Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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(Simétrico de un punto respecto de otro)
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|enlaces= |enlaces=
}} }}
 +__TOC__
{{p}} {{p}}
 +(Pág. 188)
==Sistema de referencia en el plano== ==Sistema de referencia en el plano==
{{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:sistemaref.jpg|200px]]<br> Sistema de referencia ortonormal</center> {{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:sistemaref.jpg|200px]]<br> Sistema de referencia ortonormal</center>
|celda1={{Caja_Amarilla|texto= |celda1={{Caja_Amarilla|texto=
-Un '''sistema de referencia''' del plano consiste en una terna {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}</math>}}, donde {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>O\,</math>}} es un punto fijo, llamado '''origen''', y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})</math>}} una base de vectores del plano.+Un '''sistema de referencia''' del plano consiste en una terna {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\mathfrak{R}=\big\{O,B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}</math>}}, donde {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>O\,</math>}} es un punto fijo, llamado '''origen''', y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})</math>}} una base de vectores del plano.
En este sistema de referencia, cada punto <math>P\,</math> del plano tiene asociado un vector fijo {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{OP}</math>}}, llamado '''vector de posición''' del punto <math>P\,</math>. En este sistema de referencia, cada punto <math>P\,</math> del plano tiene asociado un vector fijo {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{OP}</math>}}, llamado '''vector de posición''' del punto <math>P\,</math>.
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}} }}
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Sistema de referencia en el plano''|cuerpo=+{{Geogebra_enlace
-{{ai_cuerpo+|descripcion=En esta escena podrás ver como se obtienen las coordenadas de un punto respecto de un sistema de referencia del plano a partir de su vector de posición.
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena veremos como se obtiene el vector de posición de un punto y las coordenadas del punto respecto de un sistema de referencia ortonormal.+|enlace=[http://ggbm.at/TWjAJah2 Vector de posición y coordenadas de un punto del plano]
-{{p}}+
-|actividad=Tenemos un punto <math>P\,</math> y su vector de posición {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{OP}</math>}} de coordenadas <math>(4,3)\,</math> respecto de una base ortonormal {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})</math>}}.+
- +
-Entonces, el punto <math>P\,</math> tendrá coordenadas <math>(4,3)\,</math> respecto del sistema de referencia {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}</math>}}.+
- +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_1_1.html+
-width=490+
-height=410+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_1_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
- +
-Cambia los valores de '''a''' y '''b''' y podrás ver cómo a cualquier otro punto <math>P\,</math>, le corresponde otro vector {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{OP}</math>}}. +
- +
-Observa cómo las coordenadas de {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{OP}(a,b)</math>}} y lass del punto <math>P(a,b)\,</math> son siempre las mismas.+
-}}+
}} }}
{{p}} {{p}}
Línea 48: Línea 31:
|celda1= |celda1=
{{Teorema|titulo=Coordenadas del vector que une dos puntos|enunciado= {{Teorema|titulo=Coordenadas del vector que une dos puntos|enunciado=
-:Dados dos puntos del plano de coordenadas <math>A(x_1,y_1)\,</math> y <math>B(x_2,y_2)\,</math>, respecto de un sistema de referencia {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\mathfrak{R}</math>}}, entonces:+Dados dos puntos del plano de coordenadas <math>A(x_1,y_1)\,</math> y <math>B(x_2,y_2)\,</math>, respecto de un sistema de referencia {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\mathfrak{R}</math>}}, entonces:
<center><math>\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)</math></center> <center><math>\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)</math></center>
|demo= |demo=
Línea 57: Línea 40:
Por tanto, Por tanto,
-:{{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}=(x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-y_2,x_1-y_1)</math>}}+:{{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}=(x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-x_1,y_2-y_1)</math>}}
}} }}
}} }}
 +
{{p}} {{p}}
-{{Video_enlace+{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=Dados los puntos <math>P(-5,3)\;</math> y <math>Q(7,1)\;</math>, halla las coordenadas de <math>\vec{PQ}</math> y <math>\vec{QP}</math>.
-|titulo1=Vector fijo asociado a un par ordenado de puntos del plano+----
-|duracion=15´47"+*<math>\vec{PQ}=(7,1)-(-5,3)=(7+5,1-3)=(12,-2)</math>
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/03-vector-fijo-asociado-a-un-par-ordenado-de-puntos-del-plano#.VCxSyBa7ZV8+ 
-|sinopsis=Videotutorial+*<math>\vec{QP}=(-5,3)-(7,1)=(-5-7,3-1)=(-12,2)</math>
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Coordenadas del vector que une dos puntos''|cuerpo=+{{Videotutoriales|titulo=Vector que une dos puntos del plano|enunciado=
-{{ai_cuerpo+{{Video_enlace_tutomate
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena obtendrás la coordenadas del vector que une dos puntos del plano.+|titulo1=Tutorial 1
-|actividad=Tenemos dos puntos <math>A(4,8)\,</math> y <math>B(7,2)\,</math> que dan lugar al vector {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}</math>}}. Las coordenadas del vector se calculan de la siguiente manera:{{p}}+|duracion=5´42"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=FymIceuv3E4
 +|sinopsis=Vector que une dos puntos del plano. Ejemplos.
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 2
 +|duracion=8'28"
 +|sinopsis=Cómo calcular un vector entre dos puntos
 +|url1=https://youtu.be/r1KOayxAUq8?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Tutorial 3
 +|duracion=8´22"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=z_3UHBmg2xs&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A&index=5
 +|sinopsis=Vector que une dos puntos del plano. Ejemplos.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Tutorial 3
 +|duracion=15´47"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JOuEfuP9nco&index=6&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=Siendo <math>P = (x_0,y_0)</math> y <math>Q = (x_1,y_1)</math> puntos del plano, en este vídeo definimos el concepto de "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q). Visualizamos dicho vector fijo mediante una "flecha" que tiene origen en "P" y extremo en "Q". El vector fijo asociado al par (Q,P) se dice "opuesto" del asociado al par (P,Q).
 +En términos matemáticos, el vector fijo asociado al par ordenado (P,Q) queda identificado mediante el par ordenado de números reales <math>(x_1 - x_0 , y_1 - y_0)</math>, que se obtiene al restar las coordenadas del punto "P" a las coordenadas del punto "Q". De dicho par <math>(x_1 - x_0 , y_1 - y_0)</math> se dice que son las coordenadas del vector fijo.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Signo de las coordenadas de un vector
 +|duracion=19´59"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=IW07YQhQuaI&index=7&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=Estudio del signo de las coordenadas de un vector <math>\vec{AB}</math> según la posición del origen A y el extremo B del vector.
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=3´52"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=334uweT3y8c&index=6&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A
 +|sinopsis=Calcula las componentes de los vectores <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{BC}</math> y <math>\vec{CA}</math>, siendo A=(4,1), B=(-3,0) y C=(5,-2).
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=4´35"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=1-3acARG0q0&index=14&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A
 +|sinopsis=Calcula el vector <math>\vec{AB}</math> y dibújalo anclado al origen, siendo A=(-1,1) y B=(3,2).
 +}}
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=7´29"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=bKrvqtQtkic
 +|sinopsis=Dados los puntos A(8,-2) y B(-3,-4), determina su módulo y su dirección (ángulo con los ejes).
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=9´33"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=SiIypV8ZVAQ&index=8&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=Siendo <math>P = (x_0,y_0)\;</math> y <math>Q = (x_1,y_1)\;</math> puntos del plano, las coordenadas del "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q) son:
-<center><math>\overrightarrow{AB}=(7,2)-(4,8)=(7-4,2-8)=(3,-6)</math></center>+<center><math>\vec{PQ} = (x_1 - x_0 ; y_1 - y_0)</math>.</center>
 +En este vídeo nos dan las coordenadas del vector fijo y las del punto "P" (punto "Q"), pidiéndonos que determinemos las coordenadas del punto "Q" (punto "P").
-<center><iframe>+}}
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_1_2.html+
-width=490+
-height=410+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_1_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-'''Ejercicios:'''+
- +
-'''1.''' Ahora le vas a mover los puntos <math>A\,</math> y <math>B\,</math> para que sus coordenadas tomen los distintos valores que se muestran a continuación. Anótalos, calcula las coordenadas del vector {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}</math>}} en cada caso y después compruébalo en la escena:+
-:a) <math>A=(4,8)\, ; \quad B=(6,4)</math>+
-:b) <math>A=(5,6)\, ; \quad B=(7,2)</math>+
-:c) <math>A=(8,0)\, ; \quad B=(5,6)</math>+
- +
-'''2.''' ¿Cuáles son las coordenadas del vector {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{BA}</math>}}? Anótalo en tu cuaderno.(Ayuda: Coloca el punto <math>A\,</math> donde está el <math>B\,</math> y viceversa).+
-}} 
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{ejercicio+{{Actividades|titulo=Coordenadas del vector que une dos puntos|enunciado=
-|titulo=Ejercicios: ''Coordenadas del vector que une dos puntos''+{{Geogebra_enlace
-|cuerpo=+|descripcion=En esta escena podrás calcular las coordenadas del vector que une dos puntos del plano.
-{{Video_enlace+|enlace=[http://ggbm.at/H4Db73bD Autoevaluación 1]
-|titulo1=Ejercicio+
-|duracion=19´59"+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/0301-ejercicio-absolutamente-fundamental#.VCxUDRa7ZV8+
-|sinopsis=Estudio del signo de las coordenadas de un vector según la posición del origen y el extremo del vector +
}} }}
-{{Video_enlace+{{AI_vitutor
-|titulo1=4 ejercicios+|titulo1=Autoevaluación 2
-|duracion=9´33"+|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre coordenadas del vector que une dos puntos.
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/0302-cuatro-ejercicios#.VCxViha7ZV8+|url1=http://www.vitutor.com/geo/vec/b_1_e.html
-|sinopsis=Videotutorial+
}} }}
}} }}
{{p}} {{p}}
 +
==Vectores equipolentes== ==Vectores equipolentes==
{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición {{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición
|enunciado= |enunciado=
-:Dos vectores son [[Vectores: Definición y operaciones (1ºBach)#Vectores equipolentes. Vectores libres|equipolentes]] si y sólo si tienen las mismas coordenadas.+Dos vectores son [[Vectores: Definición y operaciones (1ºBach)#Vectores equipolentes. Vectores libres|equipolentes]] si y sólo si tienen las mismas coordenadas.
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Video_enlace+{{Videotutoriales|titulo=Vectores equipolentes|enunciado=
 +{{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Equipolencia de vectores fijos. Vector libre |titulo1=Equipolencia de vectores fijos. Vector libre
|duracion=14´37" |duracion=14´37"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/04-equipolencia-de-vectores-fijos-vector-libre#.VC1S0ha7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=PhoHBFXoMG4&index=9&list=PL811F7AF8E8EC9655
-|sinopsis=Videotutorial+|sinopsis=
 +*Dos vectores fijos se dicen "equipolentes" si tienen el mismo módulo, dirección y sentido o, equivalentemente, si tienen las mismas coordenadas.
 + 
 +*Si el vector fijo asociado al par (M,N) es equipolente al vector fijo asociado al par (S,T), los segmentos MT y NS tienen el mismo punto medio, y si los puntos "M", "N", "S" y "T" nos están alineados, el polígono cuyos vértices son esos puntos es un paralelogramo.
 + 
 +*Se llama "vector libre" al CONJUNTO formado por un vector fijo y todos los equipolentes a él.
 + 
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{ejercicio+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo=Ejercicios: ''Vectores equipolentes''+
-|cuerpo=+
-{{Video_enlace+
|titulo1=2 ejercicios |titulo1=2 ejercicios
|duracion=10´42" |duracion=10´42"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/0401-dos-ejercicios-5#.VC1-gxa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=MsurWyYam1g&index=10&list=PL811F7AF8E8EC9655
-|sinopsis=Videotutorial+|sinopsis=Conocidos 3 puntos del plano hallar un cuarto punto tal que forme con los otros tres un paralelogramo.
}} }}
}} }}
 +{{p}}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás ver como vectores equipolentes tienen las mismas coordenadas.
 +|enlace=[https://ggbm.at/jEeNhn3J Coordenadas de vectores equipolentes]
 +}}
 +{{p}}
==Condición para que tres puntos estén alineados== ==Condición para que tres puntos estén alineados==
{{Teorema|titulo=Condición para que tres puntos estén alineados|enunciado= {{Teorema|titulo=Condición para que tres puntos estén alineados|enunciado=
-:Los puntos del plano <math>A(x_1,y_1)\,</math>, <math>B(x_2,y_2)\,</math> y <math>C(x_3,y_3)\,</math>, están alineados si se cumple:+Los puntos del plano <math>A(x_1,y_1)\,</math>, <math>B(x_2,y_2)\,</math> y <math>C(x_3,y_3)\,</math>, están alineados si {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{AB}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{BC}</math>}} son vectores paralelos, es decir, si sus coordenadas son proporcionales:
 + 
 +{{b4}}
<center><math>\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}</math></center> <center><math>\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}</math></center>
|demo= |demo=
Línea 156: Línea 185:
Igualando ambas expresiones de <math>\lambda \,</math>, se obtiene lo que buscamos. Igualando ambas expresiones de <math>\lambda \,</math>, se obtiene lo que buscamos.
}} }}
 +
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Condición para que tres puntos estén alineados''|cuerpo=+{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=Comprueba que los puntos A(2,-1), B(6,1) y C(8,2) están alineados.
-{{ai_cuerpo+----
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena comprobarás si tres los puntos, <math>A(-7,-2)\,</math>, <math>B(-1,0)\,</math> y <math>C(11,4)\,</math>, están alineados.+'''Solución:'''
-{{p}}+
-|actividad=+Para que están alineados los vectores <math>\vec{AB}</math> y <math>\vec{BC}</math> deben ser paralelos, es decir, sus coordenadas deben ser proporcionales:
-Vamos a comprobar que las coordenadas de los vectores {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}=(x_3-x_2,y_3-y_2)</math>}} y {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{BC}=(x_3-x_2,y_3-y_2)</math>}} son proporcionales, y que por tanto, los tres puntos están alineados.+
-<center><math>\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2} \quad \rightarrow \quad \cfrac{-1-(-7)}{11-(-1)}=\cfrac{0-(-2)}{4-0} \quad \rightarrow \quad \cfrac{6}{12}=\cfrac{2}{4}</math></center>+<math>\left.\begin{matrix}
 +\vec{AB}=(6,1)-(2,-1)=(4,2)
 +\\
 +\vec{BC}=(8,2)~-~(6,1)=(2,1)
 +\end{matrix}\right\}
 +\rightarrow \cfrac{4}{2} =\cfrac{2}{1} \rightarrow</math> Están alineados.
-En efecto, están alineados. 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_1_3.html 
-width=490 
-height=410 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_1_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-'''Ejercicio:''' 
-Realiza los cálculos necesarios para comprobar que los puntos, <math>A(-7,-2)\,</math>, <math>B(-1,0)\,</math> y <math>C(5,2)\,</math>, están alineados. Comprueba tus resultados en la escena moviendo el punto <math>C\,</math>. 
}} }}
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 2:''' En esta escena tenemos tres puntos <math>P(1,4)\,</math>, <math>Q(5,-2)\,</math> y <math>R(m,n)\,</math>. Vamos a variar <math>m\,</math> y <math>n\,</math>, para conseguir que los tres puntos estén alineados. 
{{p}} {{p}}
-|actividad=+{{Ejemplo|titulo=Ejercicio resuelto|enunciado=Averigua el valor de "m" para que P(1,4), Q(5,-2) y R(6,m) estén alineados.
 +|sol=
 +Para que se cumpla lo que piden <math>\vec{PQ}</math> y <math>\vec{QR}</math> deben ser paralelos, es decir, sus coordenadas deben ser proporcionales.
-Moviendo adecuadamente el punto <math>R\,</math>, o cambiando los valores de <math>m\,</math> y <math>n\,</math>, puedes conseguir que los tres puntos estén en la misma recta azul, o sea, alineados.+'''Solución:''' m=-3.5
- + }}
-#Mueve el punto <math>R\,</math>, para que sea <math>m=6\,</math>, y esté alineado con <math>P\,</math> y <math>Q\,</math>. Anota en tu cuaderno el valor de <math>n\,</math> obtenido. +
-#Los siguientes cálculos nos permiten hallar el valor de <math>n\,</math> que hemos observado en el apartado anterior: +
- +
-<center><math>\overrightarrow{PQ}=(5-1,-2-4)=(4,-6); \quad \overrightarrow{QR}=(6-5,n+2)=(1,n+2) </math></center>+
{{p}} {{p}}
-<center><math>\cfrac{4}{1}=\cfrac{-6}{n+2} \quad \rightarrow \quad n+2= -\cfrac{6}{4} \quad \rightarrow \quad n= -3.5</math></center>+{{Videotutoriales|titulo=Condición para que tres puntos estén alineados|enunciado=
- +{{Video_enlace_pildoras
- +|titulo1=Tutorial 1
-<center><iframe>+|duracion=7'25"
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_1_4.html+|sinopsis=Cómo averiguar si tres puntos están alineados
-width=490+|url1=https://youtu.be/SSkwa9oS0dY?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
-height=410+}}
-name=myframe+{{Video_enlace_fonemato
-</iframe></center>+|titulo1=Tutorial 2
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_1_4.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+|duracion=20´52"
- +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Yn-g_bA3Zjg&index=15&list=PL811F7AF8E8EC9655
-'''Ejercicio:'''+|sinopsis=
- +*Producto de un escalar por un vector
-1. Ahora mueve el punto <math>R\,</math> para que sea <math>n=6\,</math>, y esté alineado con <math>P\,</math> y <math>Q\,</math>. Anota en tu cuaderno el valor de <math>m\,</math> obtenido. +*Propiedades
- +*Vectores colineales
-Escribe en tu cuaderno los cálculos necesarios para obtener el valor de <math>m\,</math> que has observado en el apartado anterior. +*Condición para que tres puntos estén alineados
- +}}
-'''2.''' Mueve en la escena el punto <math>R\,</math> en un lugar cualquiera que haga que los tres puntos estén alineados, y después de anotar las coordenadas de <math>R\,</math> observadas, comprueba con cálculos, que las coordenadas de los vectores {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{PQ}</math>}} y {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{QR}</math>}} son proporcionales.+
- +
}} }}
 +{{AI_vitutor
 +|titulo1=Condición para que tres puntos estén alineados
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre condiciones para que tres puntos estén alineados y división de un segmento en tres partes iguales.
 +|url1=http://www.vitutor.com/geo/vec/b_6_e_1.html
}} }}
{{p}} {{p}}
 +===Ejercicios propuestos===
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Puntos y vectores en el plano''
 +|cuerpo=
 +(Pág. 189)
 +
 +[[Imagen:red_star.png|12px]] 1, 2, 3
 +
 +}}
==Punto medio de un segmento== ==Punto medio de un segmento==
{{Tabla75|celda2= {{Tabla75|celda2=
-<center>[[Imagen:puntomedio.gif|165px]]</center>+<center>[[Imagen:puntomedio.gif|200px]]</center>
|celda1= |celda1=
{{Teorema|titulo=Punto medio de un segmento|enunciado= {{Teorema|titulo=Punto medio de un segmento|enunciado=
-:Las coordenadas del punto medio, <math>M\,</math>, de un segmento de extremos <math>A(x_1,y_1)\,</math> y <math>B(x_2,y_2)\,</math> son:+Las coordenadas del punto medio, <math>M\,</math>, de un segmento de extremos <math>A(x_1,y_1)\,</math> y <math>B(x_2,y_2)\,</math> son:
-<center><math>M=\Big( \cfrac{x_1+x_2}{2}, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)</math></center>+<center><math>M \, \Big( \cfrac{x_1+x_2}{2},\, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)</math></center>
|demo= |demo=
Sea <math>M=(x_3,y_3)\,</math> el punto medio del segmento {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overline{AB}</math>}}. Tenemos que: Sea <math>M=(x_3,y_3)\,</math> el punto medio del segmento {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overline{AB}</math>}}. Tenemos que:
Línea 243: Línea 274:
}} }}
 +{{p}}
 +{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=Calcula el punto medio del segmento de extremos A(-5,2) y B(7,-4).
 +----
 +'''Solución:'''
 +
 +<math>M \, \Big( \cfrac{-5+7}{2},\, \cfrac{2+(-4)}{2} \Big)=(1,-1)</math>
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Punto medio de un segmento''|cuerpo=+{{Videotutoriales|titulo=Punto medio de un segmento|enunciado=
-{{ai_cuerpo+{{Video_enlace_pildoras
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena calcularemos el punto medio de un segmento de extremos <math>A(2,4)\,</math> y <math>B(7,2)\,</math>.{{p}}+|titulo1=Tutorial 1
-|actividad=El punto medio del segmento es:+|duracion=4'43"
- +|sinopsis=Calcular el punto medio entre dos puntos
-<center><math>M=\Big( \cfrac{2+7}{2}, \cfrac{4+2}{2} \Big)=(4.5,3)</math></center>+|url1=https://youtu.be/b3Yn_Ab1IQo?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Tutorial 2
 +|duracion=10´06"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=US5k3TGwo5I&index=27&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=Obtención de la fórmula del punto medio de un segmento AB. Ejemplos
- +}}
-<center><iframe>+{{Video_enlace_abel
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_1_5.html+|titulo1=Tutorial 3
-width=490+|duracion=16´30"
-height=410+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=a4vCc4ecFf0
-name=myframe+|sinopsis=Este vídeo explica como se calcula las coordenadas del punto medio de un segmento y lo ilustra con un ejemplo.
-</iframe></center>+}}
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_1_5.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+----
- +{{Video_enlace_julioprofe
-'''Ejercicio:'''+|titulo1=Ejercicio 1
- +|duracion=2´02"
-#Calcula en tu cuaderno las coordenadas del punto medio del segmento de extremos <math>A(-3,7)\,</math> y <math>B(7,-1)\,</math>. +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=eRlmoF2Z3I4
-#Comprueba el resultado en la escena anterior. Moviendo con el ratón los puntos <math>A\,</math> y <math>B\,</math> podrás comprobar cuáles son las coordenadas del punto medio <math>M\,</math>.+|sinopsis= Halla el punto medio del segmento de extremos (-17,3) y (5,-29).
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=3´18"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=sYEzkX-Q1Rw&list=PLo7_lpX1yruMcmderWiEIPJdCp4FMHY8w&index=1
 +|sinopsis= Halla el punto medio del segmento de extremos A(-2,-4) y B(4,-2).
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=5´23"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=TrUnaI92qwI&list=PLo7_lpX1yruMcmderWiEIPJdCp4FMHY8w&index=2
 +|sinopsis= Halla el punto medio del segmento de extremos A(-2,3/4) y B(1/6,3).
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=3´36"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=TrUnaI92qwI&list=PLo7_lpX1yruMcmderWiEIPJdCp4FMHY8w&index=2
 +|sinopsis= Halla el punto medio del segmento de extremos A(3.5,3/2) y B(5.3,7/5).
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 5 (Trisección de un segmento)
 +|duracion=7´59"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=lccpHWujcjc&index=28&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=En este video aprendemos a determinar los puntos que dividen un segmento dado en tres partes iguales.
 +}}
 +}}
 +{{AI_vitutor
 +|titulo1=Punto medio de un segmento
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre el cálculo del punto medio de un segmento.
 +|url1=http://www.vitutor.com/geo/vec/b_6_e.html
}} }}
}} }}
Línea 270: Línea 343:
==Simétrico de un punto respecto de otro== ==Simétrico de un punto respecto de otro==
 +Para calcular el punto simétrico de un punto respecto de otro, utilizaremos la anterior fórmula del punto medio, tomando como datos los puntos A y M y como incógnita el punto B. Luego despejaremos de las ecuaciones resultantes las coordenadas del punto B.
 +
 +También podemos hacer uso de la siguiente fórmula:
 +
{{Tabla75|celda2= {{Tabla75|celda2=
<center>[[Imagen:puntosimetrico.gif|200px]]</center> <center>[[Imagen:puntosimetrico.gif|200px]]</center>
|celda1= |celda1=
{{Teorema|titulo=Simétrico de un punto respecto de otro|enunciado= {{Teorema|titulo=Simétrico de un punto respecto de otro|enunciado=
-:El punto simétrico de <math>A(x,y)\,</math> respecto del punto <math>P(a,b)\,</math> es:+El punto simétrico de <math>A(x,y)\,</math> respecto del punto <math>P(a,b)\,</math> es:
Línea 295: Línea 372:
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Simétrico de un punto respecto de otro''|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena queremos calcular el punto <math>B(x,y)\,</math> , simétrico de <math>A(2,4)\,</math> respecto del punto <math>M(4.5,3)\,</math>. 
-|actividad=Vamos a utilizar la misma escena que para el punto medio, ya que los procedimientos son los mismos. 
-<center><math>M=(4.5,3)=\Big( \cfrac{2+x}{2}, \cfrac{4+y}{2} \Big)</math></center>+{{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos|enunciado=
 +'''1.''' Halla el simétrico, A', del punto A(7,4) respecto de P(3,-11).
-Igualando coordenada a coordenada, tenemos: <math>B(x,y)=(7,2)\,</math>+'''2.''' Dados los puntos M(7,4) y N(-2,1), halla un punto P en el segmento MN tal que la distancia de M a P sea la mitad de la distancia de P a N.
 +|sol=
 +'''Soluciones:'''
-<center><iframe>+'''1.''' A'(-1,-26)
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_1_5.html+
-width=490+
-height=410+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_1_5.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-'''Ejercicio:'''+'''2.''' P(4,3)
 + }}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Simétrico de un punto respecto de otro
 +|duracion=6'42"
 +|sinopsis=
 +:a) Calcular el simétrico del punto A(1,6) respecto del punto B(4,3).
 +:b) Calcular el simétrico del punto B respecto de A.
 +|url1=https://youtu.be/lCwVliB6vi4
 +}}
 +{{AI_vitutor
 +|titulo1=Puntos simétricos
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre puntos simétricos.
 +|url1=http://www.vitutor.com/geo/vec/b_6_e_2.html
 +}}
-#Calcula en tu cuaderno el simétrico, <math>B\,</math>, del punto <math>A(8,4)\,</math> respecto de <math>M(4,1)\,</math>. +==Ejercicios==
-#Compruébalo en la escena moviendo los puntos <math>A\,</math> y <math>B\,</math>.+{{Videotutoriales|titulo=Puntos y vectores en el plano|enunciado=
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=6´34"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=dgb2MnOrIUc&index=20&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A
 +|sinopsis=Si A, B y C son los tres vértices de un triángulo, calcula <math>\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}</math>.
}} }}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=7´13"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=zCOKIzglLpA&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A&index=25
 +|sinopsis=Sea C un punto sobre el segmento AB tal que la distancia de C a B es el doble que la distancia de C a A. Sean <math>\vec{a}=\vec{OA}</math>, <math>\vec{b}=\vec{OB}</math> y <math>\vec{c}=\vec{OC}</math>, donde O es el origen. Demostrar que <math>\vec{c}=\cfrac{2}{3}\vec{a}+\cfrac{1}{3}\vec{b}</math>.
}} }}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=7´38"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=PFe7i5pkRy0&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A&index=28
 +|sinopsis=Haciendo uso de vectores, demuestra que el segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado, y tiene la mitad de su longitud.
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=10´21"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JcxUGq3WG90&index=29&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A
 +|sinopsis=Haciendo uso de vectores, demuestra que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicios 5
 +|duracion=17´13"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=cilcF3bHp8w&index=18&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=En éste video veremos 6 ejercicios en los que jugaremos con vectores colineales.
 +
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicios 6
 +|duracion=11'11"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=3ezG3I-0ze4&index=22&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=En éste video veremos 6 ejercicios en los que jugaremos con la suma de vectores y con el producto escalar de vectores:
 +
 +Sean los puntos A(2,3), B(-1,4), C(0,3) y D(k,6). Determina "k" en cada uno de los siguientes casos:
 +
 +1) <math>\vec{AB} \cdot \vec{BD}=0</math>;{{b4}}2) <math>\vec{CD} \cdot \vec{DA}=-9</math>;{{b4}}3) <math>(2\vec{CB}) \cdot \vec{DC}=7</math>;{{b4}}4) <math>(\vec{AD}-\vec{CB} \cdot \vec{DA}=-6</math>
 +
 +Además de estos cuatro ejercicios hay otros dos que ilustran lo que "no puede ser", y que podrás ver al final del video.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicios 7
 +|duracion=17'13"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=cilcF3bHp8w&index=18&list=PL811F7AF8E8EC9655
 +|sinopsis=Si <math>|\overline{PQ}|=2</math>, posicione los puntos A, B, C, D, E y F en cada uno de los siguientes casos:
 +
 +1) <math>\vec{QA}=3 \vec{PQ}=0</math>;{{b4}}2) <math>\vec{BP}=-2 \vec{PQ}</math>;{{b4}}3) <math>(\vec{QC})=2\vec{PQ}</math>;{{b4}}4) <math>\vec{DP}=\cfrac{1}{2}\vec{PQ}</math>;{{b4}}5) <math>\vec{EP}=2\vec{QP}</math>;{{b4}}6) <math>\vec{FP}=-\cfrac{1}{2}\vec{FQ}</math>
 +
 +}}
 +}}
 +
 +===Ejercicios propuestos===
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Puntos y vectores el plano''
 +|cuerpo=
 +(Pág. 190)
 +
 +[[Imagen:red_star.png|12px]] 4a,b,e
 +
 +[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 4c,d
 +
 +}}
 +
==Traslaciones y homotecias== ==Traslaciones y homotecias==
-{{Video_enlace+{{Videotutoriales|titulo=Traslaciones y homotecias|enunciado=
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Traslación de un punto mediante un vector
 +|duracion=9'47"
 +|sinopsis=Traslación de un punto mediante un vector.
 + 
 +Advertencia: En este video cuando dice que suma un punto {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>P\;</math>}} con un vector {{sube|porcentaje=+50%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}</math>}}, en realidad lo que está haciendo es sumar dos vectores: {{sube|porcentaje=+50%|contenido=<math>\overrightarrow{OP}</math>}} y {{sube|porcentaje=+50%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}</math>}}, donde {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>O\;</math> es el origen de coordenadas}}.
 +|url1=https://youtu.be/YXj0nGT0Ck4?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Traslaciones |titulo1=Traslaciones
|duracion=4´44" |duracion=4´44"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/06-traslaciones#.VC2GxBa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=CKDopoE6UFU&index=12&list=PL811F7AF8E8EC9655
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 +Obvio: si <math>u = (u_1,u_2)</math> y <math>A = (a_1,a_2)</math>, es A' = (a_1+u_1,u_2+u_2).
 + 
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{ejercicio+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo=Ejercicios: ''Traslaciones''+
-|cuerpo=+
-{{Video_enlace+
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-}}+Obvio: si<math> \vec{u} = (u_1,u_2)</math> y <math>A = (a_1,a_2)</math>, es <math>A' = (a_1+u_1,u_2+u_2)</math>.
 + 
 +Pueden jugar a darte <math>\vec{u}</math> y A y pedirte A', o darte <math>\vec{u}</math> y A' y pedirte A, o darte A y A' y pedirte <math>\vec{u}</math>.
 + 
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
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|sinopsis= |sinopsis=
*Suma de vectores: método del paralelogramo. *Suma de vectores: método del paralelogramo.
Línea 349: Línea 509:
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Homotecias |titulo1=Homotecias
|duracion=6´23" |duracion=6´23"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/09-homotecias#.VC2JABa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=0aO8A1boeiM&index=19&list=PL811F7AF8E8EC9655
-|sinopsis=Homotecia de razón ''k''+|sinopsis=
 +*Llamamos '''homotecia''' de centro en el punto "P" y razón "k" a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que el vector fijo <math>\vec{PA'}</math> es el producto del número real "k" por el vector fijo <math>\vec{PA'}</math>.
 +El punto A' se dice homotético del punto A. Los puntos P, A y A' están alineados.
 +*La homotecia se dice '''directa''' si k>0, y se dice '''inversa''' si k<0.
 + 
 +}}
}} }}
- 
{{p}} {{p}}
-==Operaciones con vectores==+ 
-{{ejercicio+
-|titulo=Ejercicios: ''Producto de un escalar por un vector''+
-|cuerpo=+
-{{Video_enlace+
-|titulo1=6 ejercicios+
-|duracion=17´13"+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/0803-seis-ejercicios#.VC2Zaxa7ZV8+
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-}}+
-}}+
-{{ejercicio+
-|titulo=Ejercicios: ''Producto escalar de vectores''+
-|cuerpo=+
-{{Video_enlace+
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-|duracion=11'11"+
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-|sinopsis=Videotutorial+
-}}+
-}}+
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

(Pág. 188)

Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna \mathfrak{R}=\big\{O,B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}, donde O\, es un punto fijo, llamado origen, y B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto P\, del plano tiene asociado un vector fijo \overrightarrow{OP}, llamado vector de posición del punto P\,.

Si el vector \overrightarrow{OP} tiene coordenadas (a,b)\, respecto de la base B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}), el punto P\, diremos que tiene coordenadas (a,b)\, respecto del sistema de referencia \mathfrak{R}.

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia ortonormal, que es aquel en el que la base es ortonormal.


Sistema de referencia ortonormal

Coordenadas del vector que une dos puntos

ejercicio

Coordenadas del vector que une dos puntos


Dados dos puntos del plano de coordenadas A(x_1,y_1)\, y B(x_2,y_2)\,, respecto de un sistema de referencia \mathfrak{R}, entonces:

\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)

Vectores equipolentes

ejercicio

Proposición


Dos vectores son equipolentes si y sólo si tienen las mismas coordenadas.

Condición para que tres puntos estén alineados

ejercicio

Condición para que tres puntos estén alineados


Los puntos del plano A(x_1,y_1)\,, B(x_2,y_2)\, y C(x_3,y_3)\,, están alineados si \vec{AB} y \vec{BC} son vectores paralelos, es decir, si sus coordenadas son proporcionales:

    

\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}

ejercicio

Ejercicio resuelto


Averigua el valor de "m" para que P(1,4), Q(5,-2) y R(6,m) estén alineados.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Puntos y vectores en el plano


(Pág. 189)

1, 2, 3

Punto medio de un segmento

ejercicio

Punto medio de un segmento


Las coordenadas del punto medio, M\,, de un segmento de extremos A(x_1,y_1)\, y B(x_2,y_2)\, son:


M \, \Big( \cfrac{x_1+x_2}{2},\, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)

Simétrico de un punto respecto de otro

Para calcular el punto simétrico de un punto respecto de otro, utilizaremos la anterior fórmula del punto medio, tomando como datos los puntos A y M y como incógnita el punto B. Luego despejaremos de las ecuaciones resultantes las coordenadas del punto B.

También podemos hacer uso de la siguiente fórmula:

ejercicio

Simétrico de un punto respecto de otro


El punto simétrico de A(x,y)\, respecto del punto P(a,b)\, es:


A'=(2a-x,2b-y)\,.

ejercicio

Ejercicios resueltos


1. Halla el simétrico, A', del punto A(7,4) respecto de P(3,-11).

2. Dados los puntos M(7,4) y N(-2,1), halla un punto P en el segmento MN tal que la distancia de M a P sea la mitad de la distancia de P a N.

Ejercicios

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Puntos y vectores el plano


(Pág. 190)

4a,b,e

4c,d

Traslaciones y homotecias

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda