Posiciones relativas de dos rectas del plano (1ºBach)

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}} }}
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 +==Posición relativa de dos rectas en el plano==
{{Caja_Amarilla|texto=Dadas las ecuaciones de dos rectas del plano, éstas pueden ser '''secantes''', '''paralelas''' o '''coincidentes'''.}} {{Caja_Amarilla|texto=Dadas las ecuaciones de dos rectas del plano, éstas pueden ser '''secantes''', '''paralelas''' o '''coincidentes'''.}}
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==Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas== ==Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas==
-{{Caja_Amarilla|texto=Dadas las rectas: <math>r: \,+{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=Dadas las rectas: <math>r: \,
\begin{cases} \begin{cases}
x=a+bt x=a+bt
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</math> </math>
-para hallar su posición relativa igualremos las incógnitas y resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, <math>s\,</math> y <math>t\,</math>:+para hallar su posición relativa igualaremos las incógnitas y resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, <math>s\,</math> y <math>t\,</math>:
<center><math> <center><math>
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</math></center> </math></center>
-*Si el sistema es compatible determinado (una solución) <math>(t_0,t_0)\,</math>, las dos rectas '''se cortan en un punto''', que se obtiene sustituyendo los parámetros <math>t_0\,</math> y <math>s_0\,</math>, en las ecuaciones paramétricas.+*Si el sistema es compatible determinado (una solución: <math>(t_0,s_0)\,</math>), las dos rectas '''se cortan en un punto''', que se obtiene sustituyendo los parámetros <math>t_0\,</math> y <math>s_0\,</math>, en las ecuaciones paramétricas.
*Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son '''paralelas'''. *Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son '''paralelas'''.
*Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son '''coincidentes'''. *Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son '''coincidentes'''.
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|titulo=Ejemplo: ''Posición relativa de dos rectas'' |titulo=Ejemplo: ''Posición relativa de dos rectas''
|enunciado= |enunciado=
-:Determina la posición relativa de las rectas: <math>r: \,+Determina la posición relativa de las rectas: <math>r: \,
\begin{cases} \begin{cases}
x=5-t x=5-t
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</math> </math>
|sol= |sol=
-Hay que resolver el siguiente sistema:+Hay que cambiar el parámetro "t" en una de las dos ecuaciones (por ejemplo la segunda) por otro distinto "s".
 + 
 +:<math>r: \,
 +\begin{cases}
 +x=5-t
 +\\
 +y=3t
 +\end{cases}
 +</math>{{b4}}; {{b4}}<math>r': \,
 +\begin{cases}
 +x=-1+2s
 +\\
 +y=6-3s
 +\end{cases}
 +</math>
 + 
 +A continuación se resuelve el siguiente sistema:
:<math> :<math>
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Luego las rectas son secantes, y su punto de corte lo obtenemos sustituyendo estas soluciones en cualquiera de las dos ecuaciones paramétricas, por ejemplo, en la primera: Luego las rectas son secantes, y su punto de corte lo obtenemos sustituyendo estas soluciones en cualquiera de las dos ecuaciones paramétricas, por ejemplo, en la primera:
-<math>r: \,+:<math>r: \,
\begin{cases} \begin{cases}
x=5-t x=5-t
Línea 92: Línea 111:
\end{cases} \; \rightarrow \; \end{cases} \; \rightarrow \;
\begin{cases} \begin{cases}
-x=5-(-2)=7+x=5-(-2)
\\ \\
-y=3 \cdot (-2)=-6+y=3 \cdot (-2)
-\end{cases} +\end{cases} \; \rightarrow \;
 +\begin{cases}
 +x=7
 +\\
 +y=-6
 +\end{cases}
</math> </math>
Línea 101: Línea 125:
}} }}
{{p}} {{p}}
 +
 +==Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones implícitas==
 +{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=Dadas las rectas: <math>r: \,
 +Ax+By+C=0
 +</math>{{b4}} y {{b4}}<math>r': \,
 +A'x+B'y+C'=0
 +</math>
 +
 +para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, <math>x\,</math> e <math>y\,</math>:
 +
 +<center><math>
 +\begin{cases}
 +Ax+By+C=0
 +\\
 +A'x+B'y+C'=0
 +\end{cases}
 +</math></center>
 +
 +*Si el sistema es compatible determinado (una solución: <math>(x_0,y_0)\,</math>), las dos rectas '''se cortan''' en ese punto. (Esto ocurre cuando <math>\cfrac{A}{A'} \ne \cfrac{B}{B'}</math>).
 +*Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son '''paralelas'''. (Esto ocurre cuando <math>\cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} \ne \cfrac{C}{C'}</math>).
 +*Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son '''coincidentes'''. (Esto ocurre cuando <math>\cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} = \cfrac{C}{C'}</math>).
 +}}
 +{{p}}
 +{{Ejemplo
 +|titulo=Ejemplo: ''Posición relativa de dos rectas''
 +|enunciado=
 +Determina la posición relativa de las rectas: <math>r: \,
 +x-2y+4=0
 +</math>{{b4}} y {{b4}}<math>r': \,
 +-2x+4y+4=0
 +</math>
 +|sol=
 +Hay que resolver el siguiente sistema.
 +
 +:<math>
 +\begin{cases}
 +\quad \; x-2y+4=0
 +\\
 +-2x+4y+4=0
 +\end{cases} \, \rightarrow_{ \; 2 \cdot (I) + (II)} \; \rightarrow \; 0x+0y+12=0 \rightarrow 12=0 \rightarrow
 +</math> No tiene solución.
 +
 +'''Solución:''' Las dos rectas son paralelas.
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones implícitas
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 +|sinopsis=Posición relativa de dos rectas: secantes, paralelas o coincidentes
 +|url1=https://youtu.be/TPKvQGQNGIQ?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
 +}}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás ver las distintas posiciones relativas de dos rectas en el plano.
 +|enlace=[https://ggbm.at/KKZ9Km6w Posición relativa de dos rectas en el plano]
 +}}
 +{{p}}
 +{{wolfram desplegable|titulo=Posición relativa de rectas en ecuaciones generales|contenido=
 +{{wolfram
 +|titulo=Actividad: ''Posición relativa de rectas en ecuaciones generales''
 +|cuerpo=
 +{{ejercicio_cuerpo
 +|enunciado=
 +
 +a) Estudia la posición relativa de las dos rectas siguientes:
 +:<math>\begin{cases}
 +2x+5y-3=0
 +\\
 +3x-5y-8=0
 +\end{cases}
 +</math>
 +
 +b) Estudia la posición relativa de las tres rectas siguientes:
 +:<math>
 +\begin{cases}
 +2x+5y-3=0
 +\\
 +3x-5y-8=0
 +\\
 +5x+4y-1=0
 +\end{cases}
 +</math>
 +
 +
 +{{p}}
 +|sol=
 +Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
 +
 +:a) {{consulta|texto=2x+5y-3=0, 3x-5y-8=0}}
 +
 +:b) {{consulta|texto=2x+5y-3=0, 3x-5y-8=0 , 5x+4y-1=0}}
 +{{widget generico}}
 +}}
 +}}
 +}}
 +
 +==Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones explícitas==
 +{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=Dadas las rectas: <math>r: \,
 +y=mx+n
 +</math>{{b4}} y {{b4}}<math>r': \,
 +y=m'x+n'
 +</math>
 +
 +para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, <math>x\,</math> e <math>y\,</math>:
 +
 +<center><math>
 +\begin{cases}
 +y=mx+n
 +\\
 +y=m'x+n'
 +\end{cases}
 +</math></center>
 +
 +*Si el sistema es compatible determinado (una solución: <math>(x_0,y_0)\,</math>), las dos rectas '''se cortan''' en ese punto. (Esto ocurre cuando las pendientes son distintas: <math>m \ne m'</math>).
 +*Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son '''paralelas'''. (Esto ocurre cuando <math>m=m' \, , n \ne n'</math>).
 +*Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son '''coincidentes'''. (Esto ocurre cuando <math>m=m' \, , n = n'</math>).
 +}}
 +{{p}}
 +==Ejercicios==
 +{{Videotutoriales|titulo=Posición relativa de dos rectas del plano|enunciado=
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Posición relativa de dos rectas
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 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=8re4sc7jC7o&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=22
 +|sinopsis=
 +Sean las rectas A1.x + B1.y + C1 = 0 y A2.x + B2.y + C2 = 0.
 +
 +*Si A1/A2 = B1/B2 = C1/C2, las rectas son la misma.
 +*Si A1/A2 = B1/B2 pero no coincide con C1/C2, las rectas son paralelas.
 +*En otros casos las rectas se cortan en el punto cuyas coordenadas corresponden a la única solución que tiene el sistema que forman las ecuaciones de las rectas.
 +
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=2 ejercicios
 +|duracion=7´
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=SpWWLxLEB8k&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=23
 +|sinopsis=
 +En los dos problemas de este vídeo nos dan dos rectas y una de ellas tiene coeficientes "locos". Debemos determinar esos coeficientes locos para que las rectas tengan una posición relativa concreta.
 +
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio
 +|duracion=6´51"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Tjam2_mDar8&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=24
 +|sinopsis=Debemos demostrar que cuatro rectas dadas forman un paralelogramo (son paralelas dos a dos) y determinar su centro.
 +}}
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Punto de corte de dos rectas
 +|duracion=10'09"
 +|sinopsis=Cómo calcular el punto de corte entre dos rectas
 +|url1=https://youtu.be/FMeA7NRE2lE?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
 +}}
 +===Ejercicios propuestos===
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Posición relativa de dos rectas en el plano''
 +|cuerpo=
 +(Pág. 201)
 +
 +[[Imagen:red_star.png|12px]] 1
 +
 +}}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

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Tabla de contenidos

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Posición relativa de dos rectas en el plano

Dadas las ecuaciones de dos rectas del plano, éstas pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.

Veamos como se averigua dependiendo del tipo de ecuaciones que nos den.

Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas

ejercicio

Procedimiento


Dadas las rectas: r: \, \begin{cases} x=a+bt \\ y=c+dt \end{cases}     y     r': \, \begin{cases} x=a'+b's \\ y=c'+d's \end{cases}

para hallar su posición relativa igualaremos las incógnitas y resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, s\, y t\,:

\begin{cases} a+bt=a'+b's \\ c+dt=c'+d's \end{cases}
  • Si el sistema es compatible determinado (una solución: (t_0,s_0)\,), las dos rectas se cortan en un punto, que se obtiene sustituyendo los parámetros t_0\, y s_0\,, en las ecuaciones paramétricas.
  • Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas.
  • Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes.

ejercicio

Ejemplo: Posición relativa de dos rectas


Determina la posición relativa de las rectas: r: \, \begin{cases} x=5-t \\ y=3t \end{cases}     y     r': \, \begin{cases} x=-1+2t \\ y=6-3t \end{cases}

Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones implícitas

ejercicio

Procedimiento


Dadas las rectas: r: \, Ax+By+C=0     y     r': \, A'x+B'y+C'=0

para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, x\, e y\,:

\begin{cases} Ax+By+C=0 \\ A'x+B'y+C'=0 \end{cases}
  • Si el sistema es compatible determinado (una solución: (x_0,y_0)\,), las dos rectas se cortan en ese punto. (Esto ocurre cuando \cfrac{A}{A'} \ne \cfrac{B}{B'}).
  • Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas. (Esto ocurre cuando \cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} \ne \cfrac{C}{C'}).
  • Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes. (Esto ocurre cuando \cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} = \cfrac{C}{C'}).

ejercicio

Ejemplo: Posición relativa de dos rectas


Determina la posición relativa de las rectas: r: \, x-2y+4=0     y     r': \, -2x+4y+4=0

Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones explícitas

ejercicio

Procedimiento


Dadas las rectas: r: \, y=mx+n     y     r': \, y=m'x+n'

para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, x\, e y\,:

\begin{cases} y=mx+n \\ y=m'x+n' \end{cases}
  • Si el sistema es compatible determinado (una solución: (x_0,y_0)\,), las dos rectas se cortan en ese punto. (Esto ocurre cuando las pendientes son distintas: m \ne m').
  • Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas. (Esto ocurre cuando m=m' \, , n \ne n').
  • Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes. (Esto ocurre cuando m=m' \, , n = n').

Ejercicios

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Posición relativa de dos rectas en el plano


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