Posiciones relativas de dos rectas del plano (1ºBach)

De Wikipedia

Dadas las ecuaciones de dos rectas del plano, éstas pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.

Veamos como se averigua dependiendo del tipo de ecuaciones que nos den.

Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas

Dadas las rectas: r: \, \begin{cases} x=a+bt \\ y=c+dt \end{cases}     y     r': \, \begin{cases} x=a'+b's \\ y=c'+d's \end{cases}

para hallar su posición relativa igualaremos las incógnitas y resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, s\, y t\,:

\begin{cases} a+bt=a'+b's \\ c+dt=c'+d's \end{cases}
  • Si el sistema es compatible determinado (una solución) (t_0,s_0)\,, las dos rectas se cortan en un punto, que se obtiene sustituyendo los parámetros t_0\, y s_0\,, en las ecuaciones paramétricas.
  • Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas.
  • Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes.

ejercicio

Ejemplo: Posición relativa de dos rectas


Determina la posición relativa de las rectas: r: \, \begin{cases} x=5-t \\ y=3t \end{cases}     y     r': \, \begin{cases} x=-1+2t \\ y=6-3t \end{cases}

Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones implícitas

Dadas las rectas: r: \, Ax+By+C=0     y     r': \, A'x+B'y+C'=0

para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, x\, e y\,:

\begin{cases} Ax+By+C=0 \\ A'x+B'y+C'=0 \end{cases}
  • Si el sistema es compatible determinado (una solución) (x_0,y_0)\,, las dos rectas se cortan en ese punto. (Ésto ocurre cuando \cfrac{A}{A'} \ne \cfrac{B}{B'}).
  • Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas. (Ésto ocurre cuando \cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} \ne \cfrac{C}{C'}).
  • Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes. (Ésto ocurre cuando \cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} = \cfrac{C}{C'}).

ejercicio

Ejemplo: Posición relativa de dos rectas


Determina la posición relativa de las rectas: r: \, x-2y+4=0     y     r': \, -2x+4y+4=0

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