Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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|sinopsis=Siendo <math>P = (x_0,y_0)</math> y <math>Q = (x_1,y_1)</math> puntos del plano, en este vídeo definimos el concepto de "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q). Visualizamos dicho vector fijo mediante una "flecha" que tiene origen en "P" y extremo en "Q". El vector fijo asociado al par (Q,P) se dice "opuesto" del asociado al par (P,Q). |sinopsis=Siendo <math>P = (x_0,y_0)</math> y <math>Q = (x_1,y_1)</math> puntos del plano, en este vídeo definimos el concepto de "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q). Visualizamos dicho vector fijo mediante una "flecha" que tiene origen en "P" y extremo en "Q". El vector fijo asociado al par (Q,P) se dice "opuesto" del asociado al par (P,Q).
-En términos matemáticos, el vector fijo asociado al par ordenado (P,Q) queda identificado mediante el par ordenado de números reales <math>(x_1 - x_0 ; y_1 - y_0)</math>, que se obtiene al restar las coordenadas del punto "P" a las coordenadas del punto "Q". De dicho par <math>(x_1 - x_0 ; y_1 - y_0)</math> se dice que son las coordenadas del vector fijo. +En términos matemáticos, el vector fijo asociado al par ordenado (P,Q) queda identificado mediante el par ordenado de números reales <math>(x_1 - x_0 ; y_1 - y_0)</math>, que se obtiene al restar las coordenadas del punto "P" a las coordenadas del punto "Q". De dicho par <math>(x_1 - x_0 , y_1 - y_0)</math> se dice que son las coordenadas del vector fijo.
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-|sinopsis=Estudio del signo de las coordenadas de un vector según la posición del origen y el extremo del vector +|sinopsis=Estudio del signo de las coordenadas de un vector <math>\vec{AB}</math> según la posición del origen A y el extremo B del vector.
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Tabla de contenidos

Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna \mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}, donde O\, es un punto fijo, llamado origen, y B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto P\, del plano tiene asociado un vector fijo \overrightarrow{OP}, llamado vector de posición del punto P\,.

Si el vector \overrightarrow{OP} tiene coordenadas (a,b)\, respecto de la base B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}), el punto P\, diremos que tiene coordenadas (a,b)\, respecto del sistema de referencia \mathfrak{R}.

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia ortonormal, que es aquel en el que la base es ortonormal.


Sistema de referencia ortonormal

Coordenadas del vector que une dos puntos

ejercicio

Coordenadas del vector que une dos puntos


Dados dos puntos del plano de coordenadas A(x_1,y_1)\, y B(x_2,y_2)\,, respecto de un sistema de referencia \mathfrak{R}, entonces:
\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)

Vectores equipolentes

ejercicio

Proposición


Dos vectores son equipolentes si y sólo si tienen las mismas coordenadas.

ejercicio

Ejercicios: Vectores equipolentes


Condición para que tres puntos estén alineados

ejercicio

Condición para que tres puntos estén alineados


Los puntos del plano A(x_1,y_1)\,, B(x_2,y_2)\, y C(x_3,y_3)\,, están alineados si se cumple:
\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}

ejercicio

Actividad interactiva: Condición para que tres puntos estén alineados


Actividad 1: En la siguiente escena comprobarás si tres los puntos, A(-7,-2)\,, B(-1,0)\, y C(11,4)\,, están alineados.

Actividad 2: En esta escena tenemos tres puntos P(1,4)\,, Q(5,-2)\, y R(m,n)\,. Vamos a variar m\, y n\,, para conseguir que los tres puntos estén alineados.

Punto medio de un segmento

ejercicio

Punto medio de un segmento


Las coordenadas del punto medio, M\,, de un segmento de extremos A(x_1,y_1)\, y B(x_2,y_2)\, son:


M=\Big( \cfrac{x_1+x_2}{2}, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)

ejercicio

Ejercicio: Trisección de un segmento


ejercicio

Actividad interactiva: Punto medio de un segmento


Actividad 1: En la siguiente escena calcularemos el punto medio de un segmento de extremos A(2,4)\, y B(7,2)\,.

Simétrico de un punto respecto de otro

ejercicio

Simétrico de un punto respecto de otro


El punto simétrico de A(x,y)\, respecto del punto P(a,b)\, es:


A'=(2a-x,2b-y)\,.

ejercicio

Actividad interactiva: Simétrico de un punto respecto de otro


Actividad 1: En la siguiente escena queremos calcular el punto B(x,y)\, , simétrico de A(2,4)\, respecto del punto M(4.5,3)\,.

Traslaciones y homotecias

ejercicio

Ejercicios: Traslaciones


Operaciones con vectores

ejercicio

Ejercicios: Producto de un escalar por un vector


ejercicio

Ejercicios: Producto escalar de vectores


Herramientas personales
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