Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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*Vectores colineales *Vectores colineales
*Condición para que tres puntos estén alineados *Condición para que tres puntos estén alineados
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-{{p}} 
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Condición para que tres puntos estén alineados''|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena comprobarás si tres los puntos, <math>A(-7,-2)\,</math>, <math>B(-1,0)\,</math> y <math>C(11,4)\,</math>, están alineados. 
-{{p}} 
-|actividad= 
-Vamos a comprobar que las coordenadas de los vectores {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}=(x_3-x_2,y_3-y_2)</math>}} y {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{BC}=(x_3-x_2,y_3-y_2)</math>}} son proporcionales, y que por tanto, los tres puntos están alineados. 
- 
-<center><math>\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2} \quad \rightarrow \quad \cfrac{-1-(-7)}{11-(-1)}=\cfrac{0-(-2)}{4-0} \quad \rightarrow \quad \cfrac{6}{12}=\cfrac{2}{4}</math></center> 
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-En efecto, están alineados. 
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-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_1_3.html 
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-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_1_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
- 
-'''Ejercicio:''' 
- 
-Realiza los cálculos necesarios para comprobar que los puntos, <math>A(-7,-2)\,</math>, <math>B(-1,0)\,</math> y <math>C(5,2)\,</math>, están alineados. Comprueba tus resultados en la escena moviendo el punto <math>C\,</math>. 
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-}} 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 2:''' En esta escena tenemos tres puntos <math>P(1,4)\,</math>, <math>Q(5,-2)\,</math> y <math>R(m,n)\,</math>. Vamos a variar <math>m\,</math> y <math>n\,</math>, para conseguir que los tres puntos estén alineados. 
-{{p}} 
-|actividad= 
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-Moviendo adecuadamente el punto <math>R\,</math>, o cambiando los valores de <math>m\,</math> y <math>n\,</math>, puedes conseguir que los tres puntos estén en la misma recta azul, o sea, alineados. 
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-#Mueve el punto <math>R\,</math>, para que sea <math>m=6\,</math>, y esté alineado con <math>P\,</math> y <math>Q\,</math>. Anota en tu cuaderno el valor de <math>n\,</math> obtenido.  
-#Los siguientes cálculos nos permiten hallar el valor de <math>n\,</math> que hemos observado en el apartado anterior:  
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-<center><math>\overrightarrow{PQ}=(5-1,-2-4)=(4,-6); \quad \overrightarrow{QR}=(6-5,n+2)=(1,n+2) </math></center> 
-{{p}} 
-<center><math>\cfrac{4}{1}=\cfrac{-6}{n+2} \quad \rightarrow \quad n+2= -\cfrac{6}{4} \quad \rightarrow \quad n= -3.5</math></center> 
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-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_1_4.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
- 
-'''Ejercicio:''' 
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-1. Ahora mueve el punto <math>R\,</math> para que sea <math>n=6\,</math>, y esté alineado con <math>P\,</math> y <math>Q\,</math>. Anota en tu cuaderno el valor de <math>m\,</math> obtenido.  
- 
-Escribe en tu cuaderno los cálculos necesarios para obtener el valor de <math>m\,</math> que has observado en el apartado anterior.  
- 
-'''2.''' Mueve en la escena el punto <math>R\,</math> en un lugar cualquiera que haga que los tres puntos estén alineados, y después de anotar las coordenadas de <math>R\,</math> observadas, comprueba con cálculos, que las coordenadas de los vectores {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{PQ}</math>}} y {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{QR}</math>}} son proporcionales. 
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}} }}
{{p}} {{p}}

Revisión de 13:24 10 oct 2016

Tabla de contenidos

Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna \mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}, donde O\, es un punto fijo, llamado origen, y B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto P\, del plano tiene asociado un vector fijo \overrightarrow{OP}, llamado vector de posición del punto P\,.

Si el vector \overrightarrow{OP} tiene coordenadas (a,b)\, respecto de la base B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}), el punto P\, diremos que tiene coordenadas (a,b)\, respecto del sistema de referencia \mathfrak{R}.

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia ortonormal, que es aquel en el que la base es ortonormal.


Sistema de referencia ortonormal

Coordenadas del vector que une dos puntos

ejercicio

Coordenadas del vector que une dos puntos


Dados dos puntos del plano de coordenadas A(x_1,y_1)\, y B(x_2,y_2)\,, respecto de un sistema de referencia \mathfrak{R}, entonces:
\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)

Vectores equipolentes

ejercicio

Proposición


Dos vectores son equipolentes si y sólo si tienen las mismas coordenadas.

Condición para que tres puntos estén alineados

ejercicio

Condición para que tres puntos estén alineados


Los puntos del plano A(x_1,y_1)\,, B(x_2,y_2)\, y C(x_3,y_3)\,, están alineados si se cumple:
\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}

Punto medio de un segmento

ejercicio

Punto medio de un segmento


Las coordenadas del punto medio, M\,, de un segmento de extremos A(x_1,y_1)\, y B(x_2,y_2)\, son:


M=\Big( \cfrac{x_1+x_2}{2}, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)

ejercicio

Actividad interactiva: Punto medio de un segmento


Actividad 1: En la siguiente escena calcularemos el punto medio de un segmento de extremos A(2,4)\, y B(7,2)\,.

Simétrico de un punto respecto de otro

ejercicio

Simétrico de un punto respecto de otro


El punto simétrico de A(x,y)\, respecto del punto P(a,b)\, es:


A'=(2a-x,2b-y)\,.

ejercicio

Actividad interactiva: Simétrico de un punto respecto de otro


Actividad 1: En la siguiente escena queremos calcular el punto B(x,y)\, , simétrico de A(2,4)\, respecto del punto M(4.5,3)\,.

Traslaciones y homotecias

ejercicio

Ejercicios: Traslaciones


Operaciones con vectores

ejercicio

Ejercicios: Producto de un escalar por un vector


ejercicio

Ejercicios: Producto escalar de vectores


Herramientas personales
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