Posiciones relativas de dos rectas del plano (1ºBach)

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==Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas== ==Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas==
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*Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son '''coincidentes'''. (Esto ocurre cuando <math>m=m' \, , n = n'</math>). *Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son '''coincidentes'''. (Esto ocurre cuando <math>m=m' \, , n = n'</math>).
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 +En los dos problemas de este vídeo nos dan dos rectas y una de ellas tiene coeficientes "locos". Debemos determinar esos coeficientes locos para que las rectas tengan una posición relativa concreta.
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Tabla de contenidos

(Pág. 200)

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Posición relativa de dos rectas en el plano

Dadas las ecuaciones de dos rectas del plano, éstas pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.

Veamos como se averigua dependiendo del tipo de ecuaciones que nos den.

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Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas

ejercicio

Procedimiento

Dadas las rectas: r: \, \begin{cases} x=a+bt \\ y=c+dt \end{cases}     y     r': \, \begin{cases} x=a'+b's \\ y=c'+d's \end{cases}

para hallar su posición relativa igualaremos las incógnitas y resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, s\, y t\,:

\begin{cases} a+bt=a'+b's \\ c+dt=c'+d's \end{cases}
  • Si el sistema es compatible determinado (una solución: (t_0,s_0)\,), las dos rectas se cortan en un punto, que se obtiene sustituyendo los parámetros t_0\, y s_0\,, en las ecuaciones paramétricas.
  • Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas.
  • Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes.

ejercicio

Ejemplo: Posición relativa de dos rectas

Determina la posición relativa de las rectas: r: \, \begin{cases} x=5-t \\ y=3t \end{cases}     y     r': \, \begin{cases} x=-1+2t \\ y=6-3t \end{cases}

Solución:

Hay que cambiar el parámetro "t" en una de las dos ecuaciones (por ejemplo la segunda) por otro distinto "s".

r: \, \begin{cases} x=5-t \\ y=3t \end{cases}    ;     r': \, \begin{cases} x=-1+2s \\ y=6-3s \end{cases}

A continuación se resuelve el siguiente sistema:

\begin{cases} 5-t=-1+2s \\ 3t=6-3s \end{cases} \; \rightarrow \; \begin{cases} t+2s=6 \\ 3t+3s=6 \end{cases} \; \rightarrow \; \begin{cases} t+2s=6 \\ t+s=2 \end{cases} \; \rightarrow \; \begin{cases} s=4 \\ t=-2 \end{cases}

Luego las rectas son secantes, y su punto de corte lo obtenemos sustituyendo estas soluciones en cualquiera de las dos ecuaciones paramétricas, por ejemplo, en la primera:

r: \, \begin{cases} x=5-t \\ y=3t \end{cases} \; \rightarrow \; \begin{cases} x=5-(-2) \\ y=3 \cdot (-2) \end{cases} \; \rightarrow \; \begin{cases} x=7 \\ y=-6 \end{cases}
Solución: Las dos rectas se cortan en el punto (7,-6)\,.

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Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones implícitas

ejercicio

Procedimiento

Dadas las rectas: r: \, Ax+By+C=0     y     r': \, A'x+B'y+C'=0

para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, x\, e y\,:

\begin{cases} Ax+By+C=0 \\ A'x+B'y+C'=0 \end{cases}
  • Si el sistema es compatible determinado (una solución: (x_0,y_0)\,), las dos rectas se cortan en ese punto. (Esto ocurre cuando \cfrac{A}{A'} \ne \cfrac{B}{B'}).
  • Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas. (Esto ocurre cuando \cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} \ne \cfrac{C}{C'}).
  • Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes. (Esto ocurre cuando \cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} = \cfrac{C}{C'}).

ejercicio

Ejemplo: Posición relativa de dos rectas

Determina la posición relativa de las rectas: r: \, x-2y+4=0     y     r': \, -2x+4y+4=0

Solución:

Hay que resolver el siguiente sistema.

\begin{cases} \quad \; x-2y+4=0 \\ -2x+4y+4=0 \end{cases} \, \rightarrow_{ \; 2 \cdot (I) + (II)} \; \rightarrow \; 0x+0y+12=0 \rightarrow 12=0 \rightarrow No tiene solución.
Solución: Las dos rectas son paralelas.

Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones implícitas (7'55")     Sinopsis:

Posición relativa de dos rectas: secantes, paralelas o coincidentes

Posición relativa de dos rectas en el plano     Descripción:

En esta escena podrás ver las distintas posiciones relativas de dos rectas en el plano.

wolfram
Posición relativa de rectas en ecuaciones generales
wolfram

Actividad: Posición relativa de rectas en ecuaciones generales

a) Estudia la posición relativa de las dos rectas siguientes:

\begin{cases} 2x+5y-3=0 \\ 3x-5y-8=0 \end{cases}

b) Estudia la posición relativa de las tres rectas siguientes:

\begin{cases} 2x+5y-3=0 \\ 3x-5y-8=0 \\ 5x+4y-1=0 \end{cases}


Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) 2x+5y-3=0, 3x-5y-8=0
b) 2x+5y-3=0, 3x-5y-8=0 , 5x+4y-1=0
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Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones explícitas

ejercicio

Procedimiento

Dadas las rectas: r: \, y=mx+n     y     r': \, y=m'x+n'

para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, x\, e y\,:

\begin{cases} y=mx+n \\ y=m'x+n' \end{cases}
  • Si el sistema es compatible determinado (una solución: (x_0,y_0)\,), las dos rectas se cortan en ese punto. (Esto ocurre cuando las pendientes son distintas: m \ne m').
  • Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas. (Esto ocurre cuando m=m' \, , n \ne n').
  • Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes. (Esto ocurre cuando m=m' \, , n = n').

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Ejercicios

video
Posición relativa de dos rectas del plano
Posición relativa de dos rectas (13´08")     Sinopsis:

Sean las rectas A1.x + B1.y + C1 = 0 y A2.x + B2.y + C2 = 0.

  • Si A1/A2 = B1/B2 = C1/C2, las rectas son la misma.
  • Si A1/A2 = B1/B2 pero no coincide con C1/C2, las rectas son paralelas.
  • En otros casos las rectas se cortan en el punto cuyas coordenadas corresponden a la única solución que tiene el sistema que forman las ecuaciones de las rectas.

2 ejercicios (7´)     Sinopsis:

En los dos problemas de este vídeo nos dan dos rectas y una de ellas tiene coeficientes "locos". Debemos determinar esos coeficientes locos para que las rectas tengan una posición relativa concreta.

Ejercicio (6´51")     Sinopsis:

Debemos demostrar que cuatro rectas dadas forman un paralelogramo (son paralelas dos a dos) y determinar su centro.

Punto de corte de dos rectas (10'09")     Sinopsis:

Cómo calcular el punto de corte entre dos rectas

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Posición relativa de dos rectas en el plano

(Pág. 201)

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