Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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Revisión de 19:32 16 mar 2009

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Tabla de contenidos

1 Sistema de referencia en el plano
2 Vector de posición de un punto
3 Vector de dirección de una recta
4 Coordenadas del vector que une dos puntos
5 Condición para que tres puntos estén alineados
6 Punto medio de un segmento
7 Simétrico de un punto respecto de otro

Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ , donde $O\,$ es un punto fijo, llamado origen, y $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ una base de vectores del plano.

Vector de posición de un punto

En un sistema de referencia $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ , cada punto $P\,$ del plano tiene asociado un vector fijo $\overrightarrow{OP}$ , llamado vector de posición del punto $P\,$ .
Si el vector $\overrightarrow{OP}$ tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto de la base $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ , el punto $P\,$ tendrá coordenadas $(a,b)\,$ respecto del sistema de referencia $\mathfrak{R}$ .

Vector de dirección de una recta

Una recta queda determinada por un punto y un vector que fije su dirección, a dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
Dos puntos $A\,$ y $B\,$ de una recta determinan un vector de dirección de la misma, $\overrightarrow{AB}$ .

Coordenadas del vector que une dos puntos

Coordenadas del vector que une dos puntos

Dados dos puntos del plano de coordenadas $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ , respecto de un sistema de referencia $\mathfrak{R}$ , entonces $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ .

Demostración:

Como $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB} \quad \rightarrow \quad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$

Por tanto, $\overrightarrow{AB}=(x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-y_2,x_1-y_1)$

Condición para que tres puntos estén alineados

Condición para que tres puntos estén alineados

Los puntos del plano $A(x_1,y_1)\,$ , $B(x_2,y_2)\,$ y $C(x_3,y_3)\,$ , están alineados si se cumple:

$\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$

Demostración:

Los puntos del plano $A(x_1,y_1)\,$ , $B(x_2,y_2)\,$ y $C(x_3,y_3)\,$ , están alineados si los vectores $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ y $\overrightarrow{BC}=(x_3-x_2,y_3-y_2)$ tienen la misma dirección.

Ahora, esto ocurre si los vectores son proporcionales: $\overrightarrow{AB}=\lambda \, \overrightarrow{BC}$

$(x_2-x_1,y_2-y_1)=\lambda \, (x_3-x_2,y_3-y_2) \rightarrow \begin{cases} x_2-x_1=\lambda \, (x_3-x_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2} \\ y_2-y_1=\lambda \, (y_3-y_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2} \end{cases}$

Igualando ambas expresiones del $\lambda \,$ , se obtiene lo que buscamos.

Punto medio de un segmento

Simétrico de un punto respecto de otro

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Puntos_y_vectores_el_plano_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

 ==Coordenadas del vector que une dos puntos==
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-:Dados dos puntos del plano  de coordenadas <math>A(x_1,y_1)\,</math> y <math>B(x_2,y_2)\,</math>, respecto de un sistema de referencia {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\mathfrak{R}</math>}}, entonces {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)</math>}}.
+:Dados dos puntos del plano de coordenadas <math>A(x_1,y_1)\,</math> y <math>B(x_2,y_2)\,</math>, respecto de un sistema de referencia {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\mathfrak{R}</math>}}, entonces {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)</math>}}.
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 ==Condición para que tres puntos estén alineados==
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+Ahora, esto ocurre si los vectores son proporcionales: {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}=\lambda \, \overrightarrow{BC}</math>}}
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+Igualando ambas expresiones del <math>\lambda \,</math>, se obtiene lo que buscamos.
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 ==Punto medio de un segmento==
 ==Simétrico de un punto respecto de otro==

Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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Sistema de referencia en el plano

Vector de posición de un punto

Vector de dirección de una recta

Coordenadas del vector que une dos puntos

Condición para que tres puntos estén alineados

Punto medio de un segmento

Simétrico de un punto respecto de otro

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