Posiciones relativas de dos rectas del plano (1ºBach)
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(Pág. 200)
Posición relativa de dos rectas en el plano
Dadas las ecuaciones de dos rectas del plano, éstas pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.
Veamos como se averigua dependiendo del tipo de ecuaciones que nos den.
Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas
Procedimiento
Dadas las rectas: y
para hallar su posición relativa igualaremos las incógnitas y resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, y :
- Si el sistema es compatible determinado (una solución: ), las dos rectas se cortan en un punto, que se obtiene sustituyendo los parámetros y , en las ecuaciones paramétricas.
- Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas.
- Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes.
Ejemplo: Posición relativa de dos rectas
Determina la posición relativa de las rectas: y
Hay que cambiar el parámetro "t" en una de las dos ecuaciones (por ejemplo la segunda) por otro distinto "s".
- ;
A continuación se resuelve el siguiente sistema:
Luego las rectas son secantes, y su punto de corte lo obtenemos sustituyendo estas soluciones en cualquiera de las dos ecuaciones paramétricas, por ejemplo, en la primera:
Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones implícitas
Procedimiento
Dadas las rectas: y
para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, e :
- Si el sistema es compatible determinado (una solución: ), las dos rectas se cortan en ese punto. (Esto ocurre cuando ).
- Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas. (Esto ocurre cuando ).
- Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes. (Esto ocurre cuando ).
Ejemplo: Posición relativa de dos rectas
Determina la posición relativa de las rectas: y
Hay que resolver el siguiente sistema.
- No tiene solución.
Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones explícitas
Procedimiento
Dadas las rectas: y
para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, e :
- Si el sistema es compatible determinado (una solución: ), las dos rectas se cortan en ese punto. (Esto ocurre cuando las pendientes son distintas: ).
- Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas. (Esto ocurre cuando ).
- Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes. (Esto ocurre cuando ).
Videotutoriales
Sean las rectas A1.x + B1.y + C1 = 0 y A2.x + B2.y + C2 = 0.
- Si A1/A2 = B1/B2 = C1/C2, las rectas son la misma.
- Si A1/A2 = B1/B2 pero no coincide con C1/C2, las rectas son paralelas.
- En otros casos las rectas se cortan en el punto cuyas coordenadas corresponden a la única solución que tiene el sistema que forman las ecuaciones de las rectas.
En los dos problemas de este vídeo nos dan dos rectas y una de ellas tiene coeficientes "locos". Debemos determinar esos coeficientes locos para que las rectas tengan una posición relativa concreta.
Videotutorial
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Posición relativa de dos rectas en el plano |