Posiciones relativas de dos rectas del plano (1ºBach)
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'''Solución:''' Las dos rectas son paralelas. | '''Solución:''' Las dos rectas son paralelas. | ||
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+ | {{Caja_Amarilla|texto=Dadas las rectas: <math>r: \, | ||
+ | y=mx+n | ||
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+ | para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, <math>x\,</math> e <math>y\,</math>: | ||
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+ | *Si el sistema es compatible determinado (una solución) <math>(x_0,y_0)\,</math>, las dos rectas '''se cortan''' en ese punto. (Ésto ocurre cuando las pendientes son distintas: <math>m \ne m'</math>). | ||
+ | *Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son '''paralelas'''. (Ésto ocurre cuando <math>m=m' \, , n \ne n'</math>). | ||
+ | *Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son '''coincidentes'''. (Ésto ocurre cuando <math>m=m' \, , n = n'</math>). | ||
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Dadas las ecuaciones de dos rectas del plano, éstas pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.
Veamos como se averigua dependiendo del tipo de ecuaciones que nos den.
Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas
Dadas las rectas: y
para hallar su posición relativa igualaremos las incógnitas y resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, y :
- Si el sistema es compatible determinado (una solución) , las dos rectas se cortan en un punto, que se obtiene sustituyendo los parámetros y , en las ecuaciones paramétricas.
- Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas.
- Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes.
Ejemplo: Posición relativa de dos rectas
- Determina la posición relativa de las rectas: y
Hay que resolver el siguiente sistema:
Luego las rectas son secantes, y su punto de corte lo obtenemos sustituyendo estas soluciones en cualquiera de las dos ecuaciones paramétricas, por ejemplo, en la primera:
Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones implícitas
Dadas las rectas: y
para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, e :
- Si el sistema es compatible determinado (una solución) , las dos rectas se cortan en ese punto. (Ésto ocurre cuando ).
- Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas. (Ésto ocurre cuando ).
- Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes. (Ésto ocurre cuando ).
Ejemplo: Posición relativa de dos rectas
- Determina la posición relativa de las rectas: y
Hay que resolver el siguiente sistema:
- No tiene solución.
Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones explícitas
Dadas las rectas: y
para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, e :
- Si el sistema es compatible determinado (una solución) , las dos rectas se cortan en ese punto. (Ésto ocurre cuando las pendientes son distintas: ).
- Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas. (Ésto ocurre cuando ).
- Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes. (Ésto ocurre cuando ).