Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Condición para que tres puntos estén alineados''|cuerpo= {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Condición para que tres puntos estén alineados''|cuerpo=
{{ai_cuerpo {{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1:''' Comprobación de que tres puntos del plano están alineados en un sistema de referencia ortonormal .+|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena comprobarás si tres los puntos, <math>A(-7,-2)\,</math>, <math>B(-1,0)\,</math> y <math>C(11,4)\,</math>, están alineados.
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|actividad= |actividad=
-En esta escena puedes mover los puntos B y C, para comprobar que las coordenadas de los vectores AB y BC son proporcionales, ya que los puntos A, B y C están alineados. +Vamos a comprobar que las coordenadas de los vectores {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}=(x_3-x_2,y_3-y_2)</math>}} y {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{BC}=(x_3-x_2,y_3-y_2)</math>}} son proporcionales, y que por tanto, los tres puntos están alineados.
-Anota en tu cuaderno las coordenadas de A, B y C, la de los vectores AB y BC y la proporción entre las x y las y en el inicio de la escena. + 
 +<center><math>\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2} \quad \rightarrow \quad \cfrac{-1-(-7)}{11-(-1)}=\cfrac{0-(-2)}{4-0} \quad \rightarrow \quad \cfrac{6}{12}=\cfrac{2}{4}</math></center>
 + 
 +En efecto, están alineados.
 + 
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'''Ejercicio:''' '''Ejercicio:'''
-#Calcula las coordenadas de {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{BC}</math>}} si C=(5,2) y A y B no cambian. +Realiza los cálculos necesarios para comprobar que los puntos, <math>A(-7,-2)\,</math>, <math>B(-1,0)\,</math> y <math>C(5,2)\,</math>, están alineados. Comprueba tus resultados en la escena moviendo el punto <math>C\,</math>.
-#Calcula ahora la razón entre la '''x''' de AB y la '''x''' de {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{BC}</math>}}.+
-#Calcula también la razón entre la '''y''' de AB y la '''y''' de {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{BC}</math>}}. Te tiene que dar lo mismo que la razón entre las '''x'''. +
-#Comprueba tus resultados en la escena moviendo el punto C al (5,2).+
}} }}
{{ai_cuerpo {{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 2:''' Averigua las coordenadas de un punto para que esté alineado con otros dos.+|enunciado='''Actividad 2:''' En esta escena tenemos tres puntos <math>P(1,4)\,</math>, <math>Q(5,-2)\,</math> y <math>R(m,n)\,</math>. Vamos a variar '''m''' y '''n''', para conseguir que los tres puntos estén alineados.
{{p}} {{p}}
|actividad= |actividad=
-En esta escena tenemos tres puntos P(1,4), Q(5,-2) y R(m,n) 
-Moviendo adecuadamente el punto R, o cambiando los valores de '''m''' y/o '''n''', puedes conseguir que los puntos P, Q y R estén en la misma recta azul, o sea, ALINEADOS. 
-#Mueve el punto R para que sea '''m=6''', y esté alineado con P y Q. Anota en tu cuaderno el valor de '''n''' obtenido. +Moviendo adecuadamente el punto <math>R\,</math>, o cambiando los valores de '''m''' y/o '''n''', puedes conseguir que los tres puntos estén en la misma recta azul, o sea, alineados.
-#Copia en tu cuaderno estos cálculos. Son los necesarios para hallar el valor de '''n''' observado en el apartado anterior: + 
 +#Mueve el punto <math>R\,</math>, para que sea '''m=6''', y esté alineado con <math>P\,</math> y <math>Q\,</math>. Anota en tu cuaderno el valor de '''n''' obtenido.
 +#Los siguientes cálculos nos permiten hallar el valor de '''n''' que hemos observado en el apartado anterior:
<center><math>\overrightarrow{PQ}=(5-1,-2-4)=(4,-6); \quad \overrightarrow{QR}=(6-5,n+2)=(1,n+2) </math></center> <center><math>\overrightarrow{PQ}=(5-1,-2-4)=(4,-6); \quad \overrightarrow{QR}=(6-5,n+2)=(1,n+2) </math></center>
 +{{p}}
 +<center><math>\cfrac{4}{1}=\cfrac{-6}{n+2} \quad \rightarrow \quad n+2= -\cfrac{6}{4} \quad \rightarrow \quad n= -3.5</math></center>
-<center><math>\cfrac{4}{1}=\cfrac{-6}{n+2} \rightarrow n+2= -\cfrac{6}{4} \rightarrow n= -3.5</math></center> 
<center><iframe> <center><iframe>
Línea 154: Línea 156:
'''Ejercicio:''' '''Ejercicio:'''
-#Ahora mueve el punto R para que sea '''n=6''', y esté alineado con P y Q. Anota en tu cuaderno el valor de '''m''' obtenido. +1. Ahora mueve el punto <math>R\,</math> para que sea '''n=6''', y esté alineado con <math>P\,</math> y <math>Q\,</math>. Anota en tu cuaderno el valor de '''m''' obtenido.
-#Escribe en tu cuaderno los cálculos necesarios para obtener el valor de '''m''' que has observado en el apartado anterior. + 
-#Mueve en la escena el punto R en un lugar cualquiera que haga que P, Q y R estén alineados, y después de anotar las coordenadas de R observadas, comprueba con cálculos, que las coordenadas de los vectores {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{PQ}</math>}} y {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{QR}</math>}} son proporcionales.+Escribe en tu cuaderno los cálculos necesarios para obtener el valor de '''m''' que has observado en el apartado anterior.
 + 
 +'''2.''' Mueve en la escena el punto R en un lugar cualquiera que haga que P, Q y R estén alineados, y después de anotar las coordenadas de R observadas, comprueba con cálculos, que las coordenadas de los vectores {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{PQ}</math>}} y {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{QR}</math>}} son proporcionales.
}} }}

Revisión de 17:34 17 mar 2009

Tabla de contenidos

Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna \mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}, donde O\, es un punto fijo, llamado origen, y B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto P\, del plano tiene asociado un vector fijo \overrightarrow{OP}, llamado vector de posición del punto P\,.

Si el vector \overrightarrow{OP} tiene coordenadas (a,b)\, respecto de la base B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}), el punto P\, diremos que tiene coordenadas (a,b)\, respecto del sistema de referencia \mathfrak{R}.

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia en el que la base es ortonormal.

ejercicio

Actividad interactiva: Sistema de referencia en el plano


Actividad 1: En la siguiente escena tenemos un punto P\, y su vector de posición \overrightarrow{OP} de coordenadas (4,3)\, respecto de una base ortonormal B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}).

Coordenadas del vector que une dos puntos

ejercicio

Coordenadas del vector que une dos puntos


Dados dos puntos del plano de coordenadas A(x_1,y_1)\, y B(x_2,y_2)\,, respecto de un sistema de referencia \mathfrak{R}, entonces:
\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)

ejercicio

Actividad interactiva: Coordenadas del vector que une dos puntos


Actividad 1: En la siguiente escena tenemos dos puntos A(4,8)\, y B(7,2)\, que dan lugar al vector \overrightarrow{AB}.

Condición para que tres puntos estén alineados

ejercicio

Condición para que tres puntos estén alineados


Los puntos del plano A(x_1,y_1)\,, B(x_2,y_2)\, y C(x_3,y_3)\,, están alineados si se cumple:
\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}

ejercicio

Actividad interactiva: Condición para que tres puntos estén alineados


Actividad 1: En la siguiente escena comprobarás si tres los puntos, A(-7,-2)\,, B(-1,0)\, y C(11,4)\,, están alineados.

Actividad 2: En esta escena tenemos tres puntos P(1,4)\,, Q(5,-2)\, y R(m,n)\,. Vamos a variar m y n, para conseguir que los tres puntos estén alineados.

Punto medio de un segmento

ejercicio

Punto medio de un segmento


Las coordenadas del punto medio, M\,, de un segmento de extremos A(x_1,y_1)\, y B(x_2,y_2)\, son:


M=\Big( \cfrac{x_1+x_2}{2}, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)

Simétrico de un punto respecto de otro

ejercicio

Simétrico de un punto respecto de otro


El punto simétrico de A(x,y)\, respecto del punto P(a,b)\, es:


A'=(2a-x,2b-y)\,.

ejercicio

Actividad interactiva: Punto medio y punto simétrico


  • Cálculo del punto medio de un segmento del plano.
  • Cálculo del punto simétrico de un punto dado respecto de otro.

Herramientas personales
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