Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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(Simétrico de un punto respecto de otro)
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|enlaces= |enlaces=
}} }}
 +__TOC__
{{p}} {{p}}
 +(Pág. 188)
==Sistema de referencia en el plano== ==Sistema de referencia en el plano==
-{{Caja_Amarilla|texto=Un '''sistema de referencia''' del plano consiste en una terna {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}</math>}}, donde {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>O\,</math>}} es un punto fijo, llamado '''origen''', y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})</math>}} una base de vectores del plano.+{{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:sistemaref.jpg|200px]]<br> Sistema de referencia ortonormal</center>
 +|celda1={{Caja_Amarilla|texto=
 +Un '''sistema de referencia''' del plano consiste en una terna {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\mathfrak{R}=\big\{O,B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}</math>}}, donde {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>O\,</math>}} es un punto fijo, llamado '''origen''', y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})</math>}} una base de vectores del plano.
 + 
 +En este sistema de referencia, cada punto <math>P\,</math> del plano tiene asociado un vector fijo {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{OP}</math>}}, llamado '''vector de posición''' del punto <math>P\,</math>.
 + 
 +Si el vector {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{OP}</math>}} tiene coordenadas <math>(a,b)\,</math> respecto de la base {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})</math>}}, el punto <math>P\,</math> diremos que tiene coordenadas <math>(a,b)\,</math> respecto del sistema de referencia {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\mathfrak{R}</math>}}.
 + 
 +Normalmente trabajaremos con un '''sistema de referencia ortonormal''', que es aquel en el que la base es [[Vectores: Coordenadas (1ºBach)|ortonormal]].
 +}}
}} }}
{{p}} {{p}}
-==Vector de posición de un punto==+{{Geogebra_enlace
-{{Caja_Amarilla|texto=*En un sistema de referencia {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}</math>}}, cada punto <math>P\,</math> del plano tiene asociado un vector fijo {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{OP}</math>}}, llamado '''vector de posición''' del punto <math>P\,</math>.+|descripcion=En esta escena podrás ver como se obtienen las coordenadas de un punto respecto de un sistema de referencia del plano a partir de su vector de posición.
-*Si el vector {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{OP}</math>}} tiene coordenadas <math>(a,b)\,</math> respecto de la base {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})</math>}}, el punto <math>P\,</math> tendrá coordenadas <math>(a,b)\,</math> respecto del sistema de referencia {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\mathfrak{R}</math>}}.+|enlace=[http://ggbm.at/TWjAJah2 Vector de posición y coordenadas de un punto del plano]
}} }}
{{p}} {{p}}
-==Vector de dirección de una recta==+ 
-{{Caja_Amarilla|texto=+==Coordenadas del vector que une dos puntos==
-*Una recta queda determinada por un punto y un vector que fije su dirección, a dicho vector lo llamaremos '''vector de dirección''' de la recta.+{{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:vectorab.png|200px]]</center>
-*Dos puntos {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>A\,</math>}} y {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>B\,</math>}} de una recta determinan un vector de dirección de la misma, {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}</math>}}.+|celda1=
 +{{Teorema|titulo=Coordenadas del vector que une dos puntos|enunciado=
 +Dados dos puntos del plano de coordenadas <math>A(x_1,y_1)\,</math> y <math>B(x_2,y_2)\,</math>, respecto de un sistema de referencia {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\mathfrak{R}</math>}}, entonces:
 +<center><math>\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)</math></center>
 +|demo=
 +Partimos de que
 + 
 +:{{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB} \quad \rightarrow \quad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}</math>}}
 + 
 +Por tanto,
 + 
 +:{{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}=(x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-x_1,y_2-y_1)</math>}}
}} }}
 +}}
 +
{{p}} {{p}}
-==Coodenadas del vector que une dos puntos==+{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=Dados los puntos <math>P(-5,3)\;</math> y <math>Q(7,1)\;</math>, halla las coordenadas de <math>\vec{PQ}</math> y <math>\vec{QP}</math>.
 +----
 +*<math>\vec{PQ}=(7,1)-(-5,3)=(7+5,1-3)=(12,-2)</math>
 + 
 +*<math>\vec{QP}=(-5,3)-(7,1)=(-5-7,3-1)=(-12,2)</math>
 +}}
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Vector que une dos puntos del plano|enunciado=
 +{{Video_enlace_tutomate
 +|titulo1=Tutorial 1
 +|duracion=5´42"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=FymIceuv3E4
 +|sinopsis=Vector que une dos puntos del plano. Ejemplos.
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 2
 +|duracion=8'28"
 +|sinopsis=Cómo calcular un vector entre dos puntos
 +|url1=https://youtu.be/r1KOayxAUq8?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Tutorial 3
 +|duracion=8´22"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=z_3UHBmg2xs&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A&index=5
 +|sinopsis=Vector que une dos puntos del plano. Ejemplos.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Tutorial 3
 +|duracion=15´47"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JOuEfuP9nco&index=6&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=Siendo <math>P = (x_0,y_0)</math> y <math>Q = (x_1,y_1)</math> puntos del plano, en este vídeo definimos el concepto de "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q). Visualizamos dicho vector fijo mediante una "flecha" que tiene origen en "P" y extremo en "Q". El vector fijo asociado al par (Q,P) se dice "opuesto" del asociado al par (P,Q).
 +En términos matemáticos, el vector fijo asociado al par ordenado (P,Q) queda identificado mediante el par ordenado de números reales <math>(x_1 - x_0 , y_1 - y_0)</math>, que se obtiene al restar las coordenadas del punto "P" a las coordenadas del punto "Q". De dicho par <math>(x_1 - x_0 , y_1 - y_0)</math> se dice que son las coordenadas del vector fijo.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Signo de las coordenadas de un vector
 +|duracion=19´59"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=IW07YQhQuaI&index=7&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=Estudio del signo de las coordenadas de un vector <math>\vec{AB}</math> según la posición del origen A y el extremo B del vector.
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=3´52"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=334uweT3y8c&index=6&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A
 +|sinopsis=Calcula las componentes de los vectores <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{BC}</math> y <math>\vec{CA}</math>, siendo A=(4,1), B=(-3,0) y C=(5,-2).
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=4´35"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=1-3acARG0q0&index=14&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A
 +|sinopsis=Calcula el vector <math>\vec{AB}</math> y dibújalo anclado al origen, siendo A=(-1,1) y B=(3,2).
 +}}
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=7´29"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=bKrvqtQtkic
 +|sinopsis=Dados los puntos A(8,-2) y B(-3,-4), determina su módulo y su dirección (ángulo con los ejes).
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=9´33"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=SiIypV8ZVAQ&index=8&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=Siendo <math>P = (x_0,y_0)\;</math> y <math>Q = (x_1,y_1)\;</math> puntos del plano, las coordenadas del "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q) son:
 + 
 +<center><math>\vec{PQ} = (x_1 - x_0 ; y_1 - y_0)</math>.</center>
 + 
 +En este vídeo nos dan las coordenadas del vector fijo y las del punto "P" (punto "Q"), pidiéndonos que determinemos las coordenadas del punto "Q" (punto "P").
 + 
 +}}
 + 
 +}}
 +{{p}}
 +{{Actividades|titulo=Coordenadas del vector que une dos puntos|enunciado=
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás calcular las coordenadas del vector que une dos puntos del plano.
 +|enlace=[http://ggbm.at/H4Db73bD Autoevaluación 1]
 +}}
 +{{AI_vitutor
 +|titulo1=Autoevaluación 2
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre coordenadas del vector que une dos puntos.
 +|url1=http://www.vitutor.com/geo/vec/b_1_e.html
 +}}
 +}}
 +{{p}}
 + 
 +==Vectores equipolentes==
 +{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición
 +|enunciado=
 +Dos vectores son [[Vectores: Definición y operaciones (1ºBach)#Vectores equipolentes. Vectores libres|equipolentes]] si y sólo si tienen las mismas coordenadas.
 +}}
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Vectores equipolentes|enunciado=
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Equipolencia de vectores fijos. Vector libre
 +|duracion=14´37"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=PhoHBFXoMG4&index=9&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=
 +*Dos vectores fijos se dicen "equipolentes" si tienen el mismo módulo, dirección y sentido o, equivalentemente, si tienen las mismas coordenadas.
 + 
 +*Si el vector fijo asociado al par (M,N) es equipolente al vector fijo asociado al par (S,T), los segmentos MT y NS tienen el mismo punto medio, y si los puntos "M", "N", "S" y "T" nos están alineados, el polígono cuyos vértices son esos puntos es un paralelogramo.
 + 
 +*Se llama "vector libre" al CONJUNTO formado por un vector fijo y todos los equipolentes a él.
 + 
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=2 ejercicios
 +|duracion=10´42"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=MsurWyYam1g&index=10&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=Conocidos 3 puntos del plano hallar un cuarto punto tal que forme con los otros tres un paralelogramo.
 +}}
 +}}
 +{{p}}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás ver como vectores equipolentes tienen las mismas coordenadas.
 +|enlace=[https://ggbm.at/jEeNhn3J Coordenadas de vectores equipolentes]
 +}}
 +{{p}}
 + 
==Condición para que tres puntos estén alineados== ==Condición para que tres puntos estén alineados==
 +{{Teorema|titulo=Condición para que tres puntos estén alineados|enunciado=
 +Los puntos del plano <math>A(x_1,y_1)\,</math>, <math>B(x_2,y_2)\,</math> y <math>C(x_3,y_3)\,</math>, están alineados si {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{AB}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{BC}</math>}} son vectores paralelos, es decir, si sus coordenadas son proporcionales:
 +
 +{{b4}}
 +<center><math>\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}</math></center>
 +|demo=
 +Los puntos del plano <math>A(x_1,y_1)\,</math>, <math>B(x_2,y_2)\,</math> y <math>C(x_3,y_3)\,</math>, están alineados si los vectores {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)</math>}} y {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{BC}=(x_3-x_2,y_3-y_2)</math>}} tienen la misma dirección.
 +
 +Ahora, esto ocurre si los vectores son proporcionales: {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}=\lambda \, \overrightarrow{BC}</math>}}
 +
 +:<math>(x_2-x_1,y_2-y_1)=\lambda \, (x_3-x_2,y_3-y_2) \rightarrow
 +\begin{cases}
 +x_2-x_1=\lambda \, (x_3-x_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}
 +\\
 +y_2-y_1=\lambda \, (y_3-y_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}
 +\end{cases}
 +</math>
 +
 +Igualando ambas expresiones de <math>\lambda \,</math>, se obtiene lo que buscamos.
 +}}
 +
 +{{p}}
 +{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=Comprueba que los puntos A(2,-1), B(6,1) y C(8,2) están alineados.
 +----
 +'''Solución:'''
 +
 +Para que están alineados los vectores <math>\vec{AB}</math> y <math>\vec{BC}</math> deben ser paralelos, es decir, sus coordenadas deben ser proporcionales:
 +
 +<math>\left.\begin{matrix}
 +\vec{AB}=(6,1)-(2,-1)=(4,2)
 +\\
 +\vec{BC}=(8,2)~-~(6,1)=(2,1)
 +\end{matrix}\right\}
 +\rightarrow \cfrac{4}{2} =\cfrac{2}{1} \rightarrow</math> Están alineados.
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +}}
 +{{p}}
 +{{Ejemplo|titulo=Ejercicio resuelto|enunciado=Averigua el valor de "m" para que P(1,4), Q(5,-2) y R(6,m) estén alineados.
 +|sol=
 +Para que se cumpla lo que piden <math>\vec{PQ}</math> y <math>\vec{QR}</math> deben ser paralelos, es decir, sus coordenadas deben ser proporcionales.
 +
 +'''Solución:''' m=-3.5
 + }}
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Condición para que tres puntos estén alineados|enunciado=
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 1
 +|duracion=7'25"
 +|sinopsis=Cómo averiguar si tres puntos están alineados
 +|url1=https://youtu.be/SSkwa9oS0dY?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Tutorial 2
 +|duracion=20´52"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Yn-g_bA3Zjg&index=15&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=
 +*Producto de un escalar por un vector
 +*Propiedades
 +*Vectores colineales
 +*Condición para que tres puntos estén alineados
 +}}
 +}}
 +{{AI_vitutor
 +|titulo1=Condición para que tres puntos estén alineados
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre condiciones para que tres puntos estén alineados y división de un segmento en tres partes iguales.
 +|url1=http://www.vitutor.com/geo/vec/b_6_e_1.html
 +}}
 +{{p}}
 +===Ejercicios propuestos===
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Puntos y vectores en el plano''
 +|cuerpo=
 +(Pág. 189)
 +
 +[[Imagen:red_star.png|12px]] 1, 2, 3
 +
 +}}
 +
==Punto medio de un segmento== ==Punto medio de un segmento==
 +{{Tabla75|celda2=
 +<center>[[Imagen:puntomedio.gif|200px]]</center>
 +|celda1=
 +{{Teorema|titulo=Punto medio de un segmento|enunciado=
 +Las coordenadas del punto medio, <math>M\,</math>, de un segmento de extremos <math>A(x_1,y_1)\,</math> y <math>B(x_2,y_2)\,</math> son:
 +
 +
 +<center><math>M \, \Big( \cfrac{x_1+x_2}{2},\, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)</math></center>
 +|demo=
 +Sea <math>M=(x_3,y_3)\,</math> el punto medio del segmento {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overline{AB}</math>}}. Tenemos que:
 +{{p}}
 +:<math>\overrightarrow{AM}=\cfrac{1}{2} \, \overrightarrow{AB} \rightarrow (x_3-x_1, y_3-y_1)=\cfrac{1}{2} \, (x_2-x_1, y_2-y_1) \rightarrow </math>
 +
 +:<math>\rightarrow
 +\begin{cases}
 +x_3-x_1=\cfrac{1}{2} \, (x_2-x_1) \rightarrow 2(x_3-x_1)=x_2-x_1 \rightarrow x_3=\cfrac{x_1+x_2}{2}
 +\\
 +y_3-y_1=\cfrac{1}{2} \, (y_2-y_1) \rightarrow 2(y_3-y_1)=y_2-y_1 \rightarrow y_3=\cfrac{y_1+y_2}{2}
 +\end{cases}
 +</math>
 +
 +
 +Con lo que obtenemos lo que buscabamos.
 +
 +}}
 +{{p}}
 +{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=Calcula el punto medio del segmento de extremos A(-5,2) y B(7,-4).
 +----
 +'''Solución:'''
 +
 +<math>M \, \Big( \cfrac{-5+7}{2},\, \cfrac{2+(-4)}{2} \Big)=(1,-1)</math>
 +}}
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Punto medio de un segmento|enunciado=
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 1
 +|duracion=4'43"
 +|sinopsis=Calcular el punto medio entre dos puntos
 +|url1=https://youtu.be/b3Yn_Ab1IQo?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Tutorial 2
 +|duracion=10´06"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=US5k3TGwo5I&index=27&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=Obtención de la fórmula del punto medio de un segmento AB. Ejemplos
 +
 +}}
 +{{Video_enlace_abel
 +|titulo1=Tutorial 3
 +|duracion=16´30"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=a4vCc4ecFf0
 +|sinopsis=Este vídeo explica como se calcula las coordenadas del punto medio de un segmento y lo ilustra con un ejemplo.
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=2´02"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=eRlmoF2Z3I4
 +|sinopsis= Halla el punto medio del segmento de extremos (-17,3) y (5,-29).
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=3´18"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=sYEzkX-Q1Rw&list=PLo7_lpX1yruMcmderWiEIPJdCp4FMHY8w&index=1
 +|sinopsis= Halla el punto medio del segmento de extremos A(-2,-4) y B(4,-2).
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=5´23"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=TrUnaI92qwI&list=PLo7_lpX1yruMcmderWiEIPJdCp4FMHY8w&index=2
 +|sinopsis= Halla el punto medio del segmento de extremos A(-2,3/4) y B(1/6,3).
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=3´36"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=TrUnaI92qwI&list=PLo7_lpX1yruMcmderWiEIPJdCp4FMHY8w&index=2
 +|sinopsis= Halla el punto medio del segmento de extremos A(3.5,3/2) y B(5.3,7/5).
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 5 (Trisección de un segmento)
 +|duracion=7´59"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=lccpHWujcjc&index=28&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=En este video aprendemos a determinar los puntos que dividen un segmento dado en tres partes iguales.
 +}}
 +}}
 +{{AI_vitutor
 +|titulo1=Punto medio de un segmento
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre el cálculo del punto medio de un segmento.
 +|url1=http://www.vitutor.com/geo/vec/b_6_e.html
 +}}
 +}}
 +{{p}}
 +
==Simétrico de un punto respecto de otro== ==Simétrico de un punto respecto de otro==
 +Para calcular el punto simétrico de un punto respecto de otro, utilizaremos la anterior fórmula del punto medio, tomando como datos los puntos A y M y como incógnita el punto B. Luego despejaremos de las ecuaciones resultantes las coordenadas del punto B.
 +
 +También podemos hacer uso de la siguiente fórmula:
 +
 +{{Tabla75|celda2=
 +<center>[[Imagen:puntosimetrico.gif|200px]]</center>
 +|celda1=
 +{{Teorema|titulo=Simétrico de un punto respecto de otro|enunciado=
 +El punto simétrico de <math>A(x,y)\,</math> respecto del punto <math>P(a,b)\,</math> es:
 +
 +
 +<center><math>A'=(2a-x,2b-y)\,</math>.</center>
 +|demo=
 +El punto <math>P(a,b)\,</math> es el punto medio del segmento {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overline{AA'}</math>}}.
 +Aplicando la fórmula del punto medio:
 +
 +:<math>P=(a,b)=\Big( \cfrac{x+x'}{2}, \cfrac{y+y'}{2} \Big) \rightarrow
 +\begin{cases}
 +a=\cfrac{x+x'}{2} \rightarrow x'=2a-x
 +\\
 +b=\cfrac{y+y'}{2} \rightarrow y'=2a-y
 +\end{cases}
 +</math>
 +
 +
 +Con lo que obtenemos lo que buscabamos.
 +}}
 +}}
 +{{p}}
 +
 +{{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos|enunciado=
 +'''1.''' Halla el simétrico, A', del punto A(7,4) respecto de P(3,-11).
 +
 +'''2.''' Dados los puntos M(7,4) y N(-2,1), halla un punto P en el segmento MN tal que la distancia de M a P sea la mitad de la distancia de P a N.
 +
 +|sol=
 +'''Soluciones:'''
 +
 +'''1.''' A'(-1,-26)
 +
 +'''2.''' P(4,3)
 + }}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Simétrico de un punto respecto de otro
 +|duracion=6'42"
 +|sinopsis=
 +:a) Calcular el simétrico del punto A(1,6) respecto del punto B(4,3).
 +:b) Calcular el simétrico del punto B respecto de A.
 +|url1=https://youtu.be/lCwVliB6vi4
 +}}
 +{{AI_vitutor
 +|titulo1=Puntos simétricos
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre puntos simétricos.
 +|url1=http://www.vitutor.com/geo/vec/b_6_e_2.html
 +}}
 +
 +==Ejercicios==
 +{{Videotutoriales|titulo=Puntos y vectores en el plano|enunciado=
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=6´34"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=dgb2MnOrIUc&index=20&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A
 +|sinopsis=Si A, B y C son los tres vértices de un triángulo, calcula <math>\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=7´13"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=zCOKIzglLpA&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A&index=25
 +|sinopsis=Sea C un punto sobre el segmento AB tal que la distancia de C a B es el doble que la distancia de C a A. Sean <math>\vec{a}=\vec{OA}</math>, <math>\vec{b}=\vec{OB}</math> y <math>\vec{c}=\vec{OC}</math>, donde O es el origen. Demostrar que <math>\vec{c}=\cfrac{2}{3}\vec{a}+\cfrac{1}{3}\vec{b}</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=7´38"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=PFe7i5pkRy0&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A&index=28
 +|sinopsis=Haciendo uso de vectores, demuestra que el segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado, y tiene la mitad de su longitud.
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=10´21"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JcxUGq3WG90&index=29&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A
 +|sinopsis=Haciendo uso de vectores, demuestra que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicios 5
 +|duracion=17´13"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=cilcF3bHp8w&index=18&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=En éste video veremos 6 ejercicios en los que jugaremos con vectores colineales.
 +
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicios 6
 +|duracion=11'11"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=3ezG3I-0ze4&index=22&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=En éste video veremos 6 ejercicios en los que jugaremos con la suma de vectores y con el producto escalar de vectores:
 +
 +Sean los puntos A(2,3), B(-1,4), C(0,3) y D(k,6). Determina "k" en cada uno de los siguientes casos:
 +
 +1) <math>\vec{AB} \cdot \vec{BD}=0</math>;{{b4}}2) <math>\vec{CD} \cdot \vec{DA}=-9</math>;{{b4}}3) <math>(2\vec{CB}) \cdot \vec{DC}=7</math>;{{b4}}4) <math>(\vec{AD}-\vec{CB} \cdot \vec{DA}=-6</math>
 +
 +Además de estos cuatro ejercicios hay otros dos que ilustran lo que "no puede ser", y que podrás ver al final del video.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicios 7
 +|duracion=17'13"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=cilcF3bHp8w&index=18&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=Si <math>|\overline{PQ}|=2</math>, posicione los puntos A, B, C, D, E y F en cada uno de los siguientes casos:
 +
 +1) <math>\vec{QA}=3 \vec{PQ}=0</math>;{{b4}}2) <math>\vec{BP}=-2 \vec{PQ}</math>;{{b4}}3) <math>(\vec{QC})=2\vec{PQ}</math>;{{b4}}4) <math>\vec{DP}=\cfrac{1}{2}\vec{PQ}</math>;{{b4}}5) <math>\vec{EP}=2\vec{QP}</math>;{{b4}}6) <math>\vec{FP}=-\cfrac{1}{2}\vec{FQ}</math>
 +
 +}}
 +}}
 +
 +===Ejercicios propuestos===
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Puntos y vectores el plano''
 +|cuerpo=
 +(Pág. 190)
 +
 +[[Imagen:red_star.png|12px]] 4a,b,e
 +
 +[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 4c,d
 +
 +}}
 +
 +==Traslaciones y homotecias==
 +{{Videotutoriales|titulo=Traslaciones y homotecias|enunciado=
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Traslación de un punto mediante un vector
 +|duracion=9'47"
 +|sinopsis=Traslación de un punto mediante un vector.
 +
 +Advertencia: En este video cuando dice que suma un punto {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>P\;</math>}} con un vector {{sube|porcentaje=+50%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}</math>}}, en realidad lo que está haciendo es sumar dos vectores: {{sube|porcentaje=+50%|contenido=<math>\overrightarrow{OP}</math>}} y {{sube|porcentaje=+50%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}</math>}}, donde {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>O\;</math> es el origen de coordenadas}}.
 +|url1=https://youtu.be/YXj0nGT0Ck4?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Traslaciones
 +|duracion=4´44"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=CKDopoE6UFU&index=12&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=Siendo <math>\vec{u}</math> un vector libre, llamamos '''traslación''' de vector <math>\vec{u}</math> a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que las que las coordenadas del vector fijo <math>\vec{AA'}</math> coinciden con las de <math>\vec{u}</math>. Del punto A' se dice "trasladado" de A según la traslación de vector <math>\vec{u}</math>.
 +Obvio: si <math>u = (u_1,u_2)</math> y <math>A = (a_1,a_2)</math>, es A' = (a_1+u_1,u_2+u_2).
 +
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=2 ejercicios
 +|duracion=10´26"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=l8LBY6vP_b8&index=13&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=Siendo <math>\vec{u}</math> un vector libre, llamamos traslación de vector <math>\vec{u}</math> a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que las coordenadas del vector fijo <math>\vec{AA'}</math> coinciden con las de <math>\vec{u}</math>. Del punto A' se dice "trasladado" de A según la traslación de vector <math>\vec{u}</math>.
 +Obvio: si<math> \vec{u} = (u_1,u_2)</math> y <math>A = (a_1,a_2)</math>, es <math>A' = (a_1+u_1,u_2+u_2)</math>.
 +
 +Pueden jugar a darte <math>\vec{u}</math> y A y pedirte A', o darte <math>\vec{u}</math> y A' y pedirte A, o darte A y A' y pedirte <math>\vec{u}</math>.
 +
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Suma de vectores como composición de traslaciones
 +|duracion=24´12"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=W1ZVmYI__fY&index=14&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=
 +*Suma de vectores: método del paralelogramo.
 +*Coordenadas del vector suma.
 +*Propiedades de la suma de vectores.
 +*Suma de vectores como composición de traslaciones.
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Homotecias
 +|duracion=6´23"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=0aO8A1boeiM&index=19&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=
 +*Llamamos '''homotecia''' de centro en el punto "P" y razón "k" a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que el vector fijo <math>\vec{PA'}</math> es el producto del número real "k" por el vector fijo <math>\vec{PA'}</math>.
 +El punto A' se dice homotético del punto A. Los puntos P, A y A' están alineados.
 +*La homotecia se dice '''directa''' si k>0, y se dice '''inversa''' si k<0.
 +
 +}}
 +}}
 +{{p}}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

(Pág. 188)

Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna \mathfrak{R}=\big\{O,B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}, donde O\, es un punto fijo, llamado origen, y B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto P\, del plano tiene asociado un vector fijo \overrightarrow{OP}, llamado vector de posición del punto P\,.

Si el vector \overrightarrow{OP} tiene coordenadas (a,b)\, respecto de la base B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}), el punto P\, diremos que tiene coordenadas (a,b)\, respecto del sistema de referencia \mathfrak{R}.

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia ortonormal, que es aquel en el que la base es ortonormal.


Sistema de referencia ortonormal

Coordenadas del vector que une dos puntos

ejercicio

Coordenadas del vector que une dos puntos


Dados dos puntos del plano de coordenadas A(x_1,y_1)\, y B(x_2,y_2)\,, respecto de un sistema de referencia \mathfrak{R}, entonces:

\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)

Vectores equipolentes

ejercicio

Proposición


Dos vectores son equipolentes si y sólo si tienen las mismas coordenadas.

Condición para que tres puntos estén alineados

ejercicio

Condición para que tres puntos estén alineados


Los puntos del plano A(x_1,y_1)\,, B(x_2,y_2)\, y C(x_3,y_3)\,, están alineados si \vec{AB} y \vec{BC} son vectores paralelos, es decir, si sus coordenadas son proporcionales:

    

\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}

ejercicio

Ejercicio resuelto


Averigua el valor de "m" para que P(1,4), Q(5,-2) y R(6,m) estén alineados.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Puntos y vectores en el plano


(Pág. 189)

1, 2, 3

Punto medio de un segmento

ejercicio

Punto medio de un segmento


Las coordenadas del punto medio, M\,, de un segmento de extremos A(x_1,y_1)\, y B(x_2,y_2)\, son:


M \, \Big( \cfrac{x_1+x_2}{2},\, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)

Simétrico de un punto respecto de otro

Para calcular el punto simétrico de un punto respecto de otro, utilizaremos la anterior fórmula del punto medio, tomando como datos los puntos A y M y como incógnita el punto B. Luego despejaremos de las ecuaciones resultantes las coordenadas del punto B.

También podemos hacer uso de la siguiente fórmula:

ejercicio

Simétrico de un punto respecto de otro


El punto simétrico de A(x,y)\, respecto del punto P(a,b)\, es:


A'=(2a-x,2b-y)\,.

ejercicio

Ejercicios resueltos


1. Halla el simétrico, A', del punto A(7,4) respecto de P(3,-11).

2. Dados los puntos M(7,4) y N(-2,1), halla un punto P en el segmento MN tal que la distancia de M a P sea la mitad de la distancia de P a N.

Ejercicios

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Puntos y vectores el plano


(Pág. 190)

4a,b,e

4c,d

Traslaciones y homotecias

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda