Posiciones relativas de dos rectas del plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Posición relativa de dos rectas en el plano
2 Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas
3 Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones implícitas
4 Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones explícitas
5 Ejercicios
- 5.1 Ejercicios propuestos

(Pág. 200)

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Posición relativa de dos rectas en el plano

Dadas las ecuaciones de dos rectas del plano, éstas pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.

Veamos como se averigua dependiendo del tipo de ecuaciones que nos den.

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Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas

Procedimiento

Dadas las rectas: $r: \, \begin{cases} x=a+bt \\ y=c+dt \end{cases}$ y $r': \, \begin{cases} x=a'+b's \\ y=c'+d's \end{cases}$

para hallar su posición relativa igualaremos las incógnitas y resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, $s\,$ y $t\,$ :

$\begin{cases} a+bt=a'+b's \\ c+dt=c'+d's \end{cases}$

Si el sistema es compatible determinado (una solución: $(t_0,s_0)\,$ ), las dos rectas se cortan en un punto, que se obtiene sustituyendo los parámetros $t_0\,$ y $s_0\,$ , en las ecuaciones paramétricas.
Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas.
Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes.

Ejemplo: Posición relativa de dos rectas

Determina la posición relativa de las rectas: $r: \, \begin{cases} x=5-t \\ y=3t \end{cases}$ y $r': \, \begin{cases} x=-1+2t \\ y=6-3t \end{cases}$

Solución:

Hay que cambiar el parámetro "t" en una de las dos ecuaciones (por ejemplo la segunda) por otro distinto "s".

$r: \, \begin{cases} x=5-t \\ y=3t \end{cases}$ ; $r': \, \begin{cases} x=-1+2s \\ y=6-3s \end{cases}$

A continuación se resuelve el siguiente sistema:

$\begin{cases} 5-t=-1+2s \\ 3t=6-3s \end{cases} \; \rightarrow \; \begin{cases} t+2s=6 \\ 3t+3s=6 \end{cases} \; \rightarrow \; \begin{cases} t+2s=6 \\ t+s=2 \end{cases} \; \rightarrow \; \begin{cases} s=4 \\ t=-2 \end{cases}$

Luego las rectas son secantes, y su punto de corte lo obtenemos sustituyendo estas soluciones en cualquiera de las dos ecuaciones paramétricas, por ejemplo, en la primera:

$r: \, \begin{cases} x=5-t \\ y=3t \end{cases} \; \rightarrow \; \begin{cases} x=5-(-2) \\ y=3 \cdot (-2) \end{cases} \; \rightarrow \; \begin{cases} x=7 \\ y=-6 \end{cases}$

Solución: Las dos rectas se cortan en el punto $(7,-6)\,$ .

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Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones implícitas

Procedimiento

Dadas las rectas: $r: \, Ax+By+C=0$ y $r': \, A'x+B'y+C'=0$

para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, $x\,$ e $y\,$ :

$\begin{cases} Ax+By+C=0 \\ A'x+B'y+C'=0 \end{cases}$

Si el sistema es compatible determinado (una solución: $(x_0,y_0)\,$ ), las dos rectas se cortan en ese punto. (Esto ocurre cuando $\cfrac{A}{A'} \ne \cfrac{B}{B'}$ ).
Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas. (Esto ocurre cuando $\cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} \ne \cfrac{C}{C'}$ ).
Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes. (Esto ocurre cuando $\cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} = \cfrac{C}{C'}$ ).

Ejemplo: Posición relativa de dos rectas

Determina la posición relativa de las rectas: $r: \, x-2y+4=0$ y $r': \, -2x+4y+4=0$

Solución:

Hay que resolver el siguiente sistema.

$\begin{cases} \quad \; x-2y+4=0 \\ -2x+4y+4=0 \end{cases} \, \rightarrow_{ \; 2 \cdot (I) + (II)} \; \rightarrow \; 0x+0y+12=0 \rightarrow 12=0 \rightarrow$ No tiene solución.

Solución: Las dos rectas son paralelas.

Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones implícitas (7'55") Sinopsis:

Posición relativa de dos rectas: secantes, paralelas o coincidentes

Posición relativa de dos rectas en el plano Descripción:

En esta escena podrás ver las distintas posiciones relativas de dos rectas en el plano.

Posición relativa de rectas en ecuaciones generales

Actividad: Posición relativa de rectas en ecuaciones generales

a) Estudia la posición relativa de las dos rectas siguientes:

$\begin{cases} 2x+5y-3=0 \\ 3x-5y-8=0 \end{cases}$

b) Estudia la posición relativa de las tres rectas siguientes:

$\begin{cases} 2x+5y-3=0 \\ 3x-5y-8=0 \\ 5x+4y-1=0 \end{cases}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 2x+5y-3=0, 3x-5y-8=0

b) 2x+5y-3=0, 3x-5y-8=0 , 5x+4y-1=0

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Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones explícitas

Procedimiento

Dadas las rectas: $r: \, y=mx+n$ y $r': \, y=m'x+n'$

para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, $x\,$ e $y\,$ :

$\begin{cases} y=mx+n \\ y=m'x+n' \end{cases}$

Si el sistema es compatible determinado (una solución: $(x_0,y_0)\,$ ), las dos rectas se cortan en ese punto. (Esto ocurre cuando las pendientes son distintas: $m \ne m'$ ).
Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas. (Esto ocurre cuando $m=m' \, , n \ne n'$ ).
Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes. (Esto ocurre cuando $m=m' \, , n = n'$ ).

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Ejercicios

Posición relativa de dos rectas del plano

Posición relativa de dos rectas (13´08") Sinopsis:

Sean las rectas A1.x + B1.y + C1 = 0 y A2.x + B2.y + C2 = 0.

Si A1/A2 = B1/B2 = C1/C2, las rectas son la misma.
Si A1/A2 = B1/B2 pero no coincide con C1/C2, las rectas son paralelas.
En otros casos las rectas se cortan en el punto cuyas coordenadas corresponden a la única solución que tiene el sistema que forman las ecuaciones de las rectas.

2 ejercicios (7´) Sinopsis:

En los dos problemas de este vídeo nos dan dos rectas y una de ellas tiene coeficientes "locos". Debemos determinar esos coeficientes locos para que las rectas tengan una posición relativa concreta.

Ejercicio (6´51") Sinopsis:

Debemos demostrar que cuatro rectas dadas forman un paralelogramo (son paralelas dos a dos) y determinar su centro.

Punto de corte de dos rectas (10'09") Sinopsis:

Cómo calcular el punto de corte entre dos rectas

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Posición relativa de dos rectas en el plano

(Pág. 201)

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Categorías: Matemáticas | Geometría

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Posiciones relativas de dos rectas del plano (1ºBach)

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Posición relativa de dos rectas en el plano

Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas

Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones implícitas

Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones explícitas

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