | ||
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+ | ==Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones implícitas== | ||
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+ | *Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son '''coincidentes'''. (Ésto ocurre cuando \cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} = \cfrac{C}{C'}). | ||
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Dadas las ecuaciones de dos rectas del plano, éstas pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.
Veamos como se averigua dependiendo del tipo de ecuaciones que nos den.
Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas
Dadas las rectas: y
para hallar su posición relativa igualaremos las incógnitas y resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, y :
- Si el sistema es compatible determinado (una solución) , las dos rectas se cortan en un punto, que se obtiene sustituyendo los parámetros y , en las ecuaciones paramétricas.
- Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas.
- Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes.
Ejemplo: Posición relativa de dos rectas
- Determina la posición relativa de las rectas: y
Hay que resolver el siguiente sistema:
Luego las rectas son secantes, y su punto de corte lo obtenemos sustituyendo estas soluciones en cualquiera de las dos ecuaciones paramétricas, por ejemplo, en la primera:
Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones implícitas
Dadas las rectas: y
para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, e :
- Si el sistema es compatible determinado (una solución) , las dos rectas se cortan en ese punto. (Ésto ocurre cuando \cfrac{A}{A'} \ne \cfrac{B}{B'}).
- Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas. (Ésto ocurre cuando \cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} \ne \cfrac{C}{C'}).
- Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes. (Ésto ocurre cuando \cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} = \cfrac{C}{C'}).
Ejemplo: Posición relativa de dos rectas
- Determina la posición relativa de las rectas: y
Hay que resolver el siguiente sistema:
- No se pudo entender (error de sintaxis): \begin{cases} x-2y+4=0 \\ -2x+4y+4=0 \end{cases} \; \rightarrow \,2 \cdot (I) + (II) \rightarrow 0x+0y+12=0 \rightarrow \begin{cases}
No tiene solución.Solución: Las dos rectas son paralelas.